第一章 §1 1.1
一、选择题
1．圆台的母线( )
A．不相等 B．平行
C．延长后交于一点 D．仅有一条
[答案] C
[解析] 圆台可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的，故圆台的母线延长后交于一点．
2．关于下列几何体，说法正确的是( )
A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥
C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台
[答案] D
[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．
3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为( )
A．10 B．20
C．40 D．15
[答案] B
[解析] 圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、4，则面积为4×5＝20.
4．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球体 D．以上均有可能
[答案] B
[解析] 圆锥、球体被平面截后不可能是四边形，而圆柱被截后可能是四边形．
5．充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成( )
[答案] C
[解析] 汽车内胎是圆形筒状几何体．
6．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
[答案] B
[解析] 由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.
二、填空题
7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为________．
[答案] 2
[解析] 设下底面半径为r，则＝tan45°，∴r＝2.
8．有下列说法：
①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．
其中正确的有________．
[答案] ①
[解析] 球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．
三、解答题
9．已知圆锥的母线长为10mm，高为5mm.
(1)求过顶点作圆锥的截面中，最大截面的面积．
(2)这个截面是轴截面吗？为什么？
[解析] 如图所示：
(1)∵OA＝10mm，OH＝5mm，
∴∠OAH＝30°.∴∠AOB＝120°.
∴S截面＝OA·OB·sinθ(0<θ≤120°)．
∴Smax＝×10×10×sin90°＝50(mm2)．
(2)S△AOB＝×10×10×sin120°＝25(mm2)．
∵25<50，∴该截面不是轴截面．
10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1︰16，截去的小圆锥的母线长是3 cm，求圆台OO′的母线长．
[解析] 设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面积之比为1︰16，可设截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.过轴SO作截面，
如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，
∴＝.
又SA′＝3，SA＝3＋l，O′A′＝r，OA＝4r，
∴＝＝.解得l＝9.
即圆台的母线长为9 cm.
一、选择题
1．下列命题中，错误的是( )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
[答案] B
[解析] 当圆锥的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大的．
2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B
[解析] 如图，设球的半径为R，
两截面圆的半径分别为r1，r2，
则πr＝5π，πr＝8π，
∴r1＝，r2＝2.
又O1O2＝1，取OO2＝x，
则有R2＝5＋(x＋1)2，R2＝8＋x2，
∴5＋(x＋1)2＝8＋x2，
∴x＝1，∴R＝3.
二、填空题
3．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是________．
[答案] 2
[解析] 如图所示，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高是，
∵·2r·＝8，
∴r＝2.∴圆锥的高为＝2.
4．圆台两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长为3 cm，则它的轴截面的面积是________．
[答案] 63 cm2
[解析] 画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，
∴S四边形ABCD＝＝63(cm2)．
三、解答题
5．如图所示几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个平面去截这个几何体，请画出截面图形．(要求：①至少画两个，②不要求大小，只要求形状，③平面图形包含内部部分时，用阴影标出)
[解析] 参考图形如下：(任选其二)
6．轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的底面半径、高和母线长．
[解析] 如图△SAB为等边圆锥的轴截面，
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则在轴截面△SAB中，
有OB＝r，SO＝h，SB＝l，
且∠SBO＝60°.
在直角△SOB中，h＝r，l＝2r，
所以S△SAB＝×AB×SO＝rh＝r2，
根据题意得r2＝，
解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝r＝.
即该圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2.
7．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解析] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)．
因为圆台上底面面积为4πcm2，
所以上底面半径为2cm.
又因为圆台下底面面积为25πcm2，
所以下底面半径为5cm，
所以高为AM＝＝3(cm)．
(2)延长BA，CD相交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
因为Rt△SAO1∽Rt△SBO，
所以＝，即＝，
解得l＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§1 简单几何体第一章1.1 简单旋转体如图，这是某种大推力运载火箭的发射图，从图中我们可以看出，承载人类航空航天梦想的高科技航天器并没有华丽的外表，整个箭体是由圆锥、圆台、圆柱(这些几何体数学上叫旋转体)堆叠而成，而就是这种“其貌不扬”的组合体一次又一次地圆了人类的太空梦，因此我们还真不能小瞧了这貌似简单的旋转体！1.旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的____________旋转所形成的曲面叫作旋转面，_____________围成的几何体叫作旋转体．
圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫________、________、________；一条定直线封闭的旋转面圆柱圆锥圆台
旋转轴叫作它们的轴，在轴上这条边(或它的长度)叫作它们的________；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作它们的________；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作它们的________，无论旋转到什么位置，这条边都叫侧面的________．高底面侧面母线2．圆柱、圆锥、圆台的结构特征与性质：全等的圆面圆面垂直垂直于垂直于等腰三角形等腰梯形全等矩形扇形3.球
(1)球和球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫______．球面所围成的几何体叫球体，简称_____．
用集合的观点来描述，到定点的距离等于定长的所有点的集合(轨迹)叫________．
特别提示：球和球面是两个不同的概念，球面仅仅指球的表面；而球(球体)不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．因此，用一个平面去截一个球，截面是圆面；而用一个平面去截一个球面，截面是圆．球面球球面(2)球的截面性质
①球心和截面圆心的连线________于截面．
②球心到截面的距离d与球半径R及截面圆的半径r有如下关系r＝________，
如图．垂直(3)球的大圆、小圆及球面距离
①球的大圆、小圆
球面被经过______的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过_____的平面截得的圆叫作球的小圆．
把地球看作一个球时，经线是球面上从北极到南极的半个____圆，赤道是一个____圆，其余的纬线都是____圆．
②球面距离
在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．这段弧长叫作两点的________．球心球心大大小球面距离1.有下列命题：
①在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③过圆台侧面一点有无数条母线．
其中正确的是( )
A．①② B．②
C．①③ D．①②③
[答案] B
[解析] 圆柱的母线需和轴平行；圆台的母线需和截得圆台的圆锥的顶点相交．2．下列说法中正确的是( )
A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的
B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的
C．圆柱不是旋转体
D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的
[答案] D
[解析] 由圆台的定义及结构特征知D正确．3．图甲是由图中哪个平面图旋转得到的( )
[答案] A
[解析] 该简单组合体为一个圆台和一个圆锥，因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成．B旋转后为两共底的圆锥；C旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体；D旋转后为两圆锥与一圆柱．
4．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________．
[答案] 圆台
[解析] 等腰梯形的对称轴将等腰梯形分成两个全等的直角梯形，故旋转后形成圆台．5．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为________．
[答案] r2 下列叙述正确的个数为( )
①以直角三角形一直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台
③用平面去截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面均为圆面
④用一平面截圆锥一定得到一个圆锥和一个圆台
A．0 B．1
C．2 D．3旋转体的有关概念 [思路分析] ①②是根据几何体的旋转轴去判断旋转后的形状，③④是用平面截几何体．结合条件可根据旋转体的结构特征尝试作出判断．
[答案] B
[规范解答] ①正确，②应以直角梯形的垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转方可得到圆台， ③用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面才是圆面，④用平行于圆锥底面的平面截圆锥可得圆锥和圆台，否则得不到．故选B.
[规律总结] 1.准确掌握旋转体的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．
2．解决概念辨析问题应紧扣定义，还要尝试从不同角度入手，特别是从反面入手(举反例)，从而更容易找出正确答案．下列说法中正确的是( )
A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
[答案] C
[解析] A错，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与轴平行．B错，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是圆柱体．D错，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，C正确.简单旋转体中有关量的计算 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1︰4，母线长是10cm，求圆锥的母线长．[思路分析] 处理有关旋转体的问题时，一般要作出其轴截面，在轴截面这个平面图形中去寻找各元素之间的关系．
[规范解答] 设圆锥的母线长为y cm，[规律总结] 解决圆柱、圆锥、圆台中有关量的计算问题时，关键是作出轴截面，通过轴截面，在矩形、三角形、梯形中构造直角三角形，利用勾股定理进行计算求解．将一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面的面积．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
[思路分析] 把圆柱侧面展开，由图分析求解．[规律总结] 1.解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象．
2．运用侧面展开图将空间问题转化为平面问题是求解最短距离的常用方法，即“化曲为直”的思想方法的应用．[答案] B与球有关的计算问题 用一个平面截一个半径为13cm的球，得到一个面积为25πcm2的圆，试求球心到该截面圆圆心的距离．
[思路分析] 根据球的截面的性质，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，据此构造直角三角形，利用勾股定理求解．
[规律总结] 解有关球的问题时，常用如下性质：
(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．
(2)如果分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，则R2＝r2＋d2.球的有关计算问题，常归结为解这个直角三角形．用一个平面截半径为5cm的球，球心到截面距离为4cm，求截面圆的面积． 过球面上两点，可作球的大圆的个数( )
A．有且只有一个
B．1个或无数个
C．无数个
D．不存在这种大圆
[错解] A
[辨析] 若两点连线恰为球的直径，则可作无数个大圆；若两点连线不是直径，则可作一个大圆．
[正解] B第一章 §1 1.2
一、选择题
1．下图中是四棱台的侧面展开图的是( )
[答案] D
[解析] A，C都是四棱柱的侧面展开图，B是四棱锥的侧面展开图，D是四棱台的侧面展开图．
2．下列关于直棱柱的描述不正确的是( )
A．侧棱都相等，侧面是矩形
B．底面与平行于底面的截面是全等的多边形
C．侧棱长等于棱柱的高
D．有两个矩形的侧面的棱柱是直棱柱
[答案] D
[解析] 举反例，如图是在直棱柱上分别作过AD、B′C′的平行平面截得的棱柱．该棱柱有两个矩形的侧面，但不是直棱柱．
3．给出下列几个结论：
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
②多面体至少有四个面；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①显然是正确的；
对于②，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需要有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故②是正确的；
对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故③是正确的．
4．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A．底面是正方形有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形且有一个顶点处的两条棱互相垂直
D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形的四棱柱
[答案] D
[解析] 对于A，满足了底面是正方形，但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形(相对的两个面)；
对于B，垂直于底面的侧面不是面内所有直线都垂直于底面，因此，不能保证侧棱垂直于底面；
对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；
对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D.
5．下列几何体中棱柱的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] D
[解析] 棱柱的特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．
6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1 B．2
C．快 D．乐
[答案] B
[解析] 由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.
二、填空题
7．如图所示，三棱台A′B′C′－ABC截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是________．
[答案] 四棱锥
[解析] 剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.
8．下列命题中正确的是________．
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形，并且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥．
[答案] ④
[解析] ①不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心；②不能保证底面为正多边形，只能说明多边形共圆；③这个命题更具迷惑性，最关键的原因是不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确，只有④正确．
三、解答题
9．如图所示的是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
[解析] 过A′、B、C三点作一个平面，再过A′、B、C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC、B－A′B′C′、A′－BCC′.(本题答案不唯一)
10．如图所示，若正四棱锥底面边长为a，SO为正四棱锥的高，∠SBO＝60°，求正四棱锥的侧棱长和斜高．
[解析] 如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，因为BC＝a，
所以OB＝a，在Rt△SOB中，∠SBO＝60°，
所以SB＝2OB＝a，SO＝a.
作OM⊥BC于M，连接SM，则SM⊥BC.
在Rt△SOM中，OM＝，SM＝＝a.
所以正四棱锥的侧棱长为a，斜高为a.
一、选择题
1．已知长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )
A．2 B．
C．5 D．6
[答案] C
[解析] 设长方体的三条棱长分别为a、b、c，
则有
即
由②平方，得a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝36，
∴a2＋b2＋c2＝25，
即＝5.
2. 如图所示几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个为四边形，另外8个为三角形
[答案] D
[解析] 围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，故四边形ABCD不是该多面体的面．
二、填空题
3．下列三种叙述，其中正确的个数为________．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台
[答案] 0
[解析] ①中的平面不一定平行于底面，故①错误．②③可用反例去检验如图所示，故②③不对．
4．正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为________cm2.
