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平面向量基本定理
平面向量的基本定理的应用是考试的难点，需要掌握的题型有：
（1）平面向量基本定理的含义
（2）利用平面向量基本定理证明三点共线问题
（3）平面向量定理的重要拓展：
若 B，D，C三点共线，则 AD AB (1 )AC；
设 a，b均为实数，若OA,OB不共线，点 P满足OP aOA bOB,a b 1，则 A，B，P
三点共线.
一．选择题
1．在 ABC 中，点 D 是线段 AC 上一点，点 P 是线段 BD 上一点，且 CD DA ，
1
AP AB AC ，则 ( )
6
1 1A． B． 2 5C． D．
6 3 3 6
【分析】根据题意可得 AC 2AD，再根据三点共线即可得出结论．
【解答】解： CD DA，
AC 2AD，
1
AP AB AD，
3
又 B、 P、D三点共线，
1 1，
3
2 ，
3
故选：C ．
2．在平行四边形 ABCD中，点 E满足 BD 4BE，CE BA BC( , R) ，则 ( )
3 3 3
A． B． C． D．1
16 8 16
【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解．
【解答】解：因为 BD 4BE，则CD CB 4(CE CB) ，
1 3 1 3
整理得CE CD CB BA BC，
4 4 4 4
1 3
由平面向量基本定理可得： , ，
4 4
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1 3 3所以 ( ) ．
4 4 16
故选： A．
3．在 ABC 中，已知D是 AB边上一点，若 AD 3DB，CD CA CB，则 ( )
1 1 3 3A． B． C． D．
2 2 4 4
1 3 1 3
【分析】根据向量的运算法则得到CD CA CB，确定 ， ，得到答案．
4 4 4 4
3 3 1 3
【解答】解：CD CA AD CA AB CA (CB CA) CA CB，
4 4 4 4
1 3 1故 ， ，则 ．
4 4 2
故选： B．
1
4．如图，在 ABC 中，AN AC ，P是 BN 的中点，若 AP mAB nAC ，则m n ( )
2
1 3 3A． B．1 C． D．
2 2 4
【分析】根据向量的线性运算即可求解．
1
【解答】解： 在 ABC 中， AN AC ， P是 BN 的中点，
2
1 1 1 1
AP AB AN AB AC，
2 2 2 4
1 1
m ， n ，
2 4
3
m n ，
4
故选：D．
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5．O是正方形 ABCD的中心．若DO AB AC ，其中 ， R，则 ( )
1A． 2 B． C． 2 D． 2
2
1
【分析】根据平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理求出 1， 即可得出答
2
案．
【解答】解：因为O是正方形 ABCD的中心，
所以O为 AC 的中点，
1 1
所以DO DC CO AB CA AB AC，
2 2
因为DO AB AC ，
所以 1 1, ，
2
1
所以 2．
1
2
故选： A．
6．如图，在平行四边形 ABCD中，O为对角线的交点，E为 AD的中点，F 为CO的中点，
若 EF xOC yOD，则 x 2y ( )
5 3A．1 B．2 C． D．
3 2
1
【分析】由平面向量的线性运算 EF OC OD，结合题意及平面向量基本定理可求得 x，
2
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y的值，从而可求 x 2y的值．
3 1 1 1 1 1 1
【解答】解：由题可得：AF OC，AE AD (OD OA) OD OA OD OC，
2 2 2 2 2 2 2
3 1 1 1
所以 EF AF AE OC ( OD OC) OC OD，
2 2 2 2
因为 EF xOC yOD，
x 1
所以 1 ，
y 2
1
所以 x 2y 1 2 ( ) 2．
2
故选： B．
1 5
7．如图，在 ABC 中，BM BC，NC AC，直线 AM 交 BN 于点Q，若 BQ BN ，
2 7
则 ( )
3 2 2 1
A． B． C． D．
5 5 3 3
【分析】由 A，M ，Q三点共线可得存在实数 使得 BQ BM (1 )BA，再由 A，N ，
4 3 3
C 三点共线可解得 ，利用向量的线性运算化简可得 NC AC，即 ．
7 5 5
【解答】解：根据图示可知， A，M ，Q三点共线，由共线定理可知，
存在实数 使得 BQ BM (1 )BA，
