诸暨市 2024年 1 月高二期末考试
数学参考答案
一、单项选择题（每小题 5分，共 40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A D C C B
二、多项选择题（每小题 5分，共 20分；部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
题号 9 10 11 12
答案 BD AD BCD ABD
三、填空题（每小题 5分，16题 3分+2分，共 20分）
1
13．0 14．
11
15． 4 16． 2或 5
三、解答题（共 70分）
17.（1）设an 1 (n 1)d ………1分
由 (a8 2)
2 (a5 1)(a12 3) ………2分
(7d 1)2 1得 4d (11d 2) ，所以 d 1或d ，由于 d Z ，所以 d 1. ………3分
5
所以， an n ………4分
S n(a1 an ) n(n 1)n ………5分2 2 .
2
（2）由题知，bn ………6分n(n 1)
b 2(1 1故 n ) ………7分n n 1
T 2[(1 1由 n ) (
1 1) (1 1 1 1 ) ( )] ………9分
1 2 2 3 3 4 n n 1
T 1 1 40所以 20 2( ) . ………10分1 21 21
1
{#{QQABAYQUggCAABJAAAgCQwEYCgIQkAEAAKoOAAAMoAIBCRFABAA=}#}
18.（1）由题知 N (1,1) 2r AB 2 2 ………2分
， ，
所以 N : (x 1)2 (y 1)2 2 ………3分
MN (3 1)2 (4 1)2 13 2 2 ………5分
所以两圆外离（相离）. ………6分
（2）设圆M 上的切点为 A，圆 N 上的切点为B，故 PM 2 AM 2 PN 2 BN 2 ………8分
设 P(x, y)， ………9分
x 3 2 y 4 2 4 x 1 2 y 1 2则 2 ………10分
所以点 P的轨迹方程为： 4x 6y 21 0 . ………12分
19 2．（1）当 a 1时, f x x 3x ln x 1，定义域为 0, ………1分
f x 2x 3 1 2x
2 3x 1 (2x 1)(x 1)
………3分
x x x
1
令 f x 0，得 x 1或x ， ………4分
2
所以 f x 1 1 的单调递增区间为： 0， 和 1，+ ，单调递减区间为： ，1 . ………6分
2 2
f x 2x 2a+1 a (2x 1)(x a)（2） （ ） （0 x 2）
x x
①当 a 0时， x a 0，所以 f x 在 0
1 1
， 上单调递减，在 ,2 上单调递增，
2 2
故 f x 1只有一个极小值点 ，与条件矛盾，故舍去. ………7分
2
0 a 1②当 时， f x 在 0,a 1 1 和 ,2 上单调递增，在 a, 上单调递减，2 2 2
故 f x 1有两个极值点 a和 ，与条件相符. ………8分
2
1 1
③当 a 2时， f x 在 0, 和
1a,2 上单调递增，在 ,a
2 2
上单调递减，
2
故 f x 1有两个极值点 a和 ，与条件相符. ………9分
2
1 (2x 1)2
④当 a 时， f x 0，
2 2x
故 f x 在 0, 2 上单调递增，无极值点，舍去. ………10分
1 1
⑤当 a 2 时， x a 0，所以 f x 在 0， 上单调递增，在 ,2 上单调递减，
2 2
故 f x 1只有一个极大值点 ，与条件矛盾，故舍去. ………11分
2
1 1
综上可得： 0 a 或 a 2 . ………12分
2 2
2
{#{QQABAYQUggCAABJAAAgCQwEYCgIQkAEAAKoOAAAMoAIBCRFABAA=}#}
20.（1）由题知，BD 2， AC 2 3，PO PA 3， AO BD， ………2分
由 PO BD， AO BD， AOIPO=O，得 BD 平面PAO . ………3分
在正VPAO中，作 PH AO于H ，又 BD 平面PH ，
且 AO,BD是平面 ABCD内两相交直线，所以 PH 面ABCD . ………5分
所以，点 P到平面 ABCD 3的距离为 PH= . ………6分
2
3 3
（2）建立空间直角坐标系O xyz，则 A( 3,0,0)，B(0,1,0) C( 3,0,0) P( ,0, )， ， ……7分2 2 .