[答案] 16
[解析] 正四棱台的中截面是正方形，其边长为(3＋5)＝4(cm)．
由此S截＝42＝16(cm2)．
三、解答题
5．正四棱锥的高为，侧棱长为，则侧面上的等腰三角形底边上的高为多少？
[解析] 如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，
高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝.
解Rt△SOA得OA＝2，则AC＝4，
所以AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB的中点，
故OE＝AB＝.连接SE，则SE即为斜高，
在Rt△SOE中，因为OE＝，SO＝，
所在SE＝，即侧面上的等腰三角形底边上的高为.
6．正四棱台的对角线长是5 cm，高是3 cm，求它的相对侧棱所确定的截面面积．
[解析] 如图(1)所示，面ACC1A1是相对的两条侧棱AA1和CC1所确定的截面，它的对角线长即是正四棱台的对角线长，∴A1C＝5 cm，OO1＝3 cm.
其截面又可画成图(2)的形状，由点A1向AC作垂线交AC于H，则A1H＝OO1＝3 cm.
∴CH＝4 cm，又∵AH＋A1C1＝CH，
∴S四边形ACC1A1＝(AC＋A1C1)·A1H
＝·2CH·A1H＝4×3＝12(cm2)．
∴相对侧棱所确定的截面面积为12 cm2.
7．如图所示，在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？
[解析] (1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§1 简单几何体第一章1.2 简单多面体1.多面体
我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作______．其中棱柱、棱锥、棱台都是____________．
2．棱柱
(1)棱柱的有关概念
两个面________，其余各面都是_______，并且每相邻两个四边形的公共边都________，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的______，其余各面叫作棱柱的_____，棱柱的侧面是____________．多面体简单多面体互相平行四边形互相平行底面侧面平行四边形两个面的公共边叫作棱柱的________，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的________，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的________，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的________．
(2)棱柱的分类
①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作______、______、______…….棱侧棱顶点高三棱柱四棱柱五棱柱垂直多边形不垂直3．棱锥
(1)定义
有一个面是________，其余各面是有一个________的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的________，其余各面叫作棱锥的________，相邻侧面的公共边叫作棱锥的________，各侧面的公共点叫作棱锥的________，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的________．多边形公共顶点底面侧面侧棱顶点高(2)正棱锥
如果棱锥的底面是________，且各侧面________，就称作正棱锥，正棱锥的侧面是____________三角形，它的高叫作正棱锥的斜高．
(3)分类
按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作______棱锥、______棱锥、______棱锥…….正多边形全等全等的等腰三四五4．棱台
(1)定义
用一个________棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面叫作棱台的________和________，其他各面叫作棱台的________，相邻侧面的公共边叫作棱台的________，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的________．平行于下底面上底面侧面侧棱高(2)正棱台
用正棱锥截得的棱台叫作________，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高．
(3)分类
按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作________棱台、________棱台、________棱台…….正棱台三四五1. 下列不是简单多面体的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．球
[答案] D
[解析] 棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体，而球是旋转体．2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
[答案] C
[解析] 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．3．斜四棱柱的侧面最多含有矩形的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C[解析] 如图所示，在斜四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，若AA′不垂直于AB，则DD′也不垂直于DC，所以四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形．所以斜四棱柱的侧面最多有2个矩形．4．如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为______．5．如图所示，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．
[答案] ①②③④ ⑥ ⑤
[解析] 由棱柱、棱锥、棱台的定义知，①②③④符合棱柱的定义；⑥符合棱锥的定义；⑤符合棱台的定义． 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．棱柱的结构特征 [思路分析] 利用棱柱的定义进行判断．
[规范解答] (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面则底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面，截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．
[规律总结] 1.棱柱的结构特征有三个：
(1)有两个面互相平行；
(2)其余各面都是平行四边形；
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
以上三个特征是判断一个几何体是否是棱柱的依据．
2．正棱柱的所有侧面都是矩形，且都全等．下列说法正确的是( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱的长叫作棱柱的高
D．棱柱的侧面是平行四边形，底面一定不是平行四边形
[分析] 以棱柱的定义进行判断．
[答案] A
[解析] 正四棱柱的相对侧面互相平行，B错误；只有直棱柱的侧棱长才是棱柱的高，C错误；正方体、长方体的侧面、底面都是平行四边形，D错误；由棱柱定义知，A正确.棱锥的结构特征 有一个面是多边形，其余的各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？
[思路分析] 根据棱锥定义判断．
[规范解答] 不一定是棱锥．如图的多面体有一个面是四边形，其余的各面都是三角形，但它不是棱锥．[规律总结] 棱锥的性质有：
(1)侧棱有公共点即棱锥的顶点，侧面都是三角形．
(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示．
(3)过不相邻的两侧棱的截面是三角形，如图②所示．在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．
[答案] 三棱锥
[解析] 因为AD＝AB，CF＝DF＝CE＝BE折起后，B、C、D三点重合于一点，故构成三棱锥.棱台的结构特征 判断如图所示的几何体是不是棱台？为什么？
[思路分析] 要判断一个多面体是不是棱台，首先看两个底面是否平行，其次把侧棱延长看是否相交于一点，这两条都满足的几何体才是棱台．[规范解答] ①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分才是棱台．
[规律总结] 棱台的性质有：
(1)侧棱延长后交于一点，侧面是梯形．
(2)两底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示．(3)过不相邻的两侧棱的截面是梯形，如图②所示．棱台不一定具有的性质是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后交于一点
[答案] C
[解析] 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，因此棱台的两底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后一定交于一点，故选C.简单几何体的计算问题 一个棱台的上、下底面积之比为4︰9，若棱台的高是4 cm，求截得这个棱台的棱锥的高．
[思路分析] 本题主要考查棱台和棱锥的联系，解题的关键是理解棱台的概念和运用好图形中的相似关系，可将棱台还原为棱锥解决．
[规律总结] 1.由于棱台是由棱锥截来的，因此棱台上、下底面是相似多边形．它们的面积比等于相似比的平方，而相似比又等于小、大棱锥的高之比、侧棱长之比．
2．解答此类问题的关键是画好图形，找出台与截得台的锥的量的关系，画图时为了简便，可以画截面图．已知正三棱锥V－ABC，底面边长为8，侧棱长为2，计算它的高和斜高．
[分析] 本题以三棱锥为载体，考查了正棱锥中基本量的计算，同时考查识图能力和计算能力． 给出下列命题：
①底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的棱锥是正多面体；
②正多面体的面不是三角形，就是正方形；
③当长方体的各个侧面都是正方形时，它就是正多面体；
④正三棱锥就是正四面体．
其中正确命题的序号为________．
[错解] ①④[辨析] 显然不对，因为正十二面体的每个面都是全等的正五边形．①④最具迷惑性，按所给条件能得出①所给的几何体是正棱锥．作为正棱锥，每个侧面都是全等的等腰三角形，底面正多边形可以是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故①④不对．
[正解] ③
[规律总结] 多面体中，如正棱锥、正棱台、正棱柱及特殊的正方体、正四面体、应充分认识并掌握．第一章 §2
一、选择题
1．有下列说法：
①从投影的角度看，斜二测画法画的直观图是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线仍为直线，但平行线可能变成相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 利用平行投影与中心投影的概念逐一判断，以上四句话都正确．
2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
[答案] D
[解析] △ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
则AC>AB，AC>AD，AC>BC.
3．如图所示为水平放置的平面图形的直观图，ABCD所表示的实际图形是( )
A．任意梯形
B．直角梯形
C．任意四边形
D．平行四边形
[答案] B
[解析] ∵AB∥y轴，AD∥x轴，故AB⊥AD.又AD∥BC，故ABCD的原图形为直角梯形．
4．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．①④
[答案] C
[解析] 斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．故选C.
5．如图，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为( )
A．6 B．3
C．6 D．12
[答案] D
[解析] 若还原为原三角形，则易知OB＝4，OA⊥OB，OA＝6，
所以S△AOB＝×4×6＝12.故应选D.
6．下列叙述中正确的个数是( )
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 从原图到直观图只能保证平行的仍然平行，故只有③正确，正确命题的个数只有1个．
二、填空题
7．平面直角坐标系中的点M(2,2)在直观图中对应点M′，则M′的找法是_________
__________________________________________________________________________.
[答案] 过点(2,0) 和y′轴平行的直线与过点(0,1)与x′轴平行的直线的交点
[解析] 根据斜二测画法的规则．
8．如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，其中O′B′＝O′A′＝2cm，则原△AOB的面积为________cm2.
[答案] 4
[解析] 根据斜二测画法的规则可知，△AOB为直角三角形，即∠AOB＝90°，OA＝O′A′＝2cm，OB＝2O′B′＝4cm，
∴S△AOB＝×OA×OB＝×2×4＝4(cm2)．
三、解答题
9．一正四棱锥底面边长为4，高为5，画出其直观图．
[解析] (1)画底面；
(2)画z′轴，并画出高线，确定顶点；
(3)成图．
10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5.
(1)将其恢复成原图形；
(2)求原平面图形△ABC的面积．
[解析] (1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
②在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
③连接AB、BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图所示．
(2)∵B′D′∥y′轴，∴BD⊥AC.
又B′D′＝1.5且A′C′＝2，
∴BD＝3，AC＝2.∴S△ABC＝BD·AC＝3.
一、选择题
1．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
[答案] C
[解析] 按斜二测画法的规则：平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段长度在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C.
2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )
A．16 B．64
C．16或64 D．都不对
[答案] C
[解析] 根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16；边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.
二、填空题
3．如图所示为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是______________．
[答案] OD
[解析] 由题中图知，原图中OD＝2，BD＝4，AD＝1，
则AB＝＝.
BO＝＝2；
∴OD4．△ABC的面积为10，以它的一边为x轴，画出直观图后，其直观图的面积为________．
[答案]
[解析] 以△ABC的一边BC为x轴，BC边上的高AO所在直线为y轴，建立如图(1)所示的坐标系，则它的直观图如图(2)所示，在△A′B′C′中，B′C′＝BC，A′O′＝AO，在△A′B′C′中，过A′点作A′M⊥B′C′于M，则A′M＝A′O′·sin45°＝·A′O′＝AO，所以S△A′B′C′＝·B′C′·A′M＝BC·AO＝×BC·AO＝×10＝.
三、解答题
5．画边长为1.8cm的正三角形的水平放置的直观图．
[解析] 画法1：如图所示．
(1)以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，再画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.9cm，在y′轴上截取O′A′＝AO，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
画法2：如下图所示．
(1)以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴，再画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝0.45cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
6．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，求在直观图中梯形的高．
[解析] 按斜二测画法得梯形的直观图O′A′B′C′如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直x′轴于E′，则C′E′即为直观图中梯形的高，那么C′E′＝C′D′sin45°＝.
7．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为a2，求△ABC的周长．
[解析] 图△ABC是△A′B′C′的原图形，设△ABC的边长为x，由斜二测画法知：A′B′＝AB＝x，O′C′＝OC＝x，作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，
∵∠C′O′D′＝45°，
∴C′D′＝O′C′＝×x＝x，
∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝x×x＝x2.
∴x2＝a2，∴x＝2a，
∴△ABC周长为3×2a＝6a.
