京改版九年级数学上册第十九章二次函数与反比例函数 单元复习题（含解析）

京改版九年级数学上册第十九章二次函数与反比例函数单元复习题
一、单选题
1．已知矩形的长为，宽为，面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（　　）
A． B． C． D．
2．函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（1，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
3．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y=3x+1 B．y=ax2+bx+c
C．y=x2+3 D．y=（x﹣1）2﹣x2
4．二次函数y＝2x2的图象可以看做抛物线y＝2( x-1）2+3怎样平移得到的（　　）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
5．将二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象向右平移3个单位，则平移后的二次函数的顶点是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（4，3）
C．（4，﹣3） D．（1，0）
6．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　）
A．12 B．20 C．24 D．32
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在点(0，2)与点(0，3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．有以下结论：①abc＜0；②5a+3b+c＞0；③－＜a＜－；④若点M(－9a，y1)，N(a，y2)在抛物线上，则y1＜y2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．点A在反比例函数y＝ 图象上，且位于第二象限，过点A作AB⊥y轴于点B，已知△ABO面积为3，则k的值是　 　.
10．如图，直线y =mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　 　．
11．如图，已知双曲线 ， ，点P为双曲线 上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线 于D、C两点，则△PCD的面积为　 　．
12．某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m（如图）.若水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，则水管的设计高度应为　 　m.
三、解答题
13．如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．
14．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当x=6时，y=2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，12），点C的坐标为（﹣4，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
17．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，农场决定利用旧墙和篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为225平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
18．某商户在线上投资销售A，B两种商品．已知销售A种商品可获得的月利润（万元）是该商品投资金额的40%，销售B种商品可获得的月利润（万元）与该商品投资金额x（万元）满足函数关系（其图象如图所示）．
（1）求销售A种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额x（万元）的函数关系式，并在图中画出其图象．
（2）若只选择其中一种商品投资销售，根据函数图象求销售哪种商品获得的月利润更高？
（3）若该商户共投资10万元同时销售A，B两种商品，要获得月总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大月总利润．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y= （m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长）、用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，花圈的面积为．
（1）若花园的面积为，求x的值；
（2）写出花园面积S与x的函数关系式，并求当x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？
21．如图所示，抛物线 的图象过 ， ， 三点，顶点为P.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点G在y轴上，且 ，求AG的长；
（3）若 轴且 在抛物线上，过 作 于 ， 在直线 上运动，点 在 轴上运动，是否存在这样的点 、 使以 、 、 为顶点的三角形与 相似 若存在，请求出点 、 的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知：（x＞0，y＞0），因为k=9＞0，反比例函数图象在第一、三象限，根据实际情况可知，该函数图象只能在第一象限，故A选项正确.
故答案为：A.
【分析】反比函数（k≠0）当k＞0时，函数图象在第一、三象限；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，此题目是实际应用的题目，x、y均大于零，故其图象在第一象限.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：令x=0，
y＝x2+x﹣2=-2
即函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，-2）
故答案为：C．
【分析】将x=0代入y＝x2+x﹣2求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A. 是一次函数，故该选项不符合题意；
B.当 时， 不是二次函数，故该选项不符合题意；
C. 是二次函数，故该选项符合题意；
D. 可整理为 ，是一次函数，故该选项不符合题意.
故答案选C.
【分析】根据二次函数的定义对每个选项进行判断即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】可以由二次函数y＝2( x-1）2+3先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到．
故答案为：A．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，可以由二次函数y＝2( x-1）2+3先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到 。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵y=2x2﹣4x﹣1=2（x2﹣2x）﹣1=2（x﹣1）2﹣3；
∴图象向右平移3个单位长度后，得出：y=2（x﹣1﹣3）2﹣3，即y=2（x﹣4）2﹣3
得到顶点坐标为（4，﹣3）．
故选C．
【分析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式，再利用平移规律求平移后的顶点坐标．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
∵点C的坐标为（3，4），
∴OD=3，CD=4，
∴OC= = =5，
∴OC=BC=5，
∴点B坐标为（8，4），
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过顶点B，
∴k=32，
故选：D．
【分析】过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的坐标，即可求出k的值．
7．【答案】C
【解析】【解答】∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ＞0，
∴结论①符合题意；
∵对称轴x= =1，
∴b= -2a，
∵抛物线x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a-b+c=0，
∴3a+c=0，
∴结论②符合题意，
∴结论③不符合题意；
根据图像，可知，当满足-1＜x＜3时，y＞0，
∴结论④不符合题意；
∵当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，
∴结论⑤是正确的；
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， 再结合函数图象一一判断即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：①由开口可知：a﹤0，
∵对称轴
∴b﹥0，
由抛物线与y轴的交点可知：c﹥0，
∴abc﹤0，故①符合题意；
②对称轴x=，
∴ b=-4a，
∴5a+3b+c=5a- 12a+c=-7a+c，
∵a﹤0，c﹥0，
∴-7a+c﹥0，
∴5a+3b+c﹥ 0，故②符合题意；
③∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴ b=-4a，
∴c=-5a，
∵2﹤c﹤3，
∴2﹤-5a﹤3，
∴﹤a﹤，故③符合题意；
④点M(-9a，y1)，N(，y2) 在抛物线上，
则
当时，y1﹥y2
当-时，y1﹤y2
故④不符合题意．
故答案为： C．
【分析】利用二次函数的图象与性质，对每个结论一一判断即可。
9．【答案】-6
【解析】【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝ |k|，
∴ |k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6.