1 5 5 1
又 BM BC,BQ BN ，所以 BN BC (1 )BA，
2 7 7 2
5 1 4
又 A， N ，C 三点共线，所以 1 ，解得 ，
7 2 7
2 3 2 3
即可得 BN BC BA，所以 (BA AN ) (BA AC) BA，
5 5 5 5
2 2 3
所以 AN AC ，即 AC NC AC，可得 NC AC，
5 5 5
又 NC 3AC，即可得 ．
5
故选： A．
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1
8．在 ABC 中， AD 2DB，点 P在CD上，且 AP mAC AB(m R) ，则m ( )
3
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
3 1
【分析】将 AB AD代入 AP mAC AB(m R) ，利用共线定理推论可得．
2 3
3
【解答】解：因为 AD 2DB，所以 AB AD，
2
1 1 3 1
所以 AP mAC AB mAC AD mAC AD，
3 3 2 2
1 1
又 P，C ，D三点共线，所以m 1，得m ．
2 2
故选：D．
9．在 ABC 中， AB AC 2AD， AE 2DE 0，若 EB xAB yAC，则 ( )
A． y 2x B． y 2x C． x 2y D． x 2y
【分析】根据条件可判断出点 D 为 BC 的中点，并且可得出 AE 2DE ，从而可得出
1 1
DE (AB AC)，并得出DB (AB AC) ，进而根据向量的减法的几何意义，和向量
6 2
2 1 2 1
的数乘运算即可得出 EB AB AC，从而可得出 x , y ，进而得出正确的选项．
3 3 3 3
【解答】解：如图，
AB AC 2AD，
点D为边 BC的中点，
AE 2DE 0，
1 1
AE 2DE， DE AD (AB AC) ，
3 6
1 1
又DB CB (AB AC) ，
2 2
1 1 2 1
EB DB DE (AB AC) (AB AC) AB AC，
2 6 3 3
又 EB xAB yAC，
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2 1
x , y ，
3 3
x 2y．
故选：D．
1 2
10． ABC 中，点D在线段 AB（不含端点）上，且满足CD xCA yCB(x, y R) ，则
x y
的最小值为 ( )
A． 2 2 2 B．3 2 2 C．6 D．8
【分析】根据D，A，B三点共线可得 x y 1，再利用基本不等式以及 1 的代换即可求解．
【解答】解：因为CD xCA yCB(x, y R) ，且D， A， B三点共线，
则 x y 1，且 x 0 ， y 0 ，
1 2 1 2 y 2x y 2x
所以 ( )(x y)(x y) 1 2 3 2 3 2 2 ，
x y x y x y x y
y 2x
当且仅当 时，即 x 2 1, y 2 2 取等号，
x y
1 2
故 的最小值为3 2 2 ，
x y
故选： B．
二．多选题
11．若正方形 ABCD，O为 ABCD所在平面内一点，且 AO xAB yAD, x, y R，则下列说
法正确的是 ( )
A． AO可以表示平面内任意一个向量
B．若 x y 1，则O在直线 BD上
1 1 2 1
C．若 x y ， AP AO，则DP AD AB
2 3 3 3
D．若OA 2OB 3OC 0 ，则 S ABC 6S BOC
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【分析】由平面向量基本定理判断 A；由向量共线的推论判断 B；利用向量加法、数乘等线
性运算用 AB， AD表示出 DP可判断C ；由题设可得 3(OB OC) AB，若 E为 BC中点，
则 6OE AB，即可判断D．
【解答】解： A：由题意 AB AD，又 AO xAB yAD， x， y R，
以{AB, AD}为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理，
易知 AO可以表示平面内任意一个向量，故 A正确；
B：由向量共线的推论知：若 x y 1，则O在直线 BD上，故 B正确；
1 1
C ：由题设 AO (AB AD) ，则 AP AD DP (AB AD) ，
2 6
1 5
所以DP AB AD，故C 错误；
6 6
D：由OA 2OB 3OC 0 ，则3(OB OC) OB OA AB，
1
若 E为 BC中点，则 6OE AB，即OE / /AB，且 |OE | | AB |，如图所示，
6
所以 S ABC 6S BOC ，故D正确．
故选： ABD．
12．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，