课件37张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§2 直观图第一章“一口叙说千古事，双手对舞百万兵”的皮影戏，是深受群众喜爱的一种民间艺术，它最早流传于鲁南、苏北、浙江、河北一带，后来逐渐扩散到全国各地．皮影戏的表演是借助一面影窗，利用灯光照射原理和平面映象，将纸偶或皮偶影射出来，配合音乐、唱白来表演戏剧故事．学好本节内容你就会真正明白“两手托起千秋将，孤灯照出万古人”的原理．1.斜二测画法的规则
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝___________，它们确定的平面表示________．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成______________________的线段；
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中_______________；平行于y轴的线段，长度为________．45°或135°水平平面平行于x′轴和y′轴保持原长度不变2．立体图形的特点
立体图形与平面图形相比多一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行于z轴的线段，在直观图中____________都不变．
3．画直观图的原理
用斜二测画法画的直观图是根据________的原理画出的图形，图中的投影线互相______．平行性和长度平行投影平行1.关于直观图画法的说法中，不正确的是( )
A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，其长度不变
B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，其长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于45°
D．作直观图时，由于选轴的不同，所画直观图可能不同
[答案] B
[解析] 由直观图的画法知平行于y轴的线段其对应线段平行于y′轴，长度为原来的一半．2．如图所示，直观图表示的平面图形是( )
A．任意三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
[答案] C
[解析] 由图形A′B′与B′C′分别平行于y′轴与x′轴，故直观图表示的平面图形是直角三角形．3. 下列说法正确的是( )
A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B．两条相交直线的直观图可能是平行直线
C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
[答案] D
[解析] 选项A错，水平放置的正方形的直观图是平行四边形；选项B错，两条相交直线的直观图是两条相交直线；选项C错，互相垂直的两条直线的直观图夹角为45°；选项D正确．4．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox、Oy、Oz轴画成对应的O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝__________，∠x′O′z′＝__________；
在用斜二测画法作直观图时，原图中平行且相等的线段，在直观图中对应的两条线段__________．
[答案] 45°(或135°) 90° 平行且相等
[解析] 根据斜二测画法的规则．5．水平放置的矩形ABCD长为4，宽为2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为______________． 画水平放置的直角梯形的直观图．
[思路分析] 由斜二测画法画直观图．
[规范解答] (1)如图所示，在已知直角梯形OBCD中以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立直角坐标系；如图(1)所示，另选一个平面画直观图，画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°.平面图形的直观图 如图所示，△ABC中BC＝8cm，BC边上的高AD＝6cm，试用斜二测画法画出其直观图．
[解析] (1)在三角形ABC中建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.空间图形的直观图 画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)．
[思路分析] 解答本题时可先画出上、下底面正三角形的直观图，再画出整个正三棱台的直观图．
[规范解答] (1)画轴，以底面△ABC的中心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，使∠xOy＝45°，以上底面△A′B′C′的中心O′与O的连线为z轴．
[规律总结] 1.用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题只要确定了正三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了．
2．若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥，运算确定上底面的位置后，用平面去截取(只需作平行线)．用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．由直观图还原平面图 一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．
[思路分析] 由直观图确定原来的图形的形状及数量关系，关键要把握“横坐标不变，纵坐标减半”的原理，逆推即可．
[规范解答] 如图①是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴，过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．[答案] 2.5
[解析] 由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线长为2.5.[辨析] 还原图形的过程，是画直观图的逆过程，它主要包括平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．本题中变为2a的两条边并不和y轴平行．因而将其变为2a是错误的．
[正解] C 如图(1)为三角形的直观图，图(2)为实际图形．取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴．过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点．在直角三角形A′O′M′中，第一章 §3
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形(以长×宽所在的平面表示观察视角的正面)
B．照片是三视图中的一种
C．若三视图中有圆，则原几何体中一定有球体
D．圆锥的三视图都是等腰三角形
[答案] A
[解析] 按定义，三视图必须是包含主、左、俯三种视图，所以B不对；圆柱、圆锥等图形的三视图中也可能有圆，故C不对；圆锥的视图中有圆，故D不对．按A题意，可知其三视图都为非正方形的长方形．
2．下列正四棱锥的主视图中，正确的是( )
[答案] B
[解析] 极据三视图的画法和主视图的方向可知，B选项正确．
3．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图都相同的几何体的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] D
[解析] 由题意知，正方体和球的主视图、左视图、俯视图都相同，故选D.
4．以下说法正确的是( )
A．任何物体的三视图都与物体摆放位置有关
B．任何物体的三视图都与物体摆放位置无关
C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
[答案] C
[解析] 球不管从何位置看三视图均为圆，故A错；正方体从不同角度观察，其三视图是不一样的，故B、D错．
5．(2014·新课标Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
[答案] B
[解析] 本题考查三视图
由三视图知识几何体是三棱柱，注意是平放的三棱柱．
6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
[答案] C
[解析] 由主视图可以看出去掉的小长方体在主视图的左上角，从左视图可以看出去掉的小长方体在左视图的右上角，由以上各视图的描述可知，该几何体如图所示，则易知俯视图为选项C.
二、填空题
7．如图所示的是一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．
[答案] 圆锥 圆柱
8．图中三视图代表的立体图形分别是____________．
[答案] (1)代表直四棱柱，(2)代表一个圆柱和一个长方体的组合体，(3)代表正六棱锥，(4)代表两个圆台的组合体．
三、解答题
9．添线补全下面物体的三视图．
[解析] 如图所示．
10．根据三视图(如图所示)想象物体原形，并画出物体的实物草图：
[解析] 由三视图可获取以下主要信息：
①由俯视图并结合其他两个视图可以看出物体是由一个圆柱和一个底面边长相等的长方体组合而成；
②圆柱的下底面和长方体的上底面正方形内切．再用尺规画出原图．草图如图所示．
一、选择题
1．已知一几何体的主视图与左视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( )
A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②④⑤ D．①②③④
[答案] D
[解析] 可以结合实物想象，对于①，可认为该几何体的最下部为棱柱，上部为两个圆柱；对于②，可认为该几何体的上部为两个棱柱，下部为圆柱；对于③，可认为该几何体的上部为圆柱，下部为两个棱柱；对于④，可认为该几何体的上部是底面为等腰直角三角形的棱柱，中间为一圆柱，底部为四棱柱；对于⑤，由原几何体最下部的两个视图可知，其俯视图不可能是一个三角形．
2. 三棱柱ABC－A1B1C1，如图所示，以BCC1B1的前面为正前方，画出的三视图，正确的是( )
[答案] A
[解析] 正面是BCC1B1为矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC，所以左视图为三角形，俯视图为两个有公共边的矩形，公共边为CC1在面ABB1A1内的投影．
二、填空题
3．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
[答案] 2
[解析] 根据三视图还原成实物图，图中四棱锥P－ABCD即是，所以最长的一条棱的长为PB＝2.
4．给出下列几个命题，其中真命题的个数是________．
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
③如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
[答案] 1
[解析] ①是错误的，因为球的三视图也是完全相同的；③也可能是棱台；只有②正确．
三、解答题
5．如图所示是一个零件的实物图，画出这个几何体的三视图．
[解析] 该零件由一个长方体和一个半圆柱拼接而成，并挖去了一个小圆柱(形成圆孔)．主视图反映了长方体的侧面和半圆的底面、小圆柱的底面，左视图反映了长方体的侧面、半圆柱的侧面、小圆柱的侧面，俯视图反映了长方体的底面、半圆柱的侧面和小圆柱的侧面投影后的形状．它的三视图如图所示．
6．已知一几何体的三视图如图所示，试画出它的直观图．
(说明：画直观图时，对尺寸比例不作严格要求)．
[解析]
7．如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个正方形．
(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图；(不写作法)
(2)求这个几何体的高．
[解析] (1)直观图如图．
(2)这个几何体是一个正四棱锥．
它的底面边长为2，高在主视图(或左视图)中可求，高h＝2sin60°＝.
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§3 三视图第一章参观上海世博会，看的最多的是什么？相信不少游客会异口同声地回答：电影．的确，无论是坐着看、站着看、转着看、躺着看、趴着看，影片已成为众多场馆的主要展示手段．纵观上海世博会场馆播放的影片，除了传统电影外，以高新技术打造的3D,4D电影比比皆是，屏幕更是从180度、360度直至720度，营造出令人震撼的视听效果．同学们，你们知道吗？电影的放映过程中就蕴含着丰富的视图知识.1.三视图的画法要求
(1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的________、________、________看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．
(2)一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的_______，长度与主视图一样；左视图放在主视图的_______，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．如图所示．正前方正上方正左方下面右面(3)记忆口诀：
①长对正，高平齐，宽相等；
②主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽．
(4)注意：
在三视图中，分界线和可见轮廓线用________线画出，不可见轮廓线，用________线画出．实虚2．组合体的三视图
(1)由基本几何体生成的组合体有两种基本形式：
①将___________拼接成组合体．
②从基本几何体中_______________构成组合体．
(2)画简单组合体的三视图应注意两个问题：
首先，确定主视、俯视、左视的________．同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能________．
其次，清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的________．
3．由三视图还原成实物图
由三视图画直观图时，必须先观察________，想象出具体形状，还原成________，再画出直观图．基本几何体切掉或挖掉部分方向不同交线位置三视图实物图1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
[答案] D[解析] 正方体的主视图、左视图、俯视图都为正方形；圆锥的主视图、左视图、俯视图依次为三角形、三角形、圆(含圆心)；三棱台的主视图、左视图、俯视图依次为梯形及上、下底中点的连线、梯形(不同于主视图)、三角形(内外两个对应顶点相连的三角形)；正四棱锥的主视图、左视图、俯视图依次为三角形、三角形、正方形及其两条对角线．2．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是下图中的( )
[答案] D
[解析] 由于圆锥的俯视图是一个圆内加一点，故选D.
