北师大版数学必修2 第一章 立体几何初步 基础知识检测

第一章基础知识检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下列说法正确的是(　　)
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
[答案]　C
[解析]　不在同一直线上的三点确定一个平面，A不能确定三点的关系，A错误；四边形还有空间四边形，因此B也错误；梯形有两个底边互相平行，所以C正确；D显然错误．
2. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n?α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
[答案]　B
[解析]　本题考查空间中平行关系与垂直关系．
对于A，m∥α，n∥α，则m，n的关系是平行，相交，异面，故A不正确．
对于B.由直线与平面垂直的定义知正确．
本题的解法也可以借助笔与书本模拟演示判定．
3．两个不重合的平面有一个公共点，则这两个平面(　　)
A．相交　　　　　　 B．平行
C．相交或平行 D．垂直
[答案]　A
[解析]　根据公理3知这两个平面相交，但是不一定垂直，故选A.
4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]C
[解析]　考查多面体的基本概念及线面的位置关系. AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1
与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，
第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．
5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)
[答案]　B
[解析]　本题考查了三视图的有关知识；
(可用排除法)由正视图可把A，C排除，
而由左视图把D排除，故选B.
6．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为(　　)
A．13 B．12
C．5 D．
[答案]　A
[解析]　设球的半径为R，则R＝＝13.
7．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为(　　)
A．2︰1 B．2︰3
C．2︰π D．2︰5
[答案]　A
[解析]　设半径为r，圆锥的高为h，由题意得：V圆锥＝πr2h＝πr3×.∴h︰r＝2︰1.
8．下列叙述中，正确的有(　　)
①若平面α内有一条直线平行于另一个平面β，则α∥β；
②若平面α内有两条直线平行于另一个平面β，则α∥β；
③若平面α内有无数条直线平行于另一个平面β，则α∥β；
④若平面α内有两条相交直线都与平面β平行，则α∥β.
A．1个　 B．2个　
C．3个　 D．4个
[答案]　A
[解析]　在①②③中平面α与平面β可以平行，也可以相交，所以①②③错，④对，故正确的有1个．
9．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　D
[解析]　由三视图得，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去四面体A－A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则VA－A1B1D1＝×a3＝a3，故剩余几何体体积为a3－a3＝a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D.
10. 如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　)
A．2(1＋)cm B．6cm
C．2(1＋)cm D．8cm
[答案]　D
[解析]　由图形的直观图可知，原来的图形是一个平行四边形，如图所示，则OB＝2O′B′＝2cm，所以AB＝＝3cm.所以原图形的周长是3＋3＋1＋1＝8(cm)．
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(　　)
A．线段B1C上
B．线段BC1上
C．BB1中点与CC1中点的连线上
D．B1C1中点与BC中点的连线上
[答案]　A
[解析]　易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C.
12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(　　)
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
[答案]　B
[解析]　找出图形在翻折过程中变化的量与不变化的量．
对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知E，F不重合．在图(2)中，连接CE，若直线AC与BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE.
∴BD⊥CE，与点E，F不重合矛盾，故A错误．
对于选项B，若AB⊥CD，
又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，
∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，
由AB使得AB与CD垂直，故B正确．
对于选项C，若AD⊥BC，
又∵DC⊥BC，AD∩CD＝D，
∴BC⊥平面ACD.
∴BC⊥AC，已知BC＝，AB＝1，BC>AB，
∴不存在这样的直角三角形，∴C错误．
由以上可知D错误，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是D1A1、A1B1、B1C1的中点，则面AEF与平面GBD的关系为________．
[答案]　平行
[解析]　如图所示，连接EG、B1D1、BD.
∵EF∥B1D1，B1D1∥BD，
∴EF∥BD.
又∵EGA1B1，A1B1AB，
∴EGAB，
∴四边形EABG为平行四边形．
∴AE∥BG.
∵AE∩EF＝E，
且AE、EF?平面AEF，BD、BG?平面BDG.
∴平面AEF∥平面GBD.
14.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块并拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积是______．
[答案]　(4＋2)a2
[解析]　S＝2a2＋2a2＋2a2＝(4＋2)a2.
