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微专题02 向量数量积的四种求解策略
题型一：公式法
题型二：几何意义（投影）
题型三：转化为基底表示
题型四：极化恒等式
1.公式法
(1)已知向量的模长和夹角
(2)已知向量的坐标或根据图形将向量坐标化
2.几何意义(投影)
若所求的数量积中，只知道其中一个向量的模长时，如：
当已知时，则，其中是在方向上的投影.
3.转化为基底表示
若所求的数量积中，均不知道时，但题中有两个不共线的向量的模长和夹角是已知的，则可以利用平面向量基本定理进行转化
，
再带入公式求解.
4.极化恒等式
(1)设a，b是平面内的两个向量，则有
证明：，①，②
将两式相减可得．
这个等式在数学上我们称为极化恒等式.
(2)在实际的应用中，经常以平行四边形（三角形）为题目背景考察，
设，则，
由，得．
将极化恒等式翻译成文字就是：
“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
“从三角形的一个顶点出发的两个边向量的数量积是中线长与半底边长的平方差”.
通过上面我们可以发现，极化恒等式就是将向量的数量积问题巧妙地转化为了几何长度(数量)的计算问题，从而可以快速的解决问题.
题型一：公式法
【例1】已知菱形的边长为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.
【变式1】已知向量满足，则（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】.
故选：C
【变式2】已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用数量积的性质，由可构造方程求得结果.
，.
故选：B.
【变式3】已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解.
因为，
所以，
解得.
故选：A.
【例2】已知a=(cos 75°,sin 15°),b=(cos 15°,sin 75°),则a·b的值为( )
A.0 B. C. D.1
【答案】B.
【分析】a·b=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=,故选B.
【例3】如图放置的正方形ABCD,AB=1,A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则·的最大值为 .
【答案】2
【分析】设∠DAO=θ,则∠BAx=-θ,
∴OA=cos θ, OD=sin θ,
∴点B的坐标为(cos θ + sin θ , cos θ).
过点C作y轴的垂线CE,E为垂足,则∠CDE=θ,
由此可得点C的坐标为(sin θ ,cos θ + sin θ),∴·=(cos θ + sin θ)sin θ + cos θ(cos θ+
sin θ)=sin2θ+cos2θ+2sin θ·cos θ=1+sin 2θ≤2,当且仅当θ=时,等号成立.
故·的最大值为2.
【变式4】（2024·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】连接AC，因为，，，
所以，
又，所以，
所以.
过点B作AD的垂线BF，垂足为F，
易知，在中，，
所以，
以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则
设，
则，
，
当时，有最小值.
故答案为：
【变式5】（2024·全国·校联考模拟预测）已知四边形是边长为的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，所以，.由题意知，则，可设，，则，，所以.因为，所以.
故答案为：
【变式6】（2024·河南省直辖县级单位·高一统考期末）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）
A．76 B．78 C．80 D．82
【答案】A
【解析】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，
，，，即，
，，，
，（当且仅当，即时取等号），
.
故选：A.
【变式7】如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，
设，则，
所以，其中（，），所以的最大值为．故选：A．
题型二：几何意义(投影)
【例1】如图,在圆C中弦AB的长度为6,则·=( )
A.6 B.12 C.18 D.无法确定
【答案】C
【解析】如图所示,取线段AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,所以||·cos A=||=||,所以·=||·||·cos A==18.故选C.
【变式1】已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________．
【答案】1 1
【解析】
如图所示，由向量数量积的定义可得·＝·＝
||||cos θ.
由图可知，||cos θ＝||，因此·＝||2＝1.
·＝||||cos α＝||cos α，而||cos α就是向量在上的投影向量的模，当在上的投影向量的模最大，即为||时，·最大，此时点B与点E重合，所以·的最大值为1.
【变式2】（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知外接圆的圆心为，若，，则的值是（ ）
A．18 B．36 C．72 D．144
【答案】C
【解析】如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，
则；
故选：C.
题型三：转化为基底表示
【例1】如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝3，已知||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
【解析】因为＝3所以
又
=
=－3
【变式1】（2024·福建福州·高一校联考期末）四边形为平行四边形，，．若点满足，，则（ ）
A．20 B．16 C．9 D．6
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，
所以.
故选：B．
【变式2】如图所示，四边形OACB中，已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝2，求向量的夹角θ的余弦值．
【解析】如图，可知则＝p＝a＋b，＝q＝a－b，
.