3．如果一个几何体的主视图是矩形，则这个几何体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．圆柱
[答案] B
[解析] 棱锥的主视图不可能是矩形，故选B.4．某物体的实物图如图(甲)所示，在其三视图中，图①是____________；图②是____________；图③是____________．
[答案] 主视图 俯视图 左视图5．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱
⑤圆锥 ⑥圆柱
[答案] ①②③⑤
[解析] 只要判断主视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只需要倒着放就可以了，所以①②③⑤均符合题目要求． 如图所示是截去一角的长方体，画出它的三视图．
[思路分析] 物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形．简单几何体的三视图 [规范解答] 该长方体的三视图为如图所示：[规律总结] 1.画三视图时，首先确定主视、左视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．一般主视方向确定了，则左视与俯视的方向也就确定了，在有的问题里，直接给出主视图，也是确定主视方向的一个方法．
2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，左视图放在主视图的右面．如图所示，图(1)是底面边长和侧棱长都是2cm的四棱锥，图(2)是上、下底面半径分别为1cm,2cm，高为2cm的圆台，分别画出它们的三视图．[解析] (1)四棱锥的三视图如图所示：(2)圆台的三视图如下图所示：画简单组合体的三视图 画出下列几何体的三视图(阴影面为主视面)．
[思路分析] 画简单组合体的三视图时，首先要认真观察，可以想象自己就站在物体的正前方、正上方、正左方，观察它是由哪些基本几何体组合而成的，它的外轮廓线是什么，然后再去画图．[规范解答] ①②这两个组合体的三视图如下：[规律总结] 画简单组合体的三视图时要注意的问题：
(1)分清简单组合体是由哪些简单几何体组成的，是组合型还是切挖型．
(2)先画主体部分，后画次要部分．
(3)几个视图要配合着画．一般是先画主视图再确定左视图和俯视图．
(4)组合体的各部分之间要画出分界线．画出如图所示的几何体的三视图．
[解析] 如图所示．由三视图还原空间几何体 一个几何体的三视图如图所示，请画出它的直观图．
[思路分析] 解答本题可先根据三视图所提供的信息，应用三视图的相关概念，再进行逆推还原，从而使问题得解．[规范解答] 由三视图可知，该几何体如图所示．
[规律总结] 1.由三视图到立体图形，要仔细分析和观察三视图，充分想象，看图和想图是两个重要步骤．“想”在“看”中，形体分析的看图方法是解决此类还原问题的常用方法．
2．原几何体的轮廓线的长度与三视图长度之间的关系易混淆．根据如图所示中物体的三视图，画出该物体．[解析] 由主视图可以判断出这个几何体由两部分构成，由左视图可以判断出上下两部分的宽度是相等的，再由俯视图可以判断出这个几何体的上部分是一个圆柱，下部分是一个长方体.由三视图求几何体的相关量 若一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的高和底面边长以及左视图的面积．
[思路分析] 根据三视图提供的信息，可得正三棱柱的高和底面正三角形的高，从而可求底面边长以及左视图的面积．
[规律总结] 解决三视图中有关量的计算问题时，首先要明确三视图在度量上的特点：主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽，据此可互求三视图中有关线段的长度．其次要明确三视图对应的原几何体在度量上的特点，获得原几何体中相关的量，从而进行计算．(2015·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )[答案] C 画出如图所示物体的三视图．[错解] 如图所示．
[辨析] 被挡住的部分没有画出并且丢掉一些边．[正解] 如图所示．
[规律总结] 在画由基本几何体拼接而成的组合体的三视图时，除了要注意三视图的排列规则和特点外，最重要的是看清该组合体由哪几个基本几何体拼接而成，找准其表面的交线，即分界线，用实线画出．北师大版数学必修2 第二章 解析几何初步归纳总结课件（66张）
课件53张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§4 空间图形的基本关系与公理第一章民以食为天，以居为安．居住的要素少不了“门”，孔夫子的《论语·雍也》云：“谁能出不由户(户：门)？”道理虽很简单，却包蕴丰富．门在建筑上来说主要功能是围护、分隔和交通疏散作用，并兼有采光、通风和装饰作用．
一般情况下，门的一端有两个转轴，可以绕轴打开，另一端还有一个锁(古代为木制)．一旦上锁门就可以起到分隔的作用，这是非常浅显的道理，但却应用了我们数学上的“不在同一条直线上的三点确定一个平面”这条性质——也就是今天我们要学习的内容.1.空间两条直线的位置关系
(1)直线a与b在同一平面内，但___________，这样的两条直线叫作平行直线；
(2)直线a与b________________，这样的两条直线叫作相交直线；
(3)直线a与b_____________________，这样的两条直线叫作异面直线．没有公共点只有一个公共点不同在任何一个平面内2．空间直线与平面的位置关系
(1)直线与平面有____________，我们称这条直线在这个平面内；
(2)直线和平面只有____________，称这条直线与这个平面相交．
(3)直线和平面__________，称这条直线和这个平面平行．
3．空间平面与平面的位置关系
(1)两个平面__________，这样的两个平面叫作平行平面；
(2)两个平面不重合，但________，这样的两个平面叫作相交平面．无数个公共点一个公共点没有公共点没有公共点有公共点4．空间图形的公理
公理1 过______________________，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
①__________________________可以确定一个平面．
②两条________直线可以确定一个平面．
③两条________直线可以确定一个平面．
公理2 如果一条直线上的__________________，那么这条直线在这个平面内(即直线在平面内)．不在一条直线上的三点一条直线和这条直线外一点相交平行两点在一个平面内公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有____________________．
公理4
平行于同一条直线的两条直线______．
定理
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________．一条过该点的公共直线平行相等或互补1.线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是( )
A．AB?α
B．AB∈α
C．由线段AB的长短而定
D．以上都不对
[答案] A
[解析] 由公理1可知选项A正确．2．异面直线是( )
A．空间不相交的两条直线
B．分别位于两个平面内的直线
C．平面内的一条直线与这个平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[答案] D
[解析] 根据异面直线的概念可知．3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、 β重合
[答案] C
[解析] ∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A写法错误．4．空间三条直线互相平行，由每两条平行直线确定一个平面，则可以确定平面的个数为________．
[答案] 1或3
[解析] 三条直线在同一平面内时确定一个平面，三条直线不在同一个平面内时确定三个平面．5．若直线a不平行于平面α，且aα，则下列结论正确的是________．
①平面α内的所有直线与a异面；
②平面α内不存在与a平行的直线；
③平面α内存在唯一的直线与a平行；
④平面α内的直线与a都相交．
[答案] ②
[解析] 由已知得a与α相交，因此①③④错误，②正确． 如图所示，写出图形中的点、直线和平面之间的关系．
图(1)可以用几何符号表示为：________.
图(2)可以用几何符号表示为：________.用图形符号语言表示点、线、面之间的位置关系 [思路分析] 解答本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后再用符号语言写出．
[规律总结] 1.解答本题的关键是正确理解点、线、面表示的含义，点表示元素，线、面都是点的集合．
2．符号语言是数学中常用的一种语言，熟练掌握它与自然语言图形语言之间的转化，是解决几何问题的基础．本例若把图形改为如下图所示①②，请用符号语言表示其中的点、线、面的位置关系．空间点、线、面的位置关系 已知长方体ABCD－A1B1C1D1，如图所示，AC 与BD相交于点M，则下列说法中正确的是( )①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；
②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；
③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；
④直线AC与平面A1B1C1D1异面；
⑤直线BC与A1B1异面．
A．①③④ B．①②⑤
C．①③⑤ D．②③④⑤
[思路分析] 根据图形直接作出判断．
[答案] C[规范解答] ①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在直线A1B1外，正确；②中，直线AC与A1D1异面，错误；③中，两平面没有公共点，互相平行，正确；④中，直线与平面的位置关系中没有“异面”，直线AC与平面A1B1C1D1平行，错误；⑤正确．选C.
[规律总结] 本题主要考查长方体模型中点、线、面之间的位置关系，做题时，不要主观臆断，要认真观察模型，体会其空间关系．已知正四棱锥P－ABCD如图所示，试判断下列点、线、面之间的位置关系：
(1)点P与平面ABCD；
(2)直线PC与AB，直线AB与CD；
(3)平面PCD与平面PCB，平面PAB与平面PCD.
[解析] (1)点P在平面ABCD外．
(2)直线PC与AB异面，直线AB与CD平行．
(3)平面PCD与平面PCB有公共点P，所以两平面相交，平面PAB与平面PCD有公共点P，所以两平面也是相交的.点共线问题 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图，求证：P、Q、R三点共线．[思路分析] 方法一：[规范解答] 方法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
由公理3知点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
方法二：∵AP∩AR＝A.
∴直线AP与直线AR确定平面APR.又 ∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，
∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
[规律总结] 证明多点共线的方法是利用公理3，证明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上，方法二的思想是先由点P、R确定一条直线，证Q点也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线．多线共面问题 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[思路分析] 先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面上．
[规范解答] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
证法一：(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．证法二：(重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．[规律总结] 1.同一法证明直线共面的步骤：
①证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α；
②证明其余直线上均有两点在平面α内，即其余直线也在平面α内，也就是证明了这些直线共面．
2．重合法证明直线共面的步骤：
①证明这些直线确定若干个平面；
②利用公理及其推论证明这些平面重合，从而证明了这些直线共面．一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．
已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c，l共面．
[解析] 因为a∥b，所以a和b确定一个平面α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l?α.
又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理l?β.
即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面.多线共点问题 如图所示，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b.若直线a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点．
[思路分析] 直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)．[规范解答] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.
由于直线a和b不平行，∴a，b必相交，
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，
∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点．[规律总结] 证空间中三线共点有如下两种方法：
先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理3得该点在它们的交线上，从而得三线共点；或先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得三线共点．等角定理的应用
[规律总结] 在平面几何中，证明角相等的方法主要有：计算角的大小，证明等腰三角形，证明相似三角形或全等三角形，利用平行线的性质等等，但解决的都是平面内两个角相等的问题，而用等角定理可以证明空间的两个角相等，证明时，先证明两个角的两边对应平行，再说明两条边的方向相同或相反，在证明的过程中，常用到公理4.已知E，E1是正方体AC1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠C1E1B1＝∠CEB.[错解] A、B、C、D、E五点共面．
[辨析] 共面问题的证明，常分两步：(1)确定平面；(2)证明元素在确定的平面内，必须注意到平面是确定的，上述错解中，由于没有注意到B、C、D三点不一定确定平面，即默认B、C、D三点一定不共线，因而出错．[正解] (1)当B、C、D三点不共线时，由公理2可知B、C、D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A、B、C、D、E五点共面于α；
(2)当B、C、D三点共线时，设共线于l，且A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E有且只有一点在l上，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点不一定共面．
[规律总结] 证点共面常用两种方法：一是三点确定平面，证其余点也在平面内，二是确定几个平面，再证这几个平面重合．第一章 §5 5.1
一、选择题
1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上都不对
[答案] C
2．点N、M是正方体ABCD－A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．MN?平面PCB1 D．以上三种情况都有可能
[答案] A
[解析] 如图所示，∵M、N分别是A1B1、A1A的中点，
∴MN∥AB1.取B1C的中点G，又P是AC的中点，
∴PG∥AB1，∴MN∥PG.
又MN平面PCB1，PG?平面PCB1，
∴MN∥平面PCB1.
3．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．AC在此平面内
[答案] A
[解析] 如图所示，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，不难得出EF∥AC.显然EF?平面EFG，AC平面EFG，所以有AC∥平面EFG.
4．下列命题中正确的是( )
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点
[答案] D
[解析] A项中，若l∩α＝A时，除A点所有的点均不在α内；B项中，l∥α时，α中有无数条直线与l异面；C项中，另一条直线可能在平面内．
5．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形，∴应选C.
6．α、 β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α、 β都平行于直线l、m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l、m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
[答案] D
[解析] A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l、m的平行线l′、m′，则l′、m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β.
二、填空题
7．设a，b是直线，α是平面，给出下列四个命题：
①若a∥b，a∥α，则b∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b与α相交，则a与α也相交；
④若a与b异面，a∥α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
[答案] ③
[解析] 如图的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD∥直线B1C1，直线AD∥平面A1C1，但是直线B1C1?平面A1C1，所以①不正确；直线AD∥平面A1C1，直线AB∥平面A1C1，但AB与AD相交，故②不正确；③显然正确，可以用反证法证明；直线AD与直线B1A1异面，直线AD∥平面A1C1，但是直线B1A1?平面A1C1，所以④不正确．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱柱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线AC的位置关系是________．
[答案] 平行 平行
[解析] ∵B1B∥C1C，
∴直线BB1∥平面AA1C1C.
∵B1B?平面BB1D1D，∴B1B平行于两平面的交线．
由公理4知，交线平行于C1C.
由AC∥A1C1，AC平面BA1C1，A1C1?平面BA1C1，
∴AC∥平面BA1C1.
三、解答题
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA，PC，PD，取PD的中点F，若有AF∥平面PEC，试确定E点的位置．
[解析] 取PC的中点G，连接GE，GF.
由条件知GF∥CD，EA∥CD，
∴GF∥EA，则G，E，A，F四点共面．
∵AF∥平面PEC，平面GEAF∩平面PEC＝GE，
∴FA∥GE.则四边形GEAF为平行四边形．
∴GF＝CD，EA＝CD＝BA，
∴E为AB的中点．
10．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
[解析] 证法一：作MP∥AB交BC于P，NQ∥AB交BE于Q.
∴MP∥NQ，∵AM＝FN，
∴MP＝MC＝BN＝NQ.
∴MPNQ，则四边形MNQP为平行四边形，
∴MN∥PQ.
∵MN平面BCE，PQ?平面BCE，
∴MN∥平面BCE.
证法二：如图所示，连接AN并延长，交BE的延长线于G，连接CG，
∵AF∥BG，
∴＝＝，
∴MN∥CG，
∵MN平面BCE，CG?平面BCE，∴MN∥平面BCE.
一、选择题
1．对于不重合的两直线m、n和平面α，下列说法中正确的是( )
A．如果m?α，nα，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
C．如果m?α，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
[答案] B
[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB?平面AC，直线CC1平面AC，直线AB和直线CC1是异面直线，但是直线CC1∩平面AC＝C，排除选项A；直线AB?平面AC，直线B1C1平面AC，直线AB和直线B1C1是异面直线，但是直线B1C1∥平面AC，排除选项C；直线A1B1∥平面AC，直线B1C1∥平面AC，直线A1B1和直线B1C1共面，但是直线A1B1∩直线B1C1＝B1，排除选项D.
2．下列命题中正确的是( )
A．平行于同一平面的两条直线平行
B．同时与两条异面直线平行的平面有无数多个
C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行
D．直线l与平面α不相交，则l∥α
[答案] B
[解析] 平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面，所以A不正确；一条直线上有两点在一个平面外，则直线与平面相交或平行，所以C不正确；直线与平面不相交，意味着直线与平面平行或在平面内，D不正确．
二、填空题
3．已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面．
①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；
③a∥c，α∥c?a∥α；④a∥γ，α∥γ?a∥α；
⑤aα，b?α，a∥b?a∥α.
