北师大版数学必修2 第二章 解析几何初步 基础知识检测

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第二章基础知识检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2·1·c·n·j·y
1. 圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
[答案]　D
[解析]　由圆的标准方程的形式直接写出方程即可．
2．(2015·济南检测)过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是(　　)
A．2x＋y－1＝0　　　　 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
[答案]　A
[解析]　设直线方程为2x＋y＋m＝0且过点(－1,3)，故m＝－1，∴所求直线的方程为：2x＋y－1＝0.21·cn·jy·com
3．下列说法正确的是(　　)
A．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
B．若两直线关于x轴对称，则此二直线斜率互为倒数
C．若与x轴不垂直的两直线关于y轴对称，则此二直线斜率互为相反数
D．若两直线垂直，则此二直线斜率互为负倒数
[答案]　C
[解析]　A倾斜角为钝角时，斜率小于0； ( http: / / www.21cnjy.com )倾斜角为锐角时，斜率大于0.B两直线关于x轴对称，斜率一正一负，不可能互为倒数．D分别平行于x，y轴的两直线垂直，其中一直线斜率不存在．【来源：21·世纪·教育·网】
4．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．2
C．－1 D．2或－1
[答案]　D
[解析]　由a·(a－1)－2×1＝0得a2－a－2＝0，
∴a＝2或－1.
5．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于(　　)www.21-cn-jy.com
A．8 B．12
C．16 D．19
[答案]　A
[解析]　A1(－4，－2,3)，A2(4,2,3)，
∴|AA2|＝＝8.
6．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．内含
[答案]　D
[解析]　圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，故两圆内含．21·世纪*教育网
7. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则(　　)
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．E＝0，F＝0，D≠0
C．D＝0，F＝0，E≠0 D．F＝0，D≠0，E≠0
[答案]　C
[解析]　∵方程表示的圆与x轴切于原点，
∴这个圆过原点且圆心在y轴上，∴F＝0，D＝0，E≠0.
8．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　D
[解析]　由(a－3)x＋2ay＋6＝0，得
(x＋2y)a＋(6－3x)＝0.令，得
∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．
从而该直线恒过第四象限．
9．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
[答案]　B
[解析]　由圆心在直线x＋y＝0上，不妨设为C(a，－a)，∴r＝＝，
解得a＝1，r＝，
∴圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
10．直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，并且l1⊥l2，则l1在y轴上的截距是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．－4 B．4
C．－ D．
[答案]　C
[解析]　∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
∴k1＝－＝－＝.
∴设l1方程为y＝x＋b，l2与x轴交点为(4,0)代入l1得b＝－.
11．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是(　　)　　21*cnjy*com
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
[答案]　A
[解析]　由条件O，A，B，P四点共圆，从 ( http: / / www.21cnjy.com )而OP中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r＝|OP|＝，故所求圆方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【来源：21cnj*y.co*m】
12．使得方程－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围是(　　)
A．－4≤m≤4
B．－4≤m≤4
C．－4≤m≤4
D．4≤m≤4
[答案]　B
[解析]　设f(x)＝，g(x)＝x＋m ( http: / / www.21cnjy.com )，在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形，如图所示．则m是直线y＝x＋m在y轴上的截距．由图可知－4≤m≤4.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．(山东高考)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
[答案]　2
[解析]　本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想．
点(3,1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN|＝，则弦长为2＝2.【出处：21教育名师】
14．(2015·湖南高考 ( http: / / www.21cnjy.com ))若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.【版权所有：21教育】
[答案]　2
[解析]　直线3x－4y＋5＝0与圆x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋y2＝r2(r＞0)交于A、B两点，∠AOB＝120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x－4y＋5＝0的距离为r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．如图，直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则圆心(0,0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为r，21教育名师原创作品
即＝r，∴r＝2.故答案为2.
15．过点A(0,1)与B(4,0 ( http: / / www.21cnjy.com ))的直线l1与过点(4,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为________．
[答案]　－4
[解析]　当围成四边形内接于一个圆时，l1⊥l2，
∴k1·k2＝－1，而k1＝－，∴k2＝4.解得k＝－4.
16．过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
[答案]　(，)
[解析]　本题考查直线与圆的知识．设P(x，y)，画出示意图：
由OA＝1，∠APO＝30°知OP＝2，
即x2＋y2＝4，与x＋y－2＝0，联立解得，
所以P点坐标为(，)．解决直线与圆问题通常采用数形结合的方法．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.2-1-c-n-j-y
求：(1)直线l的方程；
(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
[解析]　(1)由
解得则点P的坐标是(－2,2)，由于所求直线l与x－2y－1＝0垂直，可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.21教育网
把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2.故所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
(2)由直线l的方程知它在x轴，y轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝×1×2＝1.
18．(本小题满分12分)过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
[解析]　∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
∴点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.
(2)若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
19．(本小题满分12分)如下图，在四棱锥P ( http: / / www.21cnjy.com )－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，AC与BD交于点G.
(1)试建立适当的空间直角坐标系，求P，A，E，G的坐标；
(2)求|EG|.
[解析]　(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)．
因为E是PC的中点，
所以E点坐标为.
因为在正方形ABCD中，G是AC的中点，
所以G点坐标为.
(2)|EG|＝
＝a.
20．(本小题满分12分) ( http: / / www.21cnjy.com )直线y＝－x＋1和x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点P(m，)使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值．21*cnjy*com
[解析]　如图所示，
∵直线y＝－x＋1和x轴，y轴分别交于点A，B，∴A(，0)，B(0,1)，
∴|AB|＝2.
又∵△ABP和△ABC的面积相等，
∴CP∥AB，故可设CP的方程为：y＝－x＋c(c>1)．
依题意由S△ABP＝S△ABC得＝，∴c＝3，
∴直线CP的方程为y＝－x＋3，
又点P(m，)在直线y＝－x＋3上，
所以＝－m＋3，解得m＝.
所以m的值为.
21．(本小题满分12分)过点A(0,1)，B(4，m)且与x轴相切的圆有且只有一个，求实数m的值和这个圆的方程．21世纪教育网版权所有
[解析]　由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，
∵点A(0,1)，B(4，m)在圆上，
∴
将①代入②并整理得：
(1－m)a2－8a＋16＋m2－m＝0.③
∵满足条件的圆有且只有1个，
∴方程③有且只有1个根，
∴m＝1或Δ＝64－4(1－m)(16＋m2－m)＝0，
即m＝1或m(m2－2m＋17)＝0.
∴m＝1或m＝0.
当m＝1时，所求圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝；
当m＝0时，所求圆的方程为(x－4)2＋(y－)2＝.
22．(本小题满分12分)已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直线L：x＋y－1＝0上，21cnjy.com
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值；
(3)若直线kx－y＋5＝0被圆C所截得的弦长为8，求k的值．
[解析]　(1)AB中点M，kAB＝3，
则AB中垂线l的方程为y＋＝－，
即y＝－x－1，
由得
∴l与L的交点即为圆心C(3，－2)，半径r＝|AC|＝5，
∴圆C的标准方程为：(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为
d＝＝5>r，
∴直线与圆C相离，则|PQ|的最小值为d－r＝5－5.
(3)由条件可知：圆心C到直线的距离为
d＝＝3.
根据点到直线的距离公式得：＝3，
解得：k＝－.
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