北师大版数学必修2 第二章 解析几何初步 综合能力检测

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第二章综合能力检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21*cnjy*com
1．已知P(3，m)在过M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是(　　)
A．5　　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－6
[答案]　C
[解析]　由两点式求直线MN的方程为x＋y－1＝0，将点P(3，m)代入x＋y－1＝0得m＝－2.
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m< B．m<0
C．m> D．m≤
[答案]　A
[解析]　由D2＋E2－4F＝2－4m>0，解得m<.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2,3)　　　　　　　　 B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
[答案]　D
[解析]　该题考查圆的一般方程与标准方程的互化．
将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
∴圆心坐标为(2，－3)．
4．直线3x＋4y－2＝0与直线6x＋8y－5＝0间的距离是(　　)
A．3 B．7
C. D．
[答案]　C
[解析]　根据两平行线间距离公式得＝.
5．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
[答案]　A
[解析]　设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有＝，解得c＝±5，所以所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.　　21*cnjy*com
6．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是(　　)
A．(0,8,0) B．(0,2,0)
C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)
[答案]　C
[解析]　点P在y轴上，可设为(0，y,0)，
因为|PA|＝7，A(2,5，－6)，
所以＝7，
解得y＝2或8.故选C.
7. 过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线方程是(　　)
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．5x＋3y－2＝0 D．不存在
[答案]　A
[解析]　过两圆交点的直线就是两圆公共弦 ( http: / / www.21cnjy.com )所在直线，因此该直线方程为x2＋y2＋6x＋4y－(x2＋y2＋4x＋2y－4)＝0，即x＋y＋2＝0.2-1-c-n-j-y
8. 若直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且经过点(2,4)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝2x　　　　　　 B．x＝4
C．x＝2 D．y＝2x－3
[答案]　C
[解析]　直线y＝x－3的斜率为1，其倾斜 ( http: / / www.21cnjy.com )角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2,4)，故l的方程为x＝2.www.21-cn-jy.com
9．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　C
[解析]　圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11；圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，
O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＝13，
∴|r－R|<|O1O2|∴两圆相交，∴公切线有2条．
10．若PQ是圆x2＋y2＝16的弦，PQ的中点是M(1,3)，则直线PQ的方程是(　　)
A．x＋3y－4＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＋4＝0 D．3x－y＝0
[答案]　B
[解析]　圆心为O(0,0)，故kOM＝＝3.因为弦PQ所在直线与圆心和弦中点的连线垂直，所以直线PQ的斜率k＝－，其方程为y－3＝－(x－1)，整理得x＋3y－10＝0.
11．从原点向圆x2＋y2－6x＋＝0作两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为(　　)
A.π B．π
C.π D．π
[答案]　B
[解析]　如图所示，数形结合，圆心C(3,0)
半径r＝，在Rt△OCA中，OC＝3，CA＝，
∴∠OCA＝60°
从而∠ACB＝120°，劣弧AB长l＝×＝π.
12．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．10 B．20
C．30 D．40
[答案]　B
[解析]　考题分析：本题考查圆的相关知识．
圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0得圆心(3,4)，半径为5.
由题意知，AC为圆的直径且BD⊥AC，
∴|BD|＝2＝4，|AC|＝10.
∴S四边形ABCD＝×4×10＝20，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．过点(1,2)，倾斜角是120°的直线方程的点斜式是________________．
[答案]　y－2＝－(x－1)
[解析]　斜率是k＝tan 120°＝－，
所以直线方程是y－2＝－(x－1)．
14．若直线4ax－3by ( http: / / www.21cnjy.com )＋6＝0(a，b∈R)始终平分圆x2＋y2＋6x－8y＋1＝0的周长，则a、b满足的条件是_____________________________________________．
[答案]　2a＋2b－1＝0
[解析]　圆的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝24，由圆心(－3,4)在直线4ax－3by＋6＝0上，得2a＋2b－1＝0.21世纪教育网版权所有
15．直线l过点(－5，－10)且在圆x2＋y2＝25上截得的弦长为5，则直线l的方程为________________．21教育网
[答案]　x－y－5＝0或7x－y＋25＝0
[解析]　若直线l的斜率不存在，则其直线方程为x＝－5，此时直线l与圆相切，不符合题意．
故设直线l的斜率为k，
其方程为y＋10＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－10＝0
由()2＋()2＝25可得k＝1或k＝7.