其中正确的命题号是________．
[答案] ①⑤
[解析] 由公理4知①正确；对于②，因平行于同一个平面的两条直线不仅仅是平行，也可以相交，所以②不对；对于③当a?α内时，我们不能说a∥α，所以错误；对于④当a∥γ，α∥γ时a∥α或a?α，所以④错误；对于⑤，由直线与平面平行的判定定理知成立．
4．如图是正方体的平面展开图．
在这个正方体中，
①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；
③平面BDM∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[答案] ①②③④
[解析] 展开图可以折成如下图a所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图b所示．
∵AB∥MN，且AB＝MN，∴四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，
∴①②正确；
如图c所示，连接NF，BE，BD，DM，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
三、解答题
5．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G分别为AA1、AB、AC的中点，M、N、P分别为A1C1、A1B1、C1C的中点．
求证：平面EFG∥平面MNP.
[解析] 连接A1C，在四边形ACC1A1中，
E、G分别为AA1，AC的中点，所以EG∥A1C.同理MP∥A1C，所以EG∥MP.
又因为EG?平面EFG，MP平面EFG，
所以MP∥平面EFG.
因为M、N分别为A1C1、A1B1的中点，
所以MN∥B1C1.同理可得，FG∥BC.
又因为BC∥B1C1，所以MN∥FG.
而MN平面EFG，FG?平面EFG，
所以MN∥平面EFG.
又因为MN∩MP＝M，所以平面EFG∥平面MNP.
6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P ＝ A1C1，连接AP交棱CC1于点D.
求证：PB1∥平面BDA1.
[证明] 连接AB1，与BA1交于点O，连接OD.
∵C1D∥AA1，A1C1＝C1P，∴AD＝PD.
又∵AO＝B1O，∴OD∥PB1.
又OD?平面BDA1，PB1平面BDA1，
∴PB1∥平面BDA1.
7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC＝2FB＝2，则当点M在什么位置时，MB∥平面AEF？试给出证明．
[解析] 当点M为AC的中点时，MB∥平面AEF.
证明如下：因为M为AC的中点，取AE的中点D，连接MD，DF，则MD为△AEC的中位线，所以MD∥EC且MD＝EC，
而FB∥EC且FB＝EC，
所以MD∥FB且MD＝FB，所以四边形DMBF为平行四边形，所以MB∥DF.而MB平面AEF，DF?平面AEF，所以MB∥平面AEF.
课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§5 平行关系第一章5.1 平行关系的判定1.直线与平面的位置关系
直线a在平面α内(记作________)，
直线a与平面α相交(记作________)，
直线a与平面α平行(记作________)．一条直线平行两条相交直线[答案] A
[解析] 由直线与平面平行的判定定理知A正确．2．直线l在平面α外指的是( )
A．l∩α＝A
B．l∩α＝?
C．l∩α＝A或l∩α＝?
D．l∩α有无数个公共点
[答案] C
[解析] 直线与平面平行或相交统称为直线在平面外．3．两个平面平行的条件是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
[答案] D
[解析] 由面面平行的定义可知．4．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面都是矩形，则：
(1)与直线AB平行的平面是__________________；
(2)与直线AA′平行的平面是_________________；
(3)与直线AD平行的平面是___________________．
[答案] (1)平面A′C′，平面DC′ (2)平面B′C，平面DC′ (3)平面A′C′，平面BC′
[解析] 由于长方体中存在平行的棱，所以由线面平行的判定定理可求．5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB和BC上的点，且AE︰EB＝CF︰FB＝1︰3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．
[答案] 平行 判断下列给出的各种说法是否正确？
(1)如果直线a和平面α不相交，那么a∥α；
(2)如果直线a∥平面α，直线b∥a，那么b∥α；
(3)如果直线a∥平面α，那么经过直线a的平面β∥α；
(4)如果平面α内的两条相交直线a和b与平面β内的两条相交直线a′和b′分别平行，那么α∥β.
[思路分析] 按照线面平行、面面平行的定义及判定定理对每个命题进行分析判断，得出其是否正确．对平行关系的理解 [规范解答] (1)不正确．当直线a和平面α不相交时，可能有a?α，不一定有a∥α；
(2)不正确．当直线b∥a时，如果bα，则有b∥α，如果b?α，则没有b∥α；
(3)不正确．当a∥α时，经过直线a的平面β可能与α平行，也可能与α相交；
(4)正确．由线面平行的判定定理，知a∥β，b∥β，且a，b?α，a与b相交，所以必有α∥β.[规律总结] 1.要全面、深刻地理解线面平行、面面平行的判定定理，运用这两个定理证明问题或判定分析结论是否正确时，一定要紧扣两个定理的条件，忽视条件，很容易导致判断错误．
2．在判断一些命题的真假时，要善于列举反例来否定一个命题，要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各种情形，以对一个命题的真假作出合理的判断．下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
④若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4[答案] A
[解析] 先考虑空间中直线与平面平行的特征，再结合空间想象力作出判断．
对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题．
对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题．
对于③，∵直线a∥b，b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，
∴a不一定平行于α，∴③是假命题．
对于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，
∴a可以与平面α内的无数条直线平行，
∴④是真命题．
综上所述，真命题的个数为1. 直线与平面平行的判定 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为AB，SC的中点．求证：EF∥平面SAD.[思路分析] 要证线面平行，可以将其转化为线线平行，即在平面内找到一条平行于EF的直线，又E，F分别为AB，SC的中点，就容易找到直线的平行关系，故可以考虑作辅助线，构成平行四边形，从而找到平行于EF并且在平面SAD内的直线．
[规律总结] 线面平行的判定方法：
(1)利用定义：证线面无公共点．
(2)利用线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行．巧妙地作出辅助线，构造线线平行是解决问题的关键．如下图，三棱柱A1B1C1—ABC中，M，N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1.面面平行的判定 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.[思路分析] 要证面面平行，依据平面与平面平行的判定定理，只需要证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可．
[规范解答] 证法一：如图所示，连接MF.
[规律总结] 面面平行的判定方法：
(1)利用定义，证面面无公共点．
(2)利用面面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面．[分析] 转化为证明平面DEF内的两条相交直线EF和DE平行于平面ABC.④假命题．∵α与β有公共直线l，
∴当a∥l时，a∥β，故填①③.
[辨析] 对命题②，审题时不能体会到任意一条直线a?α的含义，将其误判为假命题．
[正解] ②③ ①错，a∥β，b∥β，但a∥b时，α与β可以是相交平面；④错，当a∥l时，由a?α，α∩β，有a∥β.
[规律总结] 熟练掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定方法是解决这类小题的关键．第一章 §5 5.2
一、选择题
1. 有四个命题：
①若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
②c为直线，α，β为平面，若c∥α，c∥β，则α∥β
③若a?α，b?β，α∥β，则a、b无交点
④若a?α，α∥β，则a∥β
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①②中的α、β可能平行也可能相交；③④正确．
2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线( )
A．只和这个平面内的一条直线平行
B．只和这个平面内的两相交相直线不相交
C．和这个平面内的任何一条直线都平行
D．和这个平面内的任何一条直线都不相交
[答案] D
[解析] 设直线a∥平面α.过a作平面β使α∩β＝b，则a∥b，由此可知，平面α内凡是与b平行的直线也都与a平行；凡是与b相交的直线都与a异面，从而可知选项A、B、C均错，只有选项D正确．
3．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE︰EB＝AF︰FD＝1︰4，又H、G分别为BC、CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
[答案] B
[解析] 因EFBD，HGBD，故四边形EFGH为梯形．
4．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
[答案] D
[解析] ∵lα，∴l∥α或l∩α＝A，
若l∥α，则由线面平行性质定理可知，
l∥a，l∥b，l∥c，…，∴由公理可知，a∥b∥c…；
若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c＝A.
5．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是( )
A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
B．a∥c，b∥α，aα?a∥α
C．α∥β，β∥γ?α∥γ
D．α∥β，a∥α?a∥β
[答案] D
[解析] 当α∥β且a∥α时，可能有a∥β，也可能有a?β，因此选项D中的命题不正确．
6．设平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
[答案] D
[解析] 依题意，由点B和直线a可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c，则必有c∥a，且这样的直线c是唯一的．
二、填空题
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[答案]
[解析] 由于在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH边界及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
[答案] M∈FH
[解析] ∵FH∥D1D，HN∥BD，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，又MN?平面FHN，
∴MN与平面B1BDD1无公共点．∴MN∥平面B1BDD1.
三、解答题
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
[解析] 证法一：连接AF并延长交BC于M，连接B1M.
∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，
∴＝.
又∵BD＝B1A，B1E＝BF，
∴DF＝AE.
∴＝.∴EF∥B1M，
又B1M?平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，
∴EF∥平面BB1C1C.
证法二：作FH∥AD交AB于H，连接HE.
∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC?平面BB1C1C，
FH平面BB1C1C，∴FH∥平面BB1C1C，
由FH∥AD可得＝.
又BF＝B1E，BD＝AB1∴＝，∴EH∥B1B，
B1B?平面BB1C1C，EH平面BB1C1C，
∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H，
∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF?平面FHE，
∴EF∥平面BB1C1C.
10．如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.
∵AD?平面APD，BC平面APD，∴BC∥平面APD.
又∵平面BCFE∩平面APD＝EF，
∴BC∥EF.∴AD∥EF.
又∵E、F是△APD边上的点，
∴EF≠AD.∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形.
一、选择题
1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
[答案] D
[解析] A中α∩β＝a，b?α，则a，b可能平行也可能相交；
B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内；
C中a∥β，b∥β，a?α，b?α，根据面面平行的判定定理，需再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β.
D为面面平行性质定理的符号语言．
2．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
[答案] D
[解析] ∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1，∴B1C1∥面EFGH，B1C1∥FG，∴Ω是五棱柱，故选D.
二、填空题
3.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
[答案] a
[解析] 如右图，连接AC，易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ，
∴MN∥AC，∴PQ∥AC，
又∵AP＝，
∴＝＝＝，
∴PQ＝AC＝×a＝a.
4．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列结论：①若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；②若m、n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.
上面的结论中，正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
[答案] ③
[解析] ①m、n两条直线可能异面；②若m，n两条直线平行，则平面α，β可能相交；③正确．
三、解答题
5．如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1CD，求A1D︰DC1的值．
[证明] 如图所示，设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D︰DC1＝1.
6．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
[证明] 如图，连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED.
∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D.
又A1D1∩BD1＝D1，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是AB、B1C1上的点且AP＝B1Q，N是PQ的中点，M是正方形ABB1A1的中心．
求证：(1)MN∥平面A1B1C1D1；
(2)MN∥A1C1.
[解析] (1)连接PM并延长交A1B1于点E，连接AB1，则AB1必过点M，在△APM和△B1EM中，∠PAM＝∠EB1M，∠AMP＝∠B1ME，AM＝MB1，∴△APM≌△B1EM，
∴AP＝EB1，PM＝ME.
∵PN＝NQ，∴MN∥EQ.
而EQ?平面B1D1，∴MN∥平面B1D1.
(2)∵AP＝EB1，AP＝B1Q，∴EB1＝B1Q，
又A1B1＝B1C1，∴EQ∥A1C1.
又EQ∥MN，∴由平行公理得MN∥A1C1.