ur
设平面 APB的法向量为m (x, y, z)，则
ur uuur
m AB 3x y 0
ur
ur uur 3 3 m ( 3,3,1) ………8分
m PB x y z 0
2 2
r
同理可求平面CPB的法向量为n (1, 3, 3)， ………10分
ur r
m n
设所求钝二面角的平面角为 ，则 cos
3 273
ur r . ………12分
m n 91
21. 3（1） f (x) 4x ， f (x)在点 (x , y ) 3n n 处的切线方程为： y yn 4xn (x xn ) ………2分
3 3
令 y 0，得 xn 1 xn ，所以 xn 是首项为1，公比为 的等比数列，4 4
3 n 1
故 xn
. ………4分
4
3 n 1
（2）令bn n xn n
. ………5分
4
法一：错位相减法
3 0 3 1 3 2 3 n 1S 1 +2 +3 n 4 4 4
+ +n
4
………6分
3 3 1 2 3 n S 1 +2 3 +3 3 + +n 3 n
4 4 4 4 4
3
{#{QQABAYQUggCAABJAAAgCQwEYCgIQkAEAAKoOAAAMoAIBCRFABAA=}#}
1 3 1 3 2 3 n 1 n 3
两式相减得： Sn 1 + + + -n ………7分4 4 4 4 4
3 n
化简得： Sn 16 (16 4n)
. ………8分
4
n n n
故16 3 5 9 (16 4n) 16
，化简得 (16 4n)
………9分
4 6 10
n n
d (16 4n) 9 令 n ，则 dn 1 dn (
2n 10) 9
10 5 10
………10分
.
9 5
所以 (dn )max d5 d6 36 ( ) 21.26 ………11分10
从而 min 22 . ………12分
法二：裂项相消法
4 3 n 3 nb 由 n n xn n ，设 cn (kn m)3 4
且bn cn 1 cn ，
4
k 4
4 3 n kn 3k m n
16
n ( ) 3
4 3 k
则 ，于是 ，得 3 ，3 4 4 4 4 3k m
0
4
m 16
c ( 16 n 16) 3
n
即 n
3
. ………6分
4
所以 Sn b1 b2 bn (c2 c1 ) (c3 c2 ) (cn 1 cn )
n
cn 1 c1 16 (16 4n)
3
. ………8分
4
n n n
16 (16 4n) 3 16 5 9 故 ，化简得 (16 4n) ………9分
4 6 10
9 nd (16 d 45 9n令 n 4n)
，则 n 1 1时， n 5 . ………10分
10 dn 40 10n
9 5
所以 (dn )max d5 d6 36 ( ) 21.26 ………11分10
从而 min 22 . ………12分
y x2 4
22. x4 4x2 16 4r 2（Ⅰ）联立 得 0 ………1分
2 2 2 4x y 4r
要使上述方程无正根只能
48 16r 2 0 r 2得 3，所以 0 r 3 . ………3分
（Ⅱ）设 l： y k (x 2) 2，与椭圆联立得
(4 k 2)x2 (2 2k 2 4k)x 2k 2 4 4 2k 4r 2 0
2 2 2
由直线与椭圆相切得， 1 0即 (2 r )k 4 2k 4 4r 0 ………5分
设直线 AP和直线 AQ得斜率为 k1， k2，则
4
{#{QQABAYQUggCAABJAAAgCQwEYCgIQkAEAAKoOAAAMoAIBCRFABAA=}#}
k k 4 2 k k 4 4r
2
1 2 2 ， 1 2 . ………6分2 r 2 r 2
y k1(x 2) 2 2联立 得 x k1x 2k1 2 0
y x2 4
于是 x 2P k1 2，所以 P(k1 2,k1 2 2k1 2)
2
同理可得Q(k2 2, k2 2 2k2 2) ………7分
令 AP (x1, y1)， AQ (x2 , y2 ) ,则
2 22S APQ AP AQ sin PAQ AP 2 AQ 2 AP 2 AQ 2 cos PAQ 2
AP 2 AQ 2 2AP AQ x1y 2 x2y1 2
1 1
所以 S APQ x1y2 x2y1 = (x 2)(y 2) (x 2)(y 2)2 2 P Q Q P
1
k1k2 2 2(k1 k2 ) 8 k1 k2 2
24r (3 r 2)3 r 2 (3 r2 )3
24 ………9分
(2 r 2)2 (2 r 2)4
t 10
