北师大版数学必修2 第一章 立体几何初步 综合能力检测

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第一章综合能力检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【来源：21·世纪·教育·网】
1. 若P是平面α外一点，则下列命题正确的是(　　)
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C．过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
[答案]　D
[解析]　过P点平行于α的平面内任一直线都与平面α平行．
2．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(　　)
A．异面　　　　 B．相交
C．平行 D．不能确定
[答案]　C
[解析]　如图所示，设α∩β＝l，a∥α，a∥β，过直线a作与α，β都相交的平面γ.
记α∩γ＝b，β∩γ＝c，
则a∥b，且a∥c，
所以b∥c，b∥β.
又b?α，α∩β＝l，
所以b∥l，a∥l.
3．(广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若l⊥β，l∥α，则l⊥β
[答案]　B
[解析]　本题考查了空间线面关系．
若α∩β＝m，l∥m，lα，lβ，则A错．
垂直于同一直线的两平面平行，B正确．
当l⊥α，l∥β时α⊥β，C错．
若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，D错．
4．两个半径为1的小铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为(　　)
A．2 B．
C. D．
[答案]　B
[解析]　熔化后铸成的大球的体积等于两个小铁球的体积之和．设大球的半径为R，则πR3＝2×π×13，所以R＝.故选B.2-1-c-n-j-y
5．某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)
(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)
A．3 B．2
C. D．1
[答案]　D
[解析]　本题考查了三视图及体积计算公式 ( http: / / www.21cnjy.com )等．由图知平面PAB⊥平面ABC，PD⊥AB，PD⊥平面ABC，底面是边长为2的正三角形，∴V＝Sh＝××＝1.由三视图找出垂直关系是关键．【来源：21cnj*y.co*m】
6．(2015·山东高考)在梯形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A. B．
C. D．2π
[答案]　C
[解析]　梯形ABCD绕AD所在直线旋转一 ( http: / / www.21cnjy.com )周所形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥所得的组合体；所以该组合体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π×12×2－π×12×1＝2π－＝.故选C.
7．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
[答案]　D
[解析]　选项A有可能平行，也有可能相交；选项B、C，平面α与平面β可能相交；选项D正确．
8．如图，BCDE是一个正方形，AB⊥平面BCDE，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有(　　)
A．4组 B．5组
C．6组 D．7组
[答案]　B
[解析]　与平面BCDE垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直的平面有2个，与平面ABC垂直的平面有2个，(含平面ABE，不含平面BCDE)．与平面ABE垂直的平面有2个(含平面ABC，不含平面BCDE)，∴2＋2＋2－1＝5.【出处：21教育名师】
9．有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为V球和V正，球的直径为d，正方体的棱长为a，则(　　)
A．d>a，V球>V正 B．d>a，V球C．dV正 D．d[答案]　A
[解析]　S球面＝4πr2＝6a2＝S正方体，
∴＝，＝>1，∴d>a.
V球︰V正＝πr3︰a3＝πd3︰6a3＝d︰a，
∴V球>V正．
10．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A．108cm3 B．100cm3
C．92cm3 D．84cm3
[答案]　B
[解析]　结合三视图可得几何体的直观图如图所示，
其体积V＝VABCD－A1B1C1D1－VD1－A1EF，由三视图可得VABCD－A1B1C1D1＝6×6×3＝108cm3，21世纪教育网版权所有
VD1－A1EF＝××4×4×3＝8cm3，
所以V＝100cm3，选B.
11. 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为(　　)
A．54 B．54π
C．58 D．58π
[答案]　A
[解析]　设原圆锥的体积是x，
则＝3，
∴x＝54.
12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)21cnjy.com
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
[答案]　D
[解析]　本题主要考查线线垂直、线面平行、三棱锥的体积等知识，考查学生的推理论证能力．
对于选项A，由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1B⊥面AC，∴AC⊥B1B，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥面BDD1B1，BE?面BDD1B1，
∴AC⊥BE.
对于选项B，由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1D1∥BD，
B1D1面ABCD，BD?面ABCD，
∴B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD.
对于选项C，VA－BEF＝×××1×＝.
∴三棱锥A－BEF的体积为定值．
对于选项D，因线段B1D1上两个动点E，F，且EF＝，
在E，F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等．
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.
[答案]　4
[解析]　该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝××h＝20，∴h＝4 cm.21教育网
14．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．
[答案]　
[解析]　设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为h，由得所以h＝＝.于是，圆锥的体积为V＝πr2h＝.21·cn·jy·com
15．如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长等于________．21·世纪*教育网
[答案]　
[解析]　取A1B1的中点H，连接EH，FH，则EH＝4，FH＝1.