其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图 1 所示的是八卦模型图，其平面图形如图
2 中的正八边形 ABCDEFGH ，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是 ( )
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A． AH ED B．OA EF FO
C．OA OC 2OB D． AB和GD不能构成一组基底
【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解．
【解答】解：对于选项 A， 正八边形 ABCDEFGH 中， DEA HAE，
AH / /DE ，但 AH ,ED方向不同，
AH 与 ED不相等，故选项 A错误；
对于选项 B， OA EF EO EF FO， OA EF FO，故选项 B正确；
对于选项C ，由正八边形知， AOC ，且 |OA | |OB |，
2
OA OC为以OA,OC为邻边的正方形中以O为始点的一条对角线所对应的向量，
即 |OA OC | 2 |OA | ，又 |OA | |OB |，
OB与以O为始点的一条对角线所对应的向量共线，即OA OC 2OB，故选项C 正确；
对于选项D，在正八边形 ABCDEFGH 中， AB FE， FE 和GD平行，
AB和GD共线，
AB和GD不能构成一组基底，故选项D正确．
故选： BCD．
13．已知点 P是 ABC 的中线 BD上一点（不包含端点）且 AP xAB yAC，则下列说法正
确的是 ( )
A． x 2y 1 B． 2x y 1
C． 2x 4y 2 2 D． log2 x log2 y 3
【分析】利用三点共线得到 x 2y 1判断 AB，再利用基本不等式判断CD．
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【解答】解： BD为 ABC 的中线，
AP xAB yAC xAB 2yAD，
P， B，D三点共线，
x 2y 1， A正确， B错误，
2x 4y 2 2x 4y 2 2x 2 y 2 2 ，
1 1
当且仅当 2x 4y，即 x ， y 时取等号，
2 4
2x 4y的最小值为 2 2 ， C 正确，
1 1 11 x 2y 2 2xy ， xy ，当且仅当 x ， y 时取等号，
8 2 4
1
log2 x log2 y log2 (xy) log2 3， D错误， 8
故选： AC ．
三．解答题
14．如图，在 ABC 中， AD是 BC 边上的中线．M 为 BD的中点，G 是 AD上一点，且
AG 2GD，直线 EF 过点G ，交 AB于点 E，交 AC 于点 F ．
（1）试用 AB和 AC表示 AM ， BG；
（2）若 AE AB， AF AC( , R ) ，求 4 的最小值．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将 AG用 AE,AF表示，再根据 E，F ，G 三点共线，可得 ， 的关系，再根据基
本不等式即可得解．
1 1
【解答】解：（1）由题意，D为 BC的中点，所以 AD AB AC，
2 2
又M 为 BD的中点，
1 1 1 1 1 1 3 1
所以 AM AB AD AB ( AB AC) AB AC ，
2 2 2 2 2 2 4 4
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2 2 1 2 1
BG AG AB AD AB (AB AC) AB AB AC ；
3 3 2 3 3
（2）由 AG 2GD, AE AB, AF AC( , R) ，
1 1
得 AB AE,AC AF ，
2 2 1 1 1 1 1 1
所以 AG AD ( AB AC) AB AC AE AF，
3 3 2 2 3 3 3 3
1 1
因为 E， F ，G 三点共线，则 1，
3 3
1 1 2 2 4则 ( )( ) 2 ，
3 3 3 3 3 3 3 3 3
当且仅当 ，即 2 时取等号，
3 3 3
所以 4的最小值为 ．
3
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平面向量基本定理
平面向量的基本定理的应用是考试的难点，需要掌握的题型有：
（1）平面向量基本定理的含义
（2）利用平面向量基本定理证明三点共线问题
（3）平面向量定理的重要拓展：
若 B，D，C三点共线，则 AD AB (1 )AC；
设 a，b均为实数，若OA,OB不共线，点 P满足OP aOA bOB,a b 1，则 A，B，P
三点共线.