令 r 2 ， r 1, ， t
1,
5
，
2 2
f (t) t(3 t)
3
t 1, 5 (3 t)
2
设 ，
(2 t)4 2
，则 f (t)
(2 t)5
5
所以 f (t)在 t 1,2 上单调递增，在 t 2, 上单调递减. ………11分 2
易知在 t 2即 r 2时， S APQ 趋向于正无穷大，
故 f (t)min min
f (1), f (
5) 5
2
所以 (S APQ )min 24 5 . ………12分
5
{#{QQABAYQUggCAABJAAAgCQwEYCgIQkAEAAKoOAAAMoAIBCRFABAA=}#}诸暨市 2023—2024学年第一学期期末考试试题
高二数学
注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟.
2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
2
1.双曲线C : x2 y 1的焦点坐标是（ ▲ ）
3
A． ( 2,0) B． ( 2,0) C． (0, 2) D． (0, 2)
2.已知 an 是等比数列，公比为 q，前 n项和为 Sn，则 qS3 （ ▲ ）
S S S
A． S4 B． S4 S1 C． 4 D． 4 1q q
3 f (x) axa b.已知函数 的导函数为 f (x) 12x3，则（ ▲ ）
A．b(a b) 12 B． a(a b) 36
C． a 3 ， b 1 D． a 1， b 3
4.如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB a， AD b， AA1 c，点 P在 A1C上，且
A1P 3PC，则 AP （ ▲ ）
3 a 3 b 1
c 3 a 1
1
A． B． b c
4 4 4 4 4 4
1 a 3
b 3
C． c
1
D． a
1 1
b c
4 4 4 4 4 4
5.已知数列 an 的通项公式为 an 10 2n，前 n项和为 Sn，则（ ▲ ）
A
S
．数列 n 为等差数列，公差为 2
n
B 2．数列 Sn n 为等差数列，公差为8
C．当 n 5时，数列 an 的前 n项和为 Sn 2S5
D．当 n 5时，数列 an 的前 n项和为 Sn+2S5
高二数学试题 第 1 页（共 4页）
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6.已知曲线 E： x x y y 1，则下列结论中错误的是（ ▲ ）
A．曲线 E关于直线 y x对称
B．曲线 E与直线 y x无公共点
C．曲线 E上的点到直线 y x的最大距离是 2
D．曲线 E (x 2)2 2与圆 (y 2) 9有三个公共点
7 x
2
.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A x1 , y1 ， B x2 , y2 在椭圆C : y 2 1上，且直4
1
线OA，OB 2的斜率之积为 ，则 x1 y
2 2 2
4 1
x2 y2 （ ▲ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
8.在空间直角坐标系Oxyz中，A(1,m, 2)，B(n,0,1)，若直线 AB与平面 xOy交于点 P(x, y,0)，
P (x 1)
2
y2点 的轨迹方程为 1，则 AB （ ▲ ）
4
A．1 B. 2 C. 2 D.3 2
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.记 Sn为无穷等比数列 an 的前 n项和，若 a1 a2 a1，则（ ▲ ）
A． q 0 B． a3 0
C．数列 Sn 为递减数列 D．数列 Sn 有最小项
10.如图，在正三棱台 ABC A1B1C1中，已知 AB 2AA1 2A1B1 2，则（ ▲ ）
A．向量 AA1,BB1,CC1 能构成空间的一个基底
B． A1C1 在 AB
1
上的投影向量为 AB
2
C． AC与平面 ABC 1所成的角为 3
D．点C到平面 ABC1的距离是点 A1到平面 ABC1的距离的 2倍
11.已知直线 l：x my 2 (m R)与抛物线C：y2 2px ( p 0)交于 A,B两点，O为坐标
原点，则（ ▲ ）
A．若 p 4，则 AOB B．若 p 4 AB 8(1 m2，则 )
2
