2015年北师大版数学必修2 综合测试试题（B）

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本册综合测试二
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21教育网
1．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)21cnjy.com
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
[答案]　D
[解析]　本题考查空间中的平行关系．
通过作图可知l1与l4的位置关系不确定，选D，动手作试验是解决本题的好方法．
2. 直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．2　　　　　　　 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
[答案]　C
[解析]　解法1：l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0，
当m＝0时，显然l1不平行于l2；
当m≠0时，若l1∥l2，需＝≠.①
由①式有m2＋m－6＝0，解得m＝2，或m＝－3.
显然m＝2，或m＝－3满足①.∴应选C.
解法2：若l1∥l2，需2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3，或m＝2.
当m＝－3或2时，A1C2－A2C1＝2×(－2)－m·4＝－4－4m≠0.
∴m＝－3或2为所求．∴应选C.
3. 若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为(　　)
A．相交、平行或异面 B．相交或平行
C．异面 D．平行或异面
[答案]　A
[解析]　a与c可以相交、平行或异面，分别如下图中的(1)，(2)，(3)．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A. B．3π
C. D．6π
[答案]　B
[解析]　本题考查几何体的三视图和体积计算．
由三视图还原几何体为补形后为圆柱，∴2V＝π·6，
∴V＝3π.补形法求几何体的体积非常简便．
5．分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是(　　)
A．x－y－4＝0 B．x＋y－4＝0
C．x＝1 D．y＝3
[答案]　B
[解析]　当l1与l2之间距离最大时，l1⊥AB，故l1的斜率为－1.
6．(2015·重庆高考)已知直线l：x ( http: / / www.21cnjy.com )＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．2
[答案]　C
[解析]　易知圆的标准方程C：(x－2)2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋(y－1)2＝4，圆心O为(2,1)，又因为直线l：x＋ay－1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a＝－1，A(－4，－1)又因为AB直线与圆相切，则△OAB为直角三角形，|OA|＝＝2，|OB|＝2，
|AB|＝＝6.
7．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)2·1·c·n·j·y
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　B
[解析]　本题考查三视图及球的基础知识．
由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则
r＝－ r＝2，故选B.
直角三角形的内切圆半径为周长的一半减去斜边．
8. 三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝1，PB＝PC＝，则点P到平面ABC的距离是(　　)21·世纪*教育网
A. B．
C. D．1
[答案]　A
[解析]　取BC中点D，∵PB⊥PC，PB＝PC＝，
∴PD＝DC＝BC＝1，连AD，则AD⊥BC，且
AD＝＝，∴S△ABC＝×2×＝.
由VP－ABC＝VA－PBC，∴·S△ABC·h＝·S△PBC·PA，
∴×h＝××2，∴h＝.
9．从原点O引圆(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．x2＋y2＝3
B．(x－1)2＋y2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝3
D．x2＋y2＝2
[答案]　A
[解析]　设切点P(x，y)，圆心C(m, ( http: / / www.21cnjy.com )2)，则在直角三角形OPC中，由勾股定理可得m2＋4＝m2＋1＋x2＋y2，∴切点P的轨迹方程为x2＋y2＝3.2-1-c-n-j-y
10．如图所示，在酒泉卫星 ( http: / / www.21cnjy.com )发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10 m、15 m、30 m，　　21*cnjy*com
则立柱DD1的长度是(　　)
A．30 m
B．25 m
C．20 m
D．15 m
[答案]　B
[解析]　由题意知，CC1－DD1＝BB1－AA1＝5，
∴DD1＝25 m.
11．已知正四棱锥P－ABCD的侧棱长为2a，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A 出发环绕侧面一周后回到点A的最短距离为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．2a B．4a
C．6a D．12a
[答案]　C
[解析]　将四棱锥的侧面展开，如图．所求最短距离为AA′，由AP＝A′P＝2a，
∠APA′＝4×30°＝120°，
∴AA′＝AP·cos30°×2＝2a××2＝6a.
12．已知曲线C：x2＋y2＝2，点A(－2,0)及点B(2，a)，如图，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则a的取值范围是(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．[－4,4]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[答案]　A
[解析]　由题图可以得到切线AB的斜率为±1，∴>1或<－1，解得a<－4或a>4，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知直线ax＋by＋c＝0与圆：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则∠AOB＝________.【出处：21教育名师】
[答案]　120°
[解析]　如图所示，作OD⊥AB，
Rt△AOD中，OA＝1，AD＝，∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°.
