2015年北师大版数学必修2 综合测试试题（A）

本册综合测试A
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 给出下列三个命题：
①若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，则a∥b；
②直线a∥直线b，a?平面α，b?平面β，则α∥β；
③若直线a∥平面α，a∥平面β，则α∥β.
其中正确的命题的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
[答案]　A
[解析]　对①：a、b可能异面，对②：α、β可能相交，对③：α、β可能相交．
2．已知两点A(3，－5)，B(3,4)，点C在线段AB上，|AB|＝2|CB|，则点C的坐标是(　　)
A．(3，－)或(3，) B．(－3，－)或(－3，)
C．(3，－) D．(－3，)
[答案]　C
[解析]　由已知条件知，点C为线段AB的中点，故由中点坐标公式可以求点C(3，－)．
3．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
[答案]　A
[解析]　由题意知圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，
∵kCP＝－1，∴kAB＝1，
直线AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0.
4．(安徽高考)下列说法中，不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
[答案]　A
[解析]　由空间几何中的公理可知，仅有A不是公理，其余皆为公理．
5．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.＋π B．＋π
C.＋2π D．＋2π
[答案]　A
[解析]　由三视图容易看出，原图是一个半圆柱体和锥体，半圆柱体的底面圆半径为1，高为2，得知体积为π，易知锥体的体积为.
6．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．4
[答案]　C
[解析]　本题考查了圆的垂径定理．
圆心到直线的距离d＝＝1，半弦长＝＝2.
∴弦长＝4.
7．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为(　　)
A．(5，－3) B．(9,0)
C．(－3,5) D．(－5,3)
[答案]　A
[解析]　过P(2,1)向此直线引垂线，其垂足即为所求的点，过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线方程为4x＋3y＋m＝0，而点P(2,1)在此垂线上，所以4×2＋3×1＋m＝0.所以m＝－11.
由联立求解，
得所求的点的坐标为(5，－3)．
8．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为(　　)
A．4 B．2
C．2 D．
[答案]　B
[解析]　左视图也是矩形，一边长为2，另一条边长为，所以面积为2，故选B.
9．直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得劣弧所对的圆心角为(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　C
[解析]　由已知可得直线与圆相交，且圆心到直线的距离d＝＝.而圆的半径为2.
∴直线与圆的两交点与圆心构成等边三角形．
∴可得劣弧所对的圆心角为.
10．如图，定圆的半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在(　　)
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
[答案]　B
[解析]　由图知，a>0，b<0，c>0，且c∵>0，<0，∴交点在第三象限．
11. 底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的体积为(　　)
A．9π B．
C．4π D．3π
[答案]　B
[解析]　∵底面边长为，∴直角边长为，
∴2R＝3，R＝，
V球＝π3＝π.
12．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
[答案]　D
[解析]　由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，
∵光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴＝1，∴12k2＋25k＋12＝0，
解得k＝－或k＝－.故选D.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.如图，已知a∥α，B、C、D∈a，点A与a在平面α的异侧，直线AB、AC、AD分别交α于E、F、G三点，若BC＝5，AD＝7，DG＝4，则EF的长为______．
[答案]　
[解析]　由题知，＝＝＝，∴＝，∴EF＝.
14．经过点P(－2,4)，且以两圆x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4的公共弦为一条弦的圆的方程为________．
[答案]　x2＋y2＋6x－8＝0
[解析]　设圆的方程为x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0.
∵圆过点P(－2,4)，
∴(－2)2＋42－6×(－2)＋λ[(－2)2＋42－4]＝0，
解得λ＝－2，
∴圆的方程为x2＋y2－6x－2(x2＋y2－4)＝0，
即x2＋y2＋6x－8＝0.
15．已知直线l1：x＋3y－7＝0，l2：y＝kx＋b与x轴、y轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则k＝________，b的取值范围是________．
[答案]　3　(－21，)
[解析]　由题意可知l1⊥l2，∴k＝3，
直线l1与坐标轴交于点A(0，)和B(7,0)，
∴直线l2与线段AB(不含端点)垂直相交，画图(图略)易得b的取值范围是(－21，)．
16．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
[答案]　12　
[解析]　本题考查六棱锥的体积、侧面积的基本运算．
如图所示．由体积V＝×6××4×h＝2
求得高h＝1.
取AB中点G，连接OG、PG.
∵OA＝OB，∴AB⊥GO.
又PO⊥AB，PO∩GO＝O，
∴AB⊥面PGO，∴AB⊥PG.
又PO＝1，GO＝×2＝，∴PG＝2.
∴S侧＝6××AB×PG＝3×2×2＝12.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y轴上的截距为－10.
[解析]　因为直线y＝－x＋1的斜率为－，所以该直线的倾斜角为120°.
由题意知所求直线的倾斜角为60°，斜率k＝.
(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜方程得y－1＝(x＋4)，即x－y＋1＋4＝0.
(2)因为直线在y轴上的截距为－10，
所以由直线的斜截式方程得y＝x－10.
即x－y－10＝0.
18．(本小题满分12分)如右图所示，α⊥β，a∩β＝AB，CD?β，CD⊥AB，CE、EF?α，∠FEC＝90°，求证：平面EFD⊥平面DCE.
[解析]　∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，
∴CD⊥α.
又∵EF?α，∴CD⊥EF.
又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.
又EC∩CD＝C，∴EF⊥平面DCE.
又EF?平面EFD，∴平面EFD⊥平面DCE.
19．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
[解析]　(1)交线围成的正方形EHGF如图：
(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8，因为EHGF是正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为.
20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程．
[解析]　(1)证明：把直线l的方程改写成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.
由方程组解得
∴直线l总过定点(3,1)．
圆C的方程可写成(x－1)2＋(y－2)2＝25.
∴圆C的圆心为(1,2)，半径为5，定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为＝<5.
∴点(3,1)在圆C内．
∴过点(3,1)的直线l总与圆C相交，即不论m为何实数，直线l与圆C总相交．
(2)解：当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的半径时，l被圆截得的弦长|AB|最短．(如下图)
|AB|＝2
＝2
＝2＝4.
此时，kAB＝－＝2.
∴直线AB的方程为y－1＝2(x－3)，
即2x－y－5＝0.
故直线l被圆C截得的弦长的最短长度为4，此时直线l的方程为2x－y－5＝0.
21．(本小题满分12分)求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
(1)过原点；
(2)有最小面积．
[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.
(1)∵圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－.
故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.
(2)将圆系方程化为标准式，得
(x＋1＋λ)2＋(y＋)2＝(λ－)2＋.
则当λ＝时，半径取最小值.
此时圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
22．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．
(1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
(3)证明：EF⊥平面PAB.
[证明]　(1)证明：因为AB⊥平面PAD，
所以PH⊥AB，
因为PH为△PAD中AD边上的高，
所以PH⊥AD.
因为AB∩AD＝A，
所以PH⊥平面 ABCD.
(2)连接BH，取BH中点G，连接EG，
因为E是PB的中点，
所以 EG∥PH，
因为PH⊥平面ABCD，
所以 EG⊥平面 ABCD，
则 EG＝PH＝，
VE－BCF＝S△BCF·EG＝··FC·AD·EG＝.
(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME，
因为E是PB的中点，所以MEAB.
因为 DFAB，所以 MEDF，
所以四边形MEFD是平行四边形．
所以 EF∥MD，
因为 PD＝AD, 所以 MD⊥PA.
因为 AB⊥平面 PAD, 所以 MD⊥AB.
因为 PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面PAB.
所以 EF⊥平面 PAB.