C．若 p 1，则 AOB D．若 p 1，则 S 2 AOB 2 m 42
高二数学试题 第 2 页（共 4页）
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12 f (x) ex.已知函数 ，g(x) sin x，记u(x) f (x)g(x) ，v(x) f (x) ag(x)，则（ ▲ ）
A．若正数 xn为u(x)
的从小到大的第n个极值点（ n N ），则 xn 为等差数列
B ．若正数 xn为u(x)的从小到大的第 n个极值点（ n N ），则 u(xn ) 为等比数列
C． a 0， v(x)在 ( , )上有零点
D． a 0， v(x)在 ( , )上有且仅有一个零点
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13 2 2.已知 M ：x y 2x 4y 4的圆心坐标为 (a,b)，半径为 r，则 a b r ▲ .
a
14.数列 a 满足 a = nn n+1 , a1 1，则 a ▲ .2a 6n 1
15 3 2.已知函数 f x x 4x 2x 1在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐
标均为整数）的个数是 ▲ .
x2 y2
16.已知 F1,F2 是双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的左右焦点，过F2作双曲线C的一条渐近a b
线的垂线，垂足为 N ，直线 F2N 与双曲线C交于点M ，且M ,N 均在第一象限，若
5MN MF1 ，则双曲线C的离心率是 ▲ .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题 10分）记 Sn是公差为整数的等差数列 an 的前 n项和，a1 1，且 a5 1，a8 2，
a12 3成等比数列.
⑴求 an 和 Sn；
⑵若bnSn 1，求数列 bn 的前 20项和T20 .
18.（本题12分）已知圆M ：(x 3)2 (y 4)2 4，圆N 经过点O(0,0)，A(2,0)，B(0, 2) .
⑴求圆 N 的标准方程，并判断两圆位置关系；
⑵若由动点 P向圆M 和圆 N 所引的切线长相等，求动点 P的轨迹方程.
高二数学试题 第 3 页（共 4页）
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19.（本题 12分）已知函数 f x x2 2a 1 x a ln x a a R ．
⑴当 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
⑵若函数 f x 在 0,2 内存在两个极值点，求实数 a的取值范围．
20.（本题12分）在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的菱形， AC交 BD于O，
1
DAB 60 ，PA PO AC ， PO BD .
2
⑴求 P到平面 ABCD的距离；
⑵求钝二面角 A PB C 的余弦值.
21.（本题12分）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在
航空航天中应用非常广泛.其定义是：对于函数 f (x)，若满足 xn 1 xn f xn f xn 0，
则称数列 xn 为牛顿数列.已知 f (x) x4，如图，在横坐标为 x1 1的点处作 f (x)的切线，
切线与 x轴交点的横坐标为 x2，用 x2代替 x1重复上述过程得到 x3 ，一直下去，得到数列
xn .
⑴求数列 xn 的通项公式；
⑵若数列 n xn
5 n
的前 n项和为 Sn，且对任意的 n N ，满足 Sn 16 ( ) ，求整数 的6
最小值.（参考数据：0.94=0.6561 5 6 7，0.9 0.5905，0.9 0.5314，0.9 0.4783）
22 2 2 2 2.（本题 12分）抛物线C： y x 4，椭圆M ：4x y 4r ， r 0 .
⑴若抛物线C与椭圆M 无公共点，求实数 r的取值范围；
⑵过抛物线上点 A( 2, 2)作椭圆M 的两条切线分别交抛物线C于点 P,Q，当
r 1,
10
时，求△APQ面积的最小值.
2
高二数学试题 第 4 页（共 4页）
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