14．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．21世纪教育网版权所有
[答案]　(－2，－1)
[解析]　两圆的圆心分别为O1(－1,1)，O2(2，－2)，直线O1O2的方程为y＝－x.
由于两圆的交点为P，Q所以P，Q两点关于直线y＝－x对称．
又点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为(－2，－1)．
15．若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高是________．
[答案]　
[解析]　如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，
则A1O1＝××2＝，AO＝.
连接O1O，则O1O为高．
所以O1O＝
＝＝.
16．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________．21教育名师原创作品
(1)PB⊥AD；
(2)平面PAB⊥平面PBC；
(3)直线BC∥平面PAE；
(4)∠PDA＝45°.
[答案]　(4)
[解析]　若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，(1)错误；
过A作AG⊥PB，若平面PAB⊥平面PBC，
∴AG⊥BC，
又∵PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，矛盾，(2)错误；
BC与AE是相交直线，
∴直线BC一定不与平面PAE平行，(3)错误；
在Rt△PAD中，由于AD＝2AB＝PA，
∴∠PDA＝45° ，(4)正确．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知点A(2，－1)，B(5,3)，若直线l：kx－y＋1＝0与线段AB相交，求k的取值范围．
[解析]　解法1：由方程kx－y＋1＝0可知，
直线l恒过定点P(0,1)，如图所示，
连接PA，PB，解得kPA＝－1，kPB＝.
又∵直线l的斜率为k，
∴k的取值范围为－1≤k≤.
解法2：由两点式求得直线AB的方程为4x－3y－11＝0，
联立方程组
解得x＝－，满足2≤≤5，
解得－1≤k≤.
18．(本小题满分12分)如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.www.21-cn-jy.com
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．
[解析]　(1)∵折起前AD是BC边上的高．
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
∵DB＝DA＝DC＝1，
∴AB＝BC＝CA＝，
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，
S△ABC＝×××sin60°＝，
∴表面积S＝×3＋＝.
19．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．【版权所有：21教育】
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
[解析]　(1)证法1：连接DG， ( http: / / www.21cnjy.com )CD.设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，21*cnjy*com
所以四边形DFCG是平行四边形，
则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以HM∥BD，
又HM?平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH.
证法2：在三棱台DEF－ABC中，
由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，
所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.
在△ABC中，G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB，
又GH∩HF＝H，
所以平面FGH∥平面ABED，
因为BD?平面ABED，
所以BD∥平面FGH.
(2)连接HE.
因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB.
由AB⊥BC，得GH⊥BC，
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形，
所以CF∥HE.
又CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH，
又BC?平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH.
20．(本小题满分12分)求圆心在2＋y2＝2上，且与x轴，直线x＝－都相切的圆的方程．
[解析]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则
即
解得a＝，b＝±1，r＝1，
故所求圆的方程为：
2＋(y－1)2＝1或2＋(y＋1)2＝1.
21．(本小题满分12分)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．
(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．21·cn·jy·com
[解析]　(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，
所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.
又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，
所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．
由已知，O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以，MDAC，OEAC，
因此MDOE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE平面A1MC，MO?平面A1MC.
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
22．(本小题满分12分)已知圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，且经过点A(5,2)，B(3,2)，
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l过点P(2,1)且与圆C相交，所得弦长为2，求直线l的方程；
(3)设Q为圆C上一动点，O为坐标原点，试求△OPQ面积的最大值．
[解析]　(1)设圆心P(x0，y0)，由题意可知，圆心应在线段AB的中垂线上，其方程为x＝4.
由得圆心P(4,5)，
∴半径r＝|PA|＝.
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离为2，符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－2)，整理得kx－y＋1－2k＝0，
则圆心到直线的距离为d＝＝.
由题意可知，d2＋()2＝r2，即＋6＝10，
解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y－2＝0或x＝2.
(3)直线OP的方程为y＝x，即x－2y＝0.
∴圆心到直线的距离为d＝＝.
则圆上的点到直线的最大距离为d＋r＝＋，
又∵|OP|＝＝，
∴△OPQ面积的最大值为|OP|(d＋r)＝×＝3＋.
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