即x－y－5＝0或7x－y＋25＝0为所求．
16．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l︰y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．【版权所有：21教育】
[答案]　(x－3)2＋y2＝4
[解析]　设圆心C(a,0)，由已知a>0作CD⊥AB，则由|AB|＝2 AD＝，|CD|＝.
|CA|＝|a－1|，
由勾股定理得：()2＋()2＝(|a－1|)2
a＝3或a＝－1，
又a>0，∴a＝3，∴r＝3－1＝2，
∴⊙C的方程为(x－3)2＋y2＝4.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知动点P到点A(4,0)的距离是到点B(1,1)距离的倍．
(1)求动点P的轨迹；
(2)求动点P的轨迹图形的面积．
[解析]　设点P(x，y)由题意可得|PA|＝|PB|，
即＝
化简整理得(x＋2)2＋(y－2)2＝20，
所以动点P的轨迹是以(－2,2)为圆心以2为半径的圆．
(2)由(1)知动点P的轨迹是圆，半径是2，因此其面积S＝π·(2)2＝20π.
18．(本小题满分12分)求点A(－2,3)关于直线l︰3x－y－1＝0对称的点A′的坐标．
[解析]　解法1：由题意，设A′(x0 ( http: / / www.21cnjy.com )，y0)，直线AA′的方程为y－3＝－(x＋2)，与3x－y－1＝0联立方程组得解得所以直线AA′与l的交点坐标为P(1,2)．因为点A，A′关于直线l对称，也关于点P对称，所以解得所以点A关于直线l的对称点为A′(4,1)．21·cn·jy·com
解法2：设A′(x0，y0)，则kAA′＝－，且AA′的中点在直线l上．
所以，
解得，
所以A′点的坐标为(4,1)．
19．(本小题满分12分)一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．求：2·1·c·n·j·y
(1)反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；
(2)在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．
[解析]　圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2，－2)，过点A，C′的直线方程为x＋y＝0，此即为光线l所在直线的方程．21·世纪*教育网
(2)点A关于x轴的对称点为A′( ( http: / / www.21cnjy.com )－3，－3)，设过点A′的直线为y＋3＝k(x＋3)．当该直线与圆C相切时，有＝1，解得k＝或k＝.所以过点A′的圆C的两条切线方程分别为y＋3＝(x＋3)，y＋3＝(x＋3)．分别令y＝0，得x1＝－，x2＝1，所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－，1]．www-2-1-cnjy-com
20．(本小题满分12分)已知圆C ( http: / / www.21cnjy.com )：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．21教育名师原创作品
[解析]　假设存在直线l，设其方程为y＝x＋b.
解方程组
得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝.
∴y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)
＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝＋b(－b－1)＋b2
＝.
又OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∴＋＝0.
解得b＝1或b＝－4.
把b＝1和b＝－4分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b＝1或b＝－4.
所以存在满足条件的直线方程是x－y＋1＝0，或x＋y－4＝0.
21．(本小题满分12分)直线y＝kx与圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0相交于两个不同点A，B，当k取不同的实数值时，求AB中点的轨迹．21cnjy.com
[解析]　方法一：联立方程，得
消去y，得(1＋k2)x2－(6＋4k)x＋10＝0.
设此方程的两根为x1，x2，AB的中点坐标为P(x，y)，
由根与系数的关系和中点坐标公式得
x＝＝＝， ①
又∵P点在直线y＝kx上，
∴y＝kx，即k＝. ②
将②代入①，得x＝(x≠0)，
整理得x2＋y2－3x－2y＝0.
∵点P始终在圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的内部，
∴点P的轨迹是圆x2＋y2－3x－2y＝0位于圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0内的部分弧．
方法二：∵直线y＝kx过坐标原点，圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的圆心为C(3,2)，
设AB的中点为M，则MC⊥AB，
∴点M在以OC为直径的圆上，
此圆的圆心为(，1)，半径为，
其方程为(x－)2＋(y－1)2＝，
即x2＋y2－3x－2y＝0.
又∵点M在圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0的内部，
∴轨迹是圆x2＋y2－3x－2y＝0位于圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0内的部分弧．
22．(本小题满分12分)已知点P(2,0)及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程．
(2)设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点，当|MN|＝4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．
(3)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B ( http: / / www.21cnjy.com )两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)直线l斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.【来源：21·世纪·教育·网】
又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，由＝1，解得k＝－.
所以直线方程为y＝－(x－2)，即3x＋4y－6＝0.
当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件．
即直线l的方程为3x＋4y－6＝0或x＝2.
(2)由于|CP|＝，而弦心距d＝＝，
所以d＝|CP|＝.
所以P恰为MN的中点．
故以MN为直径的圆Q的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(3)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.
由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，
故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，
即－2a>0，解得a<0.
则实数a的取值范围是(－∞，0)．
设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2，而kAB＝a＝－，【出处：21教育名师】
所以a＝.由于 (－∞，0)，
故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网