由正三棱柱的性质知△EFH为直角三角形．
所以EF＝＝.
16．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．　　21*cnjy*com
①四面体ABCD每组对棱相互垂直；
②四面体ABCD每个面的面积相等；
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
[答案]　②④⑤
[解析]　本题考查了空间几何体中点线面的位置关系．
依题意，该四面体可看作是一个长方体截掉 ( http: / / www.21cnjy.com )四个顶角后剩余部分，所以可以确定②④⑤正确．对于①，只有四面体ABCD是正四面体时才成立．对于③，取特例正四面体知夹角和为60°＋60°＋60°＝180°知③错．【版权所有：21教育】
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)如图是一个几何体的主视图和俯视图．
(1)试判断这个几何体是什么几何体；
(2)请画出它的左视图，并求该左视图的面积．
[解析]　(1)由题图中的主视图和俯视图知该几何体是正六棱锥．
(2)该几何体的左视图如图所示．
其中两腰为斜高，底边长为a，三角形的高即为正六棱锥的高，且长为a.
所以该左视图的面积为a·a＝a2.
18．(本小题满分12分)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D︰DC1的值．
[解析]　(1)∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，
又∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面A1BC1，
又B1C?平面AB1C
∴平面AB1C⊥平面A1BC1 .
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
∵A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，
平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，∴A1B∥DE.
又E是BC1的中点，∴D为A1C1的中点．
即A1D︰DC1＝1.
19．(本小题满分12分)(201 ( http: / / www.21cnjy.com )5·广东高考)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.21教育名师原创作品
(1)证明：BC∥平面PDA；
(2)证明：BC⊥PD；
(3)求点C到平面PDA的距离．
[解析]　(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC平面PDA，AD?平面PDA，所以BC∥平面PDA.21*cnjy*com
(2)因为四边形ABCD是长方形，
所以BC⊥CD，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面PDC，
因为PD?平面PDC，
所以BC⊥PD.
(3)取CD的中点E，连接AE和PE，
因为PD＝PC，所以PE⊥CD，
在Rt△PED中，PE＝＝＝，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面 ( http: / / www.21cnjy.com )PDC∩平面ABCD＝CD，PE?平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，由(2)知：BC⊥平面PDC，由(1)知：BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因为PD?平面PDC，所以AD⊥PD，
设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥C－PDA＝V三棱锥P－ACD，所以S△PDA·h＝S△ACD·PE，即h＝＝＝，
所以点C到平面PDA的距离是.
20．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明： GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
[解析]　(1)∵BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
∴GH∥BC.
同理可证EF∥BC，∴GH∥EF.
(2)连接AC，BD交于一点O，BD交EF于K，连接OP、GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可证PO⊥BD，
又∵BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，
∴PO⊥平面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO 平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH.
又∵平面GEFH∩平面PBD＝GK，
∴PO∥GK，且GK⊥平面ABCD，
∴GK⊥EF，
所以GK是梯形GEFH的高．
∵AB＝8，EB＝2，
∴EB︰AB＝KB︰DB＝1︰4，
∴KB＝DB＝OB，即K为OB的中点，
又∵PO∥GK，
∴GK＝PO，即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
又由已知得OB＝4，PO＝＝＝6.
∴GK＝3.
∴四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
21．(本小题满分12分) ( http: / / www.21cnjy.com )(北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
[解析]　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.
又因为BE平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF，
又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，
所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD.
22．(本小题满分12分)正三棱锥高为1，底面边长为2，内有一球与四个面都相切．
(1)求棱锥的全面积；
(2)求球的半径及表面积．
[解析]　(1)设底面中心为O，D为AB中点，则VD为斜高，OD＝AB＝，在Rt△VOD中，VO＝1，VD＝＝.www.21-cn-jy.com
∴S全＝(2)2＋3×2××＝6＋9.
(2)解法一：设球的半径为R，由△VO1E∽△VDO有＝ ＝ R＝－2，
故S球＝4πR2＝4π(－2)2＝8(5－2)π.
解法二：VV－ABC＝S△ABC·h＝(S△ABC＋S△VAB＋S△VCB＋S△VAC)R，而S△ABC＝·(2)2＝6.2·1·c·n·j·y
S△VAB＋S△VCB＋S△VAC＝3S△VAB＝3··2·＝9.故6·1＝(6＋9)R R＝－2，www-2-1-cnjy-com
故S球＝4πR2＝4π(－2)2＝8(5－2)π.
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