15．在正方体ABCD－A′B′C′D中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E、交CC′于F，则以下结论中错误的是______．
①四边形BFD′E一定是平行四边形
②四边形BFD′E有可能是正方形
③四边形BFD′E有可能是菱形
④四边形BFD′E在底面投影一定是正方形
[答案]　②
[解析]　如图，平面BFD′E与相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′交线BF∥D′E，同理BE∥D′F，故①正确．
特别当E、F分别为棱AA′、CC′中点时，BE＝ED′＝BF＝FD′，四边形为菱形，其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD，∴②错误．
16．圆台上、下底面积分别为π，4π，侧面积为6π，则该圆台的体积是________．
[答案]　π
[解析]　由圆台上，下底面面积S′，S分别为π，4π，可知圆台上，下底面半径r′，r分别为1,2.
又由圆台的侧面积公式
S圆台侧＝π(r＋r′)·l＝π(1＋2)l＝6π，得l＝2.
设圆台的高为h，
h＝＝＝.
所以圆台的体积V圆台＝(S＋S′＋)
＝(π＋4π＋2π)＝π.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)一几何体的直观图如图所示：
(1)画出该几何体的三视图．
(2)求该几何体的表面积与体积．
[解析]　(1)
(2)S表＝2(8×8＋8×4＋8×4)＋4π×8＝32π＋256，
V＝8×8×4＋π×2×8＝32π＋256.
18．(本小题满分12分)正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台侧棱的长和斜高．
[解析]　如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1和O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O，E1E，O1B1，OB，O1E1，OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．
∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，
∴O1E1＝2cm，OE＝8cm，O1B1＝2cm，OB＝8cm.
∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361，
E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325.
∴B1B＝19cm，E1E＝5cm.
即棱台的侧棱长为19cm，斜高为5cm.
19．(本小题满分12分)如图，三棱柱A1B1C1－ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，已知点M是A1B1的中点．求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.
[解析]　由三视图可知三棱柱A1B1C1－ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.
∵A1C1＝B1C1，M为A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1.
又∵平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，平面A1B1C1∩平面AA1B1B＝A1B1，
∴C1M⊥平面AA1B1B.
又∵C1M?平面AC1M，
∴平面AC1M⊥平面AA1B1B.
20．(本小题满分12分)(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；
(3)证明：直线DF⊥平面BEG.
[解析]　(1)点F，G，H的位置如图所示．
(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
于是BCHE为平行四边形，
所以BE∥CH.
又CH?平面ACH，BE平面ACH，
所以BE∥平面ACH，
同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH.
(3)连接FH，
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.
因为EG?平面EFGH，所以DH⊥EG，
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.
又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG，
同理DF⊥BG，
又EG∩BG＝G，
所以DF⊥平面BEG.
21．(本小题满分12分)如图所示，在体积为1的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC＝AA1＝1，P为线段AB上的动点．
(1)求证：CA1⊥C1P；
(2)线段AB上是否存在一点P，使四面体P－AB1C1的体积为？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)证明：连接AC1，∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB.
又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面AA1C1C.
又∵CA1?平面AA1C1C，∴AB⊥CA1.
∵AC＝AA1＝1，∴四边形AA1C1C为正方形，∴AC1⊥CA1.
∵AC1∩AB＝A，∴CA1⊥平面AC1B.又C1P?平面AC1B，∴CA1⊥C1P.
(2)设在线段AB上存在一点P，使VP－AB1C1＝.
VABC－A1B1C1＝×AB×1×1＝1，∴AB＝2.
又∵AC⊥AB，AA1⊥AC且C1A1⊥平面ABB1A1，BB1⊥AB，
由VP－AB1C1＝VC1－PAB1＝，
知S△PAB1·C1A1＝×PA·BB1＝×PA×1＝，解得PA＝1，
∴存在AB的中点P，使VP－AB1C1＝.
22．(本小题满分12分)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.
[解析]　(1)由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GHAD.
又BCAD，故GHBC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：
由BEAF，G是FA的中点知，BEGF，
所以EF∥BG，
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．
又点D在直线FH上，
所以C、D、F、E四点共面．
(3)连接EG，由AB＝BE，BEAG，及∠BAG＝90°知四边形ABEG是正方形，
故BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，
故AD⊥平面FABE，
∴AD⊥BG，∴BG⊥平面ADE，
由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.
由(2)知F∈平面CDE，故CH?平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.