【变式3】（2024·江苏南京·高一校考期末）设四边形ABCD为平行四边形，，，若点N，N满足，，则 （ ）
A．-5 B．0 C．5 D．10
【答案】B
【解析】，
，
所以.
故选：B.
题型四：极化恒等式
【例1】如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，
则，
，
因此，
故选：B.
【变式1】如图，已知点为的重心，，，则的值为 ．
【答案】72
【解析】方法1： 以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系(如图2)，
则，， 设，则易得， 因为OAOB，所以， 从而， 化简得，，所以．
方法2：极化恒等式
.
【变式2】如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取HF中点O，则 , ，因此，选A.
【例2】正三角形内接于半径为2的圆O，E为线段上一动点，延长交圆O于点F，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】解法1：建立如图1所示的平面直角坐标系，则可设，
圆的半径为，故，，
所以，，
从而.
解法2：如图2，设中点为D，圆的半径为，
由极化恒等式，，由图可知当F与点B重合时，取得最小值，当点F与点C重合时，取得最大值3，所以.
【变式3】已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
取的中点，连接，则，
所以，
当且仅当时，有最小值，则有最小值，
此时菱形的面积，
最小值为，
因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，
的取值范围为，
故答案为：
【变式3】(2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选：C
【变式3】（2024下·全国·高一专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
【变式4】（2024·浙江杭州·高一校联考期末）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取的中点D，
由极化恒等式可得：，
同理，，由于，
则，所以，
因为，D是的中点，于是.
故选：D.
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微专题02 向量数量积的四种求解策略
题型一：公式法
题型二：几何意义（投影）
题型三：转化为基底表示
题型四：极化恒等式
1.公式法
(1)已知向量的模长和夹角
(2)已知向量的坐标或根据图形将向量坐标化
2.几何意义(投影)
若所求的数量积中，只知道其中一个向量的模长时，如：
当已知时，则，其中是在方向上的投影.
3.转化为基底表示
若所求的数量积中，均不知道时，但题中有两个不共线的向量的模长和夹角是已知的，则可以利用平面向量基本定理进行转化
，
再带入公式求解.
4.极化恒等式
(1)设a，b是平面内的两个向量，则有
证明：，①，②
将两式相减可得．
这个等式在数学上我们称为极化恒等式.
(2)在实际的应用中，经常以平行四边形（三角形）为题目背景考察，
设，则，
由，得．
将极化恒等式翻译成文字就是：
“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
“从三角形的一个顶点出发的两个边向量的数量积是中线长与半底边长的平方差”.
通过上面我们可以发现，极化恒等式就是将向量的数量积问题巧妙地转化为了几何长度(数量)的计算问题，从而可以快速的解决问题.
题型一：公式法
【例1】已知菱形的边长为，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知向量满足，则（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【变式2】已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【例2】已知a=(cos 75°,sin 15°),b=(cos 15°,sin 75°),则a·b的值为( )
A.0 B. C. D.1
【例3】如图放置的正方形ABCD,AB=1,A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则·的最大值为 .
【变式4】（2024·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．
【变式5】（2024·全国·校联考模拟预测）已知四边形是边长为的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且满足，则的取值范围是 .
【变式6】（2024·河南省直辖县级单位·高一统考期末）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）
A．76 B．78 C．80 D．82
【变式7】如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型二：几何意义(投影)
【例1】如图,在圆C中弦AB的长度为6,则·=( )
A.6 B.12 C.18 D.无法确定
【变式1】已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________．
【变式2】（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知外接圆的圆心为，若，，则的值是（ ）
A．18 B．36 C．72 D．144
题型三：转化为基底表示
【例1】如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝3，已知||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
【变式1】（2024·福建福州·高一校联考期末）四边形为平行四边形，，．若点满足，，则（ ）
A．20 B．16 C．9 D．6
【变式2】如图所示，四边形OACB中，已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝2，求向量的夹角θ的余弦值．
【变式3】（2024·江苏南京·高一校考期末）设四边形ABCD为平行四边形，，，若点N，N满足，，则 （ ）
A．-5 B．0 C．5 D．10
题型四：极化恒等式
【例1】如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式1】如图，已知点为的重心，，，则的值为 ．
【变式2】如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则
A． B． C． D．
【例2】正三角形内接于半径为2的圆O，E为线段上一动点，延长交圆O于点F，则的取值范围为_______.
【变式3】已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ．
【变式3】(2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024下·全国·高一专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2024·浙江杭州·高一校联考期末）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）
A． B． C． D．
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