故答案为：﹣6.
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得S△OAB=可求解.
10．【答案】x＜-1或x＞4
【解析】【解答】观察函数图象可知：当x＜-1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜-1或x＞4．
故答案为x＜-1或x＞4．
【分析】求关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集 ，就是求直线 y =mx+n的图像在抛物线y=ax2+bx+c 的图像的上方的时候相应的自变量的取值，根据图像即可直接得出答案。
11．【答案】
【解析】【解答】解：作CE⊥AO于E，DF⊥CE于F，
∵双曲线 ， ，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线 于D、C两点，
∴矩形BCEO的面积为：xy=1，
∵BC×BO=1，BP×BO=4，
∴BC= BP，
∵AO×AD=1，AO×AP=4，
∴AD= AP，
∵PA PB=4，
∴ PB× PA= PA PB=CP×DP= ×4= ，
∴△PCD的面积为： ．
故答案为： ．
【分析】根据BC×BO=1，BP×BO=4，得出BC= BP，再利用AO×AD=1，AO×AP=4，得出AD= AP，进而求出 PB× PA=CP×DP= ，即可得出答案．
12．【答案】
【解析】【解答】 解：由题意设喷出的抛物线形水柱高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）满足关系式y=a（x-1）2+3，
当x=3时，y=a（3-1）2+3 =0，求得a= ，
令x=0，可得y=（0-1）2+3 =，
水管的设计高度应为.
故答案为：.
【分析】根据题意设喷出的抛物线形水柱关系式为y=a（x-1）2+3，代入（3，0）求出a的值，进而令x=0，求水管的设计高度.
13．【答案】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n），
∴n=﹣1+5，
∴n=4，
∴点A坐标为（1，4），
∵反比例函数y=（k≠0）过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）联立 ，
解得 或，
即点B的坐标（4，1），
若一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=（k≠0）的值，
则1＜x＜4．
【解析】【分析】（1）首先求出点A的坐标，进而即可求出反比例函数系数k的值；
（2）联立反比例函数和一次函数解析式，求出交点B的坐标，结合图形即可求出x的取值范围．
14．【答案】（1）由题意设y= ，把x=6，y=2代人，得k= 6×2= 12，
∴ y关于x的函数表达式为y=
（2）把y=3代人y=，得x=4，∴小孔到蜡烛的距离为4 cm．
15．【答案】（1）解：把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得：，
∴的坐标为，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：把代入中，得，
∴点的坐标为
∵点的纵坐标等于6，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
【解析】【分析】(1)本题考查函数的交点和求函数解析式。点在函数上，则点的横纵坐标满足函数解析式，利用A（1，6）可得出反比例的解析式，根据B（3，n）在反比例函数，可求出n值，根据A、B两点坐标，待定系数法求出一次函数解析式。（2）求出C的坐标，根据的面积为和点A的纵坐标，可计算出CM=2，则M在C左侧右侧两个坐标。
16．【答案】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，∵C的坐标为（﹣4，0），A的坐标为（n，12），∴AD=12，CD=n+4，∵tan∠ACO=2，∴==2，解得：n=2，∴A（2，12），把A（2，12）代入y=，得m=2×12=24，∴反比例函数表达式为：y=，又∵点A（2，12），C（﹣4，0）在直线y=kx+b上，∴2k+b=12，﹣4k+b=0，解得：k=2，b=8，∴一次函数的表达式为：y=2x+8；（2）由方程组 ，解得： ， ，∵A（2，12），∴B（﹣6，﹣4）；（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，即点E与点D重合，此时E1（2，0）；②当EA⊥AC时，此时△ADE∽△CDA，则=，DE==24，又∵D的坐标为（2，0），∴E2（26，0）．综上所述，所求点E的坐标为E1（2，0），E2（26，0）．
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=12，CD=n+4，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；