课件45张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§5 平行关系第一章5.2 平行关系的性质躺在轨道上运行的行星——天王星
天王星是一颗远日行星，按照距离太阳由近及远的次序是第七颗．在西方，天王星被称为“乌拉诺斯”，中文中，人们就将这个星名译做“天王星”．
在太阳系中，所有的行星基本上都遵循自转轴与公转轨道面接近垂直的运动，只有天王星例外，它的自转轴几乎与公转轨道面平行，也就是说天王星的自转轴所在的直线与公转轨道面(黄道面)呈现线面平行的位置关系，因此，它差不多是“躺”着绕太阳运动的．于是有些人把天王星称做“一个颠倒的行星世界”．平行过该直线交线∥平行交线∥ab1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
[答案] D
[解析] 直线与平面不平行，则直线与平面相交或直线在平面内，所以A、B、C都错．2．已知直线a，b和平面α，β，则下列结论正确的是( )
A．若a∥β，α∥β，则a∥α
B．若α∥β，a?α，则a∥β
C．若α∥β，a?α，b?β，则a∥b
D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b
[答案] B
[解析] 选项A中a可能在α内，选项C中a，b可能异面，选项D中a，b可能异面或相交，选项B中，α∥β，a?α，则a与β无公共点，∴a∥β.3．下列说法中正确的是( )
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④ B．①②③
C．②④ D．①②④
[答案] D
[解析] 由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确．因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故③错．4．若直线a∥平面α，a?β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝c，则a与c的位置关系是________．
[答案] 平行5．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
[答案] 平行
[解析] 由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，由面面平行的性质知l∥A1C1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.直线与平面平行的性质 [思路分析] 欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．
[规范解答] 连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又OM?平面BMD，AP平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
AP?平面PAHG，∴AP∥GH.如图，E，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD于点F，G.求证：EH∥FG.平面与平面平行的性质 如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD.(2)若PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．[思路分析] 由PB与PD相交于点P可知PB，PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．[规律总结] 利用平面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
(4)由定理得出结论．下列命题中不正确的是( )
A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线
[答案] A
[解析] 对于A，直线a有可能在β内，故A错误．B，C，D均正确，选A.用面面平行证线面平行 如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M是OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.[思路分析] 解题的关键是构造过MN与平面OCD平行的平面，根据题目条件中M为OA的中点，N为BC的中点，可利用三角形中位线的性质构造平面．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．
求证：AC∥平面BPQ.平行关系的综合应用 已知AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.
[思路分析] 根据题意，可以分AB，CD是否共面两种情况． 如图所示，已知E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：四边形BED1F是平行四边形．
[错解] 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1∥平面B1BCC1，由两平行平面与第三平面相交得交线平行，故D1E∥FB，同理可证D1F∥EB，故四边形EBFD1为平行四边形．[辨析] 错解主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理．立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题．正确的思路应分为两步，第一步将立体几何问题化归为平面几何问题，即先证明EBFD1为平面四边形(四点共面)，第二步再证明EBFD1为平行四边形，或者用平行四边形的充要条件证明．
[规律总结] 平面几何的命题很多在空间中不成立的，因此，平面几何的结论在立体几何中应用应遵循两点：
(1)在空间中放在同一平面内用；
(2)先证明在空间是真命题，再用．
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§6 垂直关系第一章6.1 垂直关系的判定英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃成为波士顿—瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，因此引起了许多旧贵族的嫉妒和不满．据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已．”瓦特回答道：“是的，那的确是根棒子，但是我可以用这样的3根棒子摆出12个直角，而你却不能做到．”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出12个直角．你能用3根棒子摆出12个直角吗？1.直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的________一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面________．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)定理内容：如果一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．任何垂直相交3．二面角及其平面角
(1)半平面的定义：一个平面内的________，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
(2)二面角的定义：从一条直线出发的______________________图形，叫作二面角，这条直线叫作_____________，这两个半平面叫作____________．一条直线两个半平面所组成的二面角的棱二面角的面(3)二面角的记法：
以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角______________，也可记作________________．
(4)二面角的平面角：
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别___________的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
(5)直二面角：平面角是______的二面角叫作直二面角．α—AB—β2∠α—AB—β作垂直于棱直角直二面角经过垂线⊥1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
[答案] C
[解析] 由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，所以OA⊥平面OBC.2．下列结论正确的是( )
A．若直线a与平面M内两条直线垂直，则a⊥M
B．若直线a与平面M内的无数条直线垂直，则a⊥M
C．若直线a与平面M内的一个三角形两边垂直，则a⊥M
D．若直线a与平面M内的一平行四边形两边垂直，则a⊥M
[答案] C
[解析] A中漏掉相交两字，B中无数条不等价于任何一条，D中同样不能保证两边是相交．3．设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
[答案] C4．(2015·巢湖检测)设α表示平面，a，b表示直线．
①a⊥α，a∥b?b⊥α；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a⊥α，b⊥α?a∥b.
上述说法中正确的序号是________．
[答案] ①③
[解析] ①正确；②中b与α可能平行，也可能在α内，故不正确；③易知正确．5．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB，BC的中点，O是AC、BD的交点，如图所示，则EF与平面BB1O的关系是________．
[答案] 垂直
[解析] EF与平面BB1O的关系，即EF与平面BB1D1D的关系．由已知可得EF⊥BD，EF⊥BB1，即可得EF⊥平面BB1D1D.6．AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB、△PAC、△ABC、△PBC中共有________个直角三角形．
[答案] 4
[解析] 由PA垂直于⊙O所在平面，知PA⊥AC，PA⊥AB，又AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，
由PA⊥BC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴三棱锥P－ABC的四个面均为直角三角形． 能够证明直线l与平面α垂直的条件是( )
①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n.
A．①②④ B．①③⑥
C．②④⑤ D．③④⑥
[思路分析] 利用直线与平面垂直的概念和判定定理解决．直线与平面垂直的概念的理解 [答案] C
[规范解答] 前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理，显然②④正确，①③错误；命题⑤说明：如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直；命题⑥中直线m，n确定平面α时，直线m，n有相交与平行两种情况，当相交时得l⊥α，当平行时不一定得到l⊥α.下列命题是假命题的是________．
(1)一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线不可能与平面内的无数条直线垂直．
(3)平面的垂线与这个平面一定相交．
(4)一条直线上有两点到一平面的距离相等，则该直线与平面平行．
[答案] (2)(4)[解析] (1)如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，则不具备线面垂直定义的要求，所以(1)为真命题；(2)若无数条直线为一组平行线，虽一直线与一平面不垂直，但该直线与无数条直线中有一条垂直即可，显然这是很容易做到的，故(2)为假命题；(3)若平面的垂线与这个平面不相交，则该垂线在平面内或与平面平行，显然与线面垂直的定义不符合，所以(3)为真命题；(4)若直线与平面相交时，在交点的两侧各取一点使到交点的距离一样，则此时这两个点到该平面的距离相等，故(4)为假命题.线面垂直的判定 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，在平面PAB中，作AH⊥PB.
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求证：AH⊥平面PBC.[思路分析] 证线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，而证线线垂直时，可根据线面垂直的定义．[规律总结] 1.利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤：
(1)在这个平面内找两条直线，证明它和这两条直线垂直；
(2)说明这个平面内的两直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论．
2．证明线面垂直时，需要先证线线垂直，而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直，从而根据线面垂直的定义得出线线垂直，因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程．已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°，PA＝PC＝2，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.
[解析] ∵PA＝PC，PD＝PB，且O是AC和BD的中点，∴PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.面面垂直的判定 (2014·江苏，16)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.[思路分析] (1)由三角形的中位线定理易证PA∥DE.
(2)易证DE⊥AC及DE⊥EF，故DE ⊥平面ABC.如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.简单的二面角问题 (1)如图(1)所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过C1、B、D三点作一个平面，试作出二面角C1－BD－C的平面角，并说明作图的根据；
(2)如图(2)所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试作出二面角A－BD－C的平面角，并说明作图的依据．[思路分析] 根据二面角平面角的定义作出．(1)正方体AC1中，二面角B1－AD－B的平面角是( )
A．∠B1BA B．∠BAD
C．∠B1DB D．∠B1AB
(2)三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，则二面角P－AB－C的平面角是( )
A．∠PAC B．∠PCA
C．∠APC D．∠PAB[答案] (1)D (2)A 平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA、PB、PC，且PA＝PB＝PC.若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.又O为△ABC的外心，
所以OD⊥AB，OE⊥BC.
又因为PD∩OD＝D，PE∩OE＝E，
所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO.
于是有AB⊥PO，BC⊥PO，
又因为AB∩BC＝B，
所以PO⊥平面ABC.
[规律总结] 几何论证应按步骤一步步证明，似是而非，推理不严密都是不合理的．第一章 §6 6.2
一、选择题
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
[答案] D
[解析] 由于l⊥平面α，m?α，所以l⊥m，所以D正确．
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
[答案] B
[解析] ?m⊥β.
3．已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β
B．若l∥α，α⊥β，则l∥β
C．若l⊥m，α∥β，m?β，则l⊥α
D．若l⊥α，α∥β，m?β，则l⊥m
[答案] D
[解析] 对于A，l可能在β内，错；对于B，l可以与β相交，或在β内，错；对于C，当l?β时，l∥α，错；对于D，??l⊥m，正确．
4．(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[答案] D
[解析] 选项A中，α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；选项B中，m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；选项C中，α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；选项D中，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确．所以选D.
5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是( )
A．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β
B．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n
C．α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥n
D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β
[答案] B
[解析] A中可能α∥β；C中可能m∥n；D中可能n?β.
6．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
[答案] D
[解析] 本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．
对于A，α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.
二、填空题
7．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是________．
[答案] 正方形
[解析] ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，故有EFAC，HGAC，
∴EFHG，则四边形EFGH为平行四边形，又所有边长均相等，故EF＝FG＝AC＝BD，所以四边形为菱形，取BD中点O，连接AO、CO，
∴AO⊥BD，CO⊥BD?BD⊥面AOC，
∵AC⊥BD.∴EF⊥FG，故四边形EFGH为正方形．
8．已知直线m，n，l，平面α，β.有以下命题：
①m?α，n?α；m∥β，n∥β，则α∥β.
②m?α，n?α；l⊥m，l⊥n，则l⊥α.
③α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
④m∥n，n?α，则m∥α.
其中正确的命题是________．
[答案] ③
[解析] 对①是说一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，不符合面面平行的判定定理，因为在同一平面内的两条直线没有指明“相交”；对②是说一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线就与这个平面垂直，也不符合线面垂直的判定定理，原因是同一平面内的这两条直线也不一定“相交”；对③符合面面垂直的性质定理；对④是说如果一条直线与另一条直线平行，那么这条直线就与另一条直线所在的平面平行，不符合线面平行的判定定理，原因是没指明“平面外”一条直线．
三、解答题
9．(2015·重庆高考)如图，三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.证明：AB⊥平面PFE.
[解析] 如图．由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
PE?平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，
从而PE⊥AB.
因∠ABC＝，EF∥BC.故AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PFE.
10．正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E，F，G，H.
(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请给出说明．
[解析] (1)
?AD∥HG，
同理EF∥AD，
∴HG∥EF，同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵A－BCD是正三棱锥，
∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，
∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形．
(2)当AP＝a时，平面PBC⊥平面EFGH，
在△ACP中∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP⊥PC，
又AD⊥BC，
∴AD⊥平面BCP，
∵HG∥AD，
∴HG⊥平面BCP，
又HG?平面EFGH，∴平面BCP⊥平面EFGH.
一、选择题
1．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论不成立的是( )
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
[答案] D
[解析] 连接B1C，则B1C与BC1相交于点F.
∵E，F分别是AB1，CB1的中点，
∴EF∥AC.
又BB1⊥AC，∴BB1⊥EF.
∴选项A成立．
又BD⊥AC，EF∥AC，
∴BD⊥EF.∴选项B成立．
观察图形易知选项C成立．
∵EF∥AC，A1C1∥AC，
∴EF∥A1C1.
故选项D不成立．
2．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
[答案] C
[解析] 由AD⊥BC，BD⊥AD?AD⊥平面BCD，
又AD?平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BCD.
二、填空题
3．下列三个命题在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成正确命题(其中l，m为直线，α，β为平面)，则此条件为________．
①?l∥α ②?l∥α
③?l∥α
[答案] lα
[解析] 通过分析可以看出本题实际上考查的是线面平行的判定定理，缺少的条件是“l为平面α外的直线”．
4．以下三个命题：①垂直于同一条直线的两条直线必平行②两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任一条直线都垂直于另一个平面③二面角的两个面必垂直于这个二面角的任一平面角所在的平面．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都写上)．
[答案] ③
[解析] ①中，垂直于同一条直线的两条直线平行或相交或异面，∴①错；两个平面互相垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，∴②错．故正确的只有③.