一．选择题
1．在 ABC 中，点 D 是线段 AC 上一点，点 P 是线段 BD 上一点，且 CD DA ，
1
AP AB AC ，则 ( )
6
1 1 2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．在平行四边形 ABCD中，点 E满足 BD 4BE，CE BA BC( , R) ，则 ( )
3 3 3A． B． C． D．1
16 8 16
3．在 ABC 中，已知D是 AB边上一点，若 AD 3DB，CD CA CB，则 ( )
1 1 3 3
A． B． C． D．
2 2 4 4
1
4．如图，在 ABC 中，AN AC ，P是 BN 的中点，若 AP mAB nAC ，则m n ( )
2
1
A． B．1 3C． 3D．
2 2 4
5．O是正方形 ABCD的中心．若DO AB
AC ，其中 ， R，则 ( )
A． 2 1B． C． 2 D． 2
2
6．如图，在平行四边形 ABCD中，O为对角线的交点，E为 AD的中点，F 为CO的中点，
若 EF xOC yOD，则 x 2y ( )
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5 3
A．1 B．2 C． D．
3 2
1 5
7．如图，在 ABC 中，BM BC，NC AC，直线 AM 交 BN 于点Q，若 BQ BN ，
2 7
则 ( )
3 2
A． B． 2C． 1D．
5 5 3 3
1
8．在 ABC 中， AD 2DB，点 P在CD上，且 AP mAC AB(m R) ，则m ( )
3
1 1 1 1A． B． C． D．
5 4 3 2
9．在 ABC 中， AB AC 2AD， AE 2DE 0，若 EB xAB yAC，则 ( )
A． y 2x B． y 2x C． x 2y D． x 2y
1 2
10． ABC 中，点D在线段 AB（不含端点）上，且满足CD xCA yCB(x, y R) ，则
x y
的最小值为 ( )
A． 2 2 2 B．3 2 2 C．6 D．8
二．多选题
11．若正方形 ABCD，O为 ABCD所在平面内一点，且 AO xAB yAD, x, y R，则下列说
法正确的是 ( )
A． AO可以表示平面内任意一个向量
B．若 x y 1，则O在直线 BD上
1 1 2 1
C．若 x y ， AP AO，则DP AD AB
2 3 3 3
D．若OA 2OB 3OC 0 ，则 S ABC 6S BOC
12．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，
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其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图 1 所示的是八卦模型图，其平面图形如图
2 中的正八边形 ABCDEFGH ，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是 ( )
A． AH ED B．OA EF FO
C．OA OC 2OB D． AB和GD不能构成一组基底
13．已知点 P是 ABC 的中线 BD上一点（不包含端点）且 AP xAB yAC，则下列说法正
确的是 ( )
A． x 2y 1 B． 2x y 1
C． 2x 4y 2 2 D． log2 x log2 y 3
三．解答题
14．如图，在 ABC 中， AD是 BC 边上的中线．M 为 BD的中点，G 是 AD上一点，且
AG 2GD，直线 EF 过点G ，交 AB于点 E，交 AC 于点 F ．
（1）试用 AB和 AC表示 AM ， BG；
（2）若 AE AB， AF AC( , R ) ，求 4 的最小值．
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