（2）将反比例函数和一次函数的解析式联立，解方程组即可求得点B的坐标；
（3）分两种情况：①AE⊥x轴，②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．
17．【答案】（1）解：设AD＝xm，则AB＝m，
根据题意得x ＝225，
解得x1＝15，x2＝45，
∵AD≤a＝20，
∴AD＝15，
答：AD的长为15m；
（2）解：设AD＝xm．
∴S＝x ＝﹣（x2﹣60x）＝﹣（x﹣30）2+300，
当a≥30时，则x＝30时取S最大值，最大值为300平方米，
当0＜a＜30时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为﹣a2+20a，
综上所述，当a≥30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为300m2；当0＜a＜30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为﹣a2+20a．
【解析】【分析】（1）设AD＝xm，观察图形，利用矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆，可表示出AB的长，再利用矩形的面积等于长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据AD≤a可得到AD的长；
（2）设AD＝xm，矩形的面积为S，利用矩形的面积公式可得到S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，分情况讨论：当a≥30时；当0＜a＜30时，可得到矩形的最大面积.
18．【答案】（1）解：由题意知，
∴函数关系式为；
图象如下：
（2）解：令，则
解得，
∴当时，两种产品的月利润相同；
由图象可知，当时，，此时销售B种商品月利润更高；
当时，，此时销售A种商品月利润更高；
∴当时，选择B种商品；当时，均可；当时，选择A种商品．
（3）解：设投资销售B商品为a万元，A商品为万元，月总利润为w
由题意知，
∵
∴时，w最大，值为4.9万元
∴应投资销售B商品为3万元，则A商品为7万元，月总利润为4.9万元．
【解析】【分析】（1）由已知直接得出；再画出图象即可；
（2）由图象直接得出答案；
（3）设投资销售B商品为a万元，A商品为万元，月总利润为w，由题意知，，根据二次函数性质即可得出答案。
19．【答案】（1）解：过点A作AD⊥x轴，垂足为D
由A（n，6），C（﹣2，0）可得，
OD=n，AD=6，CO=2
∵tan∠ACO=2
∴ =2，即 =2
∴n=1
∴A（1，6）
将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6
∴反比例函数的解析式为
将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y=kx+b，可得
解得
∴一次函数的解析式为y=2x+4
（2）解：由 可得
解得x1=1，x2=﹣3
∵当x=﹣3时，y=﹣2
∴点B坐标为（﹣3，﹣2）
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．（1）先过点A作AD⊥x轴，根据tan∠ACO=2，求得点A的坐标，进而根据待定系数法计算两个函数解析式；（2）先联立两个函数解析式，再通过解方程求得交点B的坐标即可．
20．【答案】（1）解：由题意得，，
整理得，
解得，
所以，x的值为12或16
（2）解：由题意得，，
化成顶点式为，
所以，当x为时，花园面积S有最大值，最大值为．
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，再求出x的值即可；
（2）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
21．【答案】（1）解：由 可另设解析式为 .
把 代入，得 ，
，
；
（2）解： ，
.
过 作 交 延长线于 .
是等腰直角三角形， .
又 ，
.
.
又 ，
，
同理，当点G在y轴正半轴时，可得AG＝1，
或5；
（3）解：由题意得：顶点 .
为等腰直角三角形.
∴只要 也是等腰直角三角形，两个三角形就相似.
①如图1所示， ，
可得 .
.
；
②如图2所示， ，
可得 .
，
；
③如图3所示， ，
可得 .
，
；
④如图4所示，若 ，
则 ，但 ，
∴不存在，
综上，存在三组 点：① 或② 或③ .
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）根据AO=CO=3得到∠OGB+∠OAB=45°，过 作 交 延长线于 ，证得△BHG是等腰直角三角形， ，再证明 求出 ， ，即可求出AG；
（3）根据点A、P、D的坐标得到△PAD为等腰直角三角形，分∠AMN、∠ANM、∠MAN是直角，夹直角的两边相等，分别求出点M、N的坐标即可.
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