三、解答题
5．已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点，求证：平面MND⊥平面PCD.
[解析] 取PD的中点E，连接AE，NE，如图．
∵M，N分别是AB，PC的中点，∴EN＝CD＝AB＝AM，且EN∥CD∥AB.
∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.
∵在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边上的中线，
∴AE⊥PD.
又CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.
又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.
又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.
又MN?平面MND，∴平面MND⊥平面PCD.
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P－ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故AP⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，且AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD.
又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
[解析] (1)解：∵CD∥平面PBO, CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，
则BC＝DO.而AD＝3BC，∴AD＝3OD，
即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，
AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.
又PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD.
课件38张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§6 垂直关系第一章6.2 垂直关系的性质飞机是一种现代化的交通工具，但不知同学们是否注意到这样一个问题，几乎所有的固定翼飞机在尾翼的上方都安有一个与尾翼平面互相垂直的翼面，这个翼面叫飞机的垂直安定面．
飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时，此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互相垂直的平面之间的知识.1.直线与平面垂直的性质定理
(1)定理内容：如果两条直线同________于一个平面，那么这两条直线平行．
(2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)图形表示：
(4)简记为：线面垂直?线线平行．垂直
拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；②两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③垂直于同一直线的两个平面平行．垂直垂直
拓展：平面与平面垂直还有如下性质：
两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．也就是说：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内．1.下列说法正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．垂直于同一条直线的两条直线垂直
C．垂直于同一个平面的两条直线平行
D．垂直于同一条直线的直线和平面平行
[答案] C
[解析] 在空间中，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行，相交，也可能异面，所以选项A，B错；垂直于同一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或直线和平面平行，所以选项D错．4．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则n与α的关系是________．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E是DD1的中点，P是棱A1B1上一动点，则OP与AE的关系是________．
[答案] 垂直
[解析] 设AD的中点为F，则OP在AE所在平面ADD1A1内的射影为A1F.
又∵A1F⊥AE，A1B1⊥AE，
∴AE⊥面A1B1OF.∴OP⊥AE. 已知a，b是异面直线，α∩β＝c，a⊥α，b⊥β，直线l⊥a，l⊥b，求证：l∥c.
[思路分析] 可尝试把两条异面直线转化为相交直线，证明直线l与c与同一个平面垂直．
[规范解答] 如图，在a上取一点A，过点A作直线b′⊥β.线面垂直性质的应用 [规律总结] 1.线面垂直的性质定理本质上揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了一种证明线线平行的方法．
2．证明线线平行的常用方法是：(1)平行线的定义；(2)平行公理；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理．在实际证明时，要根据题意灵活选用．面面垂直性质定理的应用 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，
求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[分析] 解答本题可先由面面垂直得线面垂直，再进一步得出线线垂直．性质的综合应用 如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD的长．
[分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注意△ACB，△BCD都是Rt△.[错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
又∵AB在平面SAB内，∴AB⊥BC.
[辨析] 错解没有理解面面垂直的定理，误认为两个平面垂直，则一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面，显然不正确．知道面面垂直，要证线线垂直，可将证线线垂直转化为线面垂直．由已知面面垂直，则可在一个平面内作两个平面的交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知该直线垂直于另一个平面．第一章 §7 7.1
一、选择题
1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( )
A．1︰2 B．2︰3
C．1︰3 D．1︰4
[答案] B
[解析] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧面积＝2πrl，S表面积＝2πr2＋2πrl，∴S侧面积︰S表面积＝2πrl：(2πr2＋2πrl)＝2︰3，故选B.
2．(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π B．4π
C．2π＋4 D．3π＋4
[答案] D
[解析] 由空间几何体的三视图可知该几何体为竖着放的半个圆柱，S＝2×2＋π×2＋π＝3π＋4.故本题正确答案为D.
3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] D
[解析] 底面边长为1，
侧棱长为＝2.
∴S侧＝1×2×4＝8.
4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
[答案] C
[解析] 设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，
则l＝(r＋R)，
又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，∴l2＝16，∴l＝4.
5．半径为15cm，圆心角为216°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是( )
A．14cm B．12cm
C．10cm D．8cm
[答案] B
[解析] 设圆锥的底面半径为r，
则·360°＝216°解得r＝9，
∴圆锥的高是h＝＝12(cm)．
6．如图，在一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是( )
A．12＋4 B．8＋4
C．2＋8 D．6＋4
[答案] A
[解析] 该几何体为底面为直角三角形的直棱柱，如图．由图知AB＝AC，BC＝2，AB⊥AC.
∴S表＝2·＋2×2×2＋2×2＝12＋4.
二、填空题
7．轴截面是正方形的圆柱，轴截面面积为S，则它的全面积是________．
[答案] πS
[解析] 设圆柱的母线长为a，则a2＝S，所以a＝.设底面圆半径为r，则2r＝a＝，所以r＝.所以圆柱的全面积为2·πr2＋2πr·a＝2π·()2＋2π··＝πS.
8．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．
[答案]
[解析] 方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，
设侧面梯形的高为h，则由题意得×(3＋6)×h×4＝32＋62，h＝.
三、解答题
9．一个直棱柱的底面为菱形，对角面面积分别为Q1、Q2，求直四棱柱的侧面积．
[解析] 如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD＝c，AC＝d，
则
由①得c＝，由②得d＝，代入③，得
()2＋()2＝a2，∴Q＋Q＝4l2a2，
∴2la＝.∴S侧＝4al＝2.
10．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．
[解析] 如图所示，设圆柱底面圆的半径为R，高为h，则圆锥的底面半径为R，高为h，设圆锥母线长为l，
则有l＝
依题意，得
由①②，得R＝，即圆柱的底面半径为.
一、选择题
1．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
[答案] A
[解析] 本题考查三视图还原为直观图，几何体的表面积计算．
如图，还原直观图为边长为2的正方体截去两个角，
S表＝2×2×6－×1×1×6＋×()2×2＝21＋.
正确画出直观图是解题关键．
2．(2015·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )
A．2＋ B．4＋
C．2＋2 D．5
[答案] C
[解析] 根据三视图恢复成三棱锥P－ABC，其中PC⊥平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有PD⊥AB，CD⊥AB，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD＝BD＝1，PC＝1，PD＝，S△ABC＝×2×2＝2，S△PAB＝×2×＝，AC＝BC＝，S△PAC＝S△PBC＝××1＝，三棱锥表面积S表＝2＋2.
二、填空题
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
[答案] 38
[解析] 本题考查三视图知识及表面积求法．
根据三视图还原后的几何体为一个长方体中挖去一个圆柱，此长方体长、宽、高为3、4、1，圆柱底面半径为1，高为1，
∴S＝2(3×4＋3×1＋4×1)－2π＋2π×1×1＝38.
注意根据三视图还原后的几何体形状．
4．一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2.
[答案] 24π
[解析] 三视图表示的是圆锥，底面圆的直径为6cm，母线长为5cm，可得高为4cm，从而可得表面积为24πcm2.
三、解答题
5．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？
[解析] 几何体的表面积为：
S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2
＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.
6．如图是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，问需要油漆多少千克？(尺寸如图，单位：米，π取3.14，结果精确到0.01千克)
[解析] 建筑物为一组合体，上面是底面半径为3米，母线长为5米的圆锥，下面是底面边长为3米，高为4米的正四棱柱．
圆锥的表面积＝πr2＋πrl
≈3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36.
四棱柱的一个底面积＝32＝9，
四棱柱的侧面积＝4×4×3＝48.
所以外壁面积S≈75.36－9＋48＝114.36(平方米)．
故需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(千克)．
答：共需约22.88千克油漆．
7．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
[解析] 如图所示，在梯形ABCD中，
AD＝2，AB＝4，BC＝5.
作DM⊥BC，垂足为M，则DM＝4，MC＝5－2＝3，
在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝＝5.
在旋转生成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设它们的面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π×42＝16π，
S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，
故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§7 简单几何体的再认识第一章7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________.
(其中r为底面半径，l为侧面母线长)
S圆台侧＝________
(其中r1，r2分别为上、下底面半径，l为侧面母线长．)2πrlπrlπ(r1＋r2)l2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝________
(其中C为底面周长，h为高)
S正棱锥侧＝________________.
(其中C为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形的高．)
S正棱台侧＝________________.
(其中C′，C分别为上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等腰梯形的高．)Ch1.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )[答案] A2．(2014·福建高考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A．2π B．π
C．2 D．1
[答案] A
[解析] 本题考查了空间想象能力，圆柱侧面积公式．该圆柱侧面展开图是长宽分别为1,2π的矩形，面积为S＝2π.4．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．5．圆台的两底面半径分别为3,5，其侧面积为16，则母线长l＝________. 圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，求圆柱的全面积．
[思路分析] 先由条件求高和底面半径，再求侧面积和底面积．
[规范解答] 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
(1)以长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长．
∴2πr＝4π，即r＝2.
∴S底＝4π，S全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π.柱体的侧面积 (2)以长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长．
∴2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，
∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π.
∴圆柱的全面积为24π2＋8π或24π2＋18π.
[规律总结] 1.圆柱侧面展开图为矩形；
2．若矩形再卷成圆柱有两种卷法，形成的几何体有两个．底面是菱形的直四棱柱中，它的对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
[分析] 根据直棱柱的侧面积公式需要先求底面周长．
[解析] 如图所示，
设底面对角线AC＝a，BD＝b，
交点为O，对角线A1C＝15，BD1＝9.
故有a2＋52＝152，b2＋52＝92，正棱锥与正棱台的侧面积 已知正四棱台上底面边长为4cm，侧棱和下底面边长都是8cm，求它的侧面积．
[思路分析] 正棱台中，三个直角梯形把上、下底面边长、高、斜高、侧棱联系起来，由此可求得正四棱台的斜高．
[规律总结] 棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积据平面几何知识求解，侧面积关键是求斜高和底面边长．斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，因此利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键．已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．圆锥与圆台的侧面积 圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，这两部分侧面积的比为( )
A．1︰1 B．1︰2
C．1︰3 D．1︰4
[思路分析] 本题主要考查圆锥的侧面积和圆台的侧面积，关键是利用比例的关系求解．
[答案] C如图所示，一个圆台形花盆盆口半径为20cm，盆底半径为15cm，底部渗水圆孔半径为1.5cm，盆壁长15cm，那么花盆的表面积约为多少平方厘米(π取3.14，结果精确到1cm2)?
[解析] 由圆台的表面积公式得花盆的表面积
S＝π(20＋15)×15＋π×152－π×1.52
＝745.5π≈2341(cm2)．
因此，花盆的表面积约为2341cm2.与三视图有关的几何体的侧面积 已知某几何体的俯视图是如图(1)所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．求该几何体的侧面积S.[规律总结] 1.由三视图求几何体的表面积；三视图与面积结合是常见的题型，此类问题需首先分析由三视图所还原的实物图的组成形式、各面的结构特征及有关线段的长度，然后代入相关的表面积公式再计算．
2．对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．
3．对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体的表面的变化． 已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，高为3，则该棱台的侧面积为________．第一章 §7 7.2
一、选择题
1．圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是( )
A. B．2π
C．4π D．6π
[答案] A
[解析] V圆锥＝×π×12×2＝.
2．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( )
A．18＋6 B．6＋2
C．24 D．18
[答案] B
[解析] V棱台＝×3×(2＋4＋)＝6＋2.
3. (2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8 cm3
B．12 cm3
C. cm3
D. cm3
[答案] C
[解析] 由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积V＝23＋×22×2＝(cm3)，故选C.
4．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
A．3 B．
C．1 D．
[答案] C
[解析] 本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题．
由条件知底面B1DC1的面积为侧面面积的一半，即为，而高为底面等边三角形的高，为，
∴VA－B1DC1＝××＝1.
5．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A．4，8 B．4，
C．4(＋1)， D．8,8
[答案] B
[解析] 由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又因为侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h′＝＝，侧面积S＝4××2×＝4，体积V＝×2×2×2＝.
6．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
[答案] B
[解析] 设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8，解得r＝，所以米堆的体积为×π×()2×5≈，故堆放的米约为÷1.62≈22(斛)，故选B.
二、填空题
7．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
[答案]
[解析] 如图所示，则母线PA＝2，设圆锥底面半径为r，则有2πr＝×2π×2，则r＝1，则圆锥的高h＝＝，所以圆锥的体积是×12×＝.
8．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
[答案]
[解析] 该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成，所以该几何体的体积为2××π×12×1＋π×12×2＝(m3)．
三、解答题
9．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点．
(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积．
[解析] (1)证明：连接OC，
∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，
∴QB⊥SC，QB⊥OC，
∴QB⊥平面SOC.
∵OH?平面SOC，
∴QB⊥OH.
又OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.
(2)解：连接AQ，∵Q为底面圆周上一点，AB为直径，
∴AQ⊥QB.在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，
∴AB＝＝4.
∵△SAB是等腰直角三角形，
∴SO＝AB＝2.
∴V圆锥＝π·OA2·SO＝π.
10．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别是棱AA1和CC1中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．
[解析] ∵EB＝BF＝FD1＝D1E＝
＝a，且EB∥FD1，ED1∥BF，
∴四边形EBFD1为菱形．又△EFB≌△EFD1，且三棱锥A1－EFB和A1－EFD1等高，
∴VA1－EFB＝VA1－EFD1，
∴VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EA1B.
而S△EA1B＝××a＝，F到面EA1B的距离为a，
∴VF－EA1B＝××a＝，
∴VA1－EBFD1＝.
一、选择题
1．三棱台ABC－A1B1C1中，AB︰A1B1＝1︰2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为( )
A．1︰1︰1 B．1︰1︰2
C．1︰2︰4 D．1︰4︰4
[答案] C
[解析] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh，
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－
＝Sh.
∴体积比为1︰2︰4.∴应选C.
2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 本题考查立体几何的三视图及体积的求法．
∵加工前的零件半径为3，高为6，
∴体积V1＝9π·6＝54π.
∵加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高为4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，
∴体积V2＝4π·4＋9π·2＝34π.
∴削掉部分的体积与原体积之比＝＝.故选C.
二、填空题
3．下图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm.
[答案] 0.6
[解析] 因为圆锥形铅锤的体积为×π×()2×20＝60π(cm3)，
设水面下降的高度为xcm，则这部分水的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3)．
所以有60π＝100πx，
解此方程得x＝0.6.
4．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5︰2︰8，体积为14cm3，则棱台的高为________cm.
[答案] 2
[解析] 由题意设正四棱台的斜高与上，下底面边长分别为5x,2x,8x，则高h＝＝4x.由棱台的体积公式可得·4x(4x2＋16x2＋64x2)＝14，
解得x＝.所以h＝2cm.
三、解答题
5．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B、D、A1截下一个三棱锥．
(1)求此三棱锥的体积；
(2)以BDA1为底面时，求此三棱锥的高．
[解析] (1)若三棱锥以△ABD为底面，则AA1就是高，所以V＝·a2·a＝a3.
(2)若以△BDA1为底面，设高为h，则V＝S△BDA1·h＝×·(a)2·h＝a2h，又由(1)有V＝a3，
所以a2h＝a3，解得h＝a.
6．(新课标Ⅱ高考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．
[解析] (1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF，
因为DF?平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D
所以VC－A1DE＝××××＝1.
7．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积．
附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．
[解析] 思路分析：(1)由三角形全等、等腰三角形的三线合一及线面垂直的判断定理可求得结论1；(2)通过作辅助线求得三棱锥A－BCD的高，从而求了三棱锥G－BCD的高，最后求出此三棱锥的体积．
证明：(1)由已知得△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，
又G为AD的中点，∴CG⊥AD，
同理BG⊥AD，∴AD⊥面BGC.
又EF∥AD，∴EF⊥面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于O.
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥面BDC.
又G为AD中点，因此G到平面BDC距离h是AO的一半，
在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝，
∴VD－BCG＝VG－BCD＝S△DBC·h＝××BD·BC·sin120°·＝.
课件37张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§7 简单几何体的再认识第一章7.2 柱、锥、台的体积被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的4000多年的漫长岁月中，一直是世界上最高的建筑物．在4000多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成宏伟的大金字塔的，这真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑物，塔底边长230m，塔高146.5m，你能收集数据并计算建此金字塔用了多少石块吗？1.棱柱和圆柱的体积
柱体(棱柱和圆柱)的体积公式：V柱体＝________，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．特别地，圆柱的体积公式可表示为：V圆柱＝Sh＝πr2h，其中r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．Sh2．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为( )
A．a︰b B．b︰a
C．a3︰b3 D．b3︰a3
[答案] B3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
4．正方体的棱长都增加1cm，它的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长是________cm.
[答案] 1
[解析] 设正方体的棱长为xcm，则(x＋1)3＝8x3，解得x＝1.5．设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．求柱体的体积 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②.
求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．锥体的体积 [思路分析] 对于棱锥Q－ABCD，其底面为正方形ABCD，高即为QA，易求体积；对于三棱锥P－DCQ，若以△DCQ为底面，则应证明PQ是其高，然后再计算，也可将三角形CDP作为底面，这时其高易证即为AD，从而可求体积．求台体的体积 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．
[思路分析] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而解出体积．棱台的体积为76cm3，高6cm，一个底面的面积为18cm2，求另一个底面的面积．组合体的体积 如图是一个物体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算此物体的体积(精确到0.01cm3)． 正四棱台的斜高是10cm，两底面边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的体积．第一章 §7 7.3
一、选择题
1．如果两个球的体积之比为8︰27，那么两个球的表面积之比为( )
A．8︰27 B．2︰3
C．4︰9 D．2︰9
[答案] C
[解析] 设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝.则两个球的表面积之比为＝()2＝.
2．圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( )
A．6︰5 B．5︰4
C．4︰3 D．3︰2
[答案] D
[解析] 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，母线长为2R，则圆柱的表面积为2πR2＋2πR×2R＝6πR2，球的表面积为4πR2，所以圆柱的表面积与球的表面积的比是6πR2︰4πR2＝3︰2.
3．直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A．144π，144π B．144π，36π
C．36π，144π D．36π，36π
[答案] D
[解析] 球的半径为3，S球＝4π×32＝36π.
V球＝π×33＝36π.
4．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为( )
A．27π B．π
C．36π D．π
[答案] A
[解析] S正＝54，∴边长a＝3,2R＝3，
∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3)2＝27π.
5．(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A. B．16π
C．9π D．
[答案] A
[解析] 本题考查空间几何体的结构特征，球的表面积运算．设球的半径是r，根据题意可得(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以球的表面积是S＝4πr2＝4π()2＝.
6．球面上四点P、A、B、C，已知PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为( )
A．2πa2 B．3πa2
C．4πa2 D．6πa2
[答案] B
[解析] 可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．
∴有a＝2R，∴R＝a，∴S＝4πR2＝3πa2.
二、填空题
7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．
[答案] 2πa2
[解析] 气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长a，则此时气球的半径r＝a，则表面积为4πr2＝4π×(a)2＝2πa2.
8．(新课标Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH︰HB＝1︰2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
[答案] π
[解析] 本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．
如图设球O半径为R，则BH＝R，OH＝，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－()2＝1，R2＝，S球＝4πR2＝π.
三、解答题
9．正方体的全面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积．
[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2，
正方体内切球的直径等于其棱长，∴2r＝2，r＝1，
故内切球的体积V内＝πr3＝π.
外接球的直径等于正方体的对角线长，
∴2R＝a，∴R＝，
故外接球的体积V外＝πR3＝π×()3＝4π.
10．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
[解析] (1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8(cm)．
(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r，
由△OCD∽△ACO1得＝.
∴＝，解得r＝3.
圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即
V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3).
一、选择题
1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π
C．144π D．256π
[答案] C
[解析] 如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C.
2．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是( )
A．96 B．16
C．24 D．48
[答案] D
[解析] 由πR3＝，
∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.
设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4.
∴V＝(4)2·4＝48.
二、填空题
3．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
[答案]
[解析] 本题考查了正方体外接球的体积.
设球半径为R，正方体棱长为a，则V球＝πR3＝π，得到R＝，正方体体对角线的长为a＝2R，则a＝，所以正方体棱长为.正方体体对角线的长为a，其长度等于外接球的直径，注意这些常用结论．
4．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
[答案]
[解析] 本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力．
依据题意画出示意图：
设球半径R，圆锥底面半径r，则
πr2＝·4πR2，
即r2＝R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OO＋O1C2得OO1＝R.
所以，高的比为.
三、解答题
5．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
[解析] 设正方体的棱长为a，
(1)正方体的内切球的球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如答图(1)，所以2r1＝a，r1＝.所以S1＝4πr＝πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点，过球心作平行于正方体底面的截面，如答图(2)，2r2＝a，r2＝a，所以S3＝4πr＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如答图(3)，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S2＝4πr＝3πa2.
综上可得S1︰S2︰S3＝1︰2︰3.
6．两个球的体积之和为12π，这两个球的大圆周长之和为6π，求大球半径与小球半径之差．
[解析] 设两球的半径为R，r(R>r)．由已知，得
，得
∵R3＋r3＝(R＋r)(R2－Rr＋r2)＝9，
∴R2－Rr＋r2＝3，
∴(R＋r)2－3Rr＝3，得Rr＝2，
∴(R－r)2＝(R＋r)2－4Rr＝1，
∴R－r＝1.故大球半径与小球半径之差为1.
7．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．
[解析] 如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A作AO⊥平面BCD于O，连接BO.
在Rt△AOB中，
AB＝1，BO＝×＝，
所以AO＝＝.
设球的半径为R，球心为O1，则O1在线段AO上，OO1＝AO－R＝－R，O1B＝R，BO＝，
在Rt△O1OB中，O1B2＝OB2＋OO，
即R2＝2＋2，解得R＝.
所以球的表面积为S＝4πR2＝.
课件29张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修2 立体几何初步第一章§7 简单几何体的再认识第一章7.3 球为了让上海世博会与南非世界杯这两个2010年全球最重要的盛会遥相呼应，德国馆的工程师把目光投向了馆内一个重达1.23吨的金属互动球．该球直径为3米，基底下设有声控及互动交控装置，球体表面可播放、展示LED影像及图片．一旦参观者齐声高喊，金属球就会应声摆动，这成为德国馆的一大亮点．想要计算出该球的体积吗？赶快来学习本节知识吧！1.球的体积
球的半径为R，那么它的体积是V＝________.
2．球的表面积
球的半径为R，那么它的表面积是S＝________.1.已知两个球的半径之比为1︰2，则这两个球的表面积之比为( )
A．1︰2 B．1︰4
C．1︰6 D．1︰8
[答案] B3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )
A．R B．2R
C．3R D．4R
[答案] D4．球的表面积为4πcm2，则其体积为________cm3. 一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49πcm2和400πcm2，试求球的表面积．
[思路分析] 求球的表面积或体积只需要求出球的半径，要求球的半径只需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．球的表面积 [规范解答] (1)当球心在两个截面同侧时，如右图，设OD＝x，由题意知π·CA2＝49π，
∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．
设球半径为R，则依题意，得
(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，
即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.
∴R＝25，故S球＝4πR2＝2500π(cm2)．(2)当球心在两个截面之间时，如右图．
设OD＝xcm，则OC＝(9－x)cm，
由题意得π·CA2＝49π，
∴CA＝7(cm)．
同理可得BD＝20cm.
设球半径为R，则依题意，知
x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程无正数解，故此情况不可能．
综上可知，所求球的表面积为2500π(cm2)．
[规律总结] 常常借助于球的轴截面性质列方程(组)求球半径，进而求出球的表面积．轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件．球的体积 一种空心钢球的质量为142g，外径是5.0cm，求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)．一个平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个平面距离为4cm，则球的体积为________cm3.球的组合体 [规律总结] 与球有关的组合体问题，通常有两种情况：一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径，球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
[答案] B