(共11张PPT)
第四章 三角形
探索三角形全等的条件
第2课时
三角形全等的条件：
(1)两角及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”.
(2)两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”.
角边角
ASA
角角边
夹边
对边
AAS
1. 在△ABC和△A′B′C′中，∠A=44°,∠B=69°,∠A′=69°,∠B′=44°，且AC=B′C′，那么这两个三角形的关系是( )
A. 不全等 B. 全等 C. 周长不相等 D. 以上都不对
2. 在△ABC与△A′B′C′中，下列条件能判断△ABC与△A′B′C′全等的个数是( )
①∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′；②∠A=∠A′,∠B=∠B′,AC=A′C′；
③∠A=∠A′,∠B=∠B′,AC=B′C′；④∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′C′.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
B
3. 如图，已知∠1=∠2，要使△ACB≌△ADB,还需要添加的一个条件是 .
4. 如图，∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE，还需要添加的一个条件是 .
∠C=∠D(或∠CAB=∠DAB或CB=DB)
∠B=∠C(或∠BAE=∠CAE或BE=CE)
5. 如图，BD，CE交于点A，且A为BD的中点，BC∥DE，试说明：AC=AE.
因为点A为BD的中点，
所以BA=DA.
因为BC∥DE，
所以∠B=∠D，∠C=∠E.
在△ABC与△ADE中，
因为∠B=∠D，∠C=∠E，AB=AD，
所以△ABC≌△ADE(AAS).
所以AC=AE.
【基础训练】
1. 如图,给出下列4组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,AC=DF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=EF,∠B=∠E.
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
2. 如图，已知∠1=∠2，要使△ABC≌△BAD,则添加下列条件： ①AC=BD；②∠C=∠D；③∠CAB=∠DBA；④BC=AD.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
C
3. 小强一不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )
A.带①去 B.带②去
C.带③去 D.带①和②去
4. 如图,已知∠B=∠DEF,BC=EF,现要说明△ABC≌△DEF, 若要以“ASA”为依据，还缺条件 ；若要以“AAS” 为依据，还缺条件 .
5. 如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你补充一个条 件，使△ABC≌△BAD.你补充的条件是 . (填一个即可)
C
∠ACB=∠F
∠A=∠D
∠CBA=∠DAB(或AC=BD)
6. 若AB=DE，∠A=∠D,∠B=∠E,则可判断△ABC≌△DEF,其依据是“ ”.
ASA
【提升训练】
7. 如图，∠B＝∠C，AD平分∠BAC，你能说明△ABD≌△ACD吗？若BD＝3 cm，则CD有多长？
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
因为∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD(AAS).
所以BD=CD.
因为BD=3 cm,所以CD=3 cm.
8. 如图，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE，∠AEB＝110°，求∠DFC的度数.
因为AB∥CD，
所以∠B=∠C.
因为BF=CE，
所以BF－EF=CE－EF，
所以BE=CF.
在△ABE和△DCF中，
因为∠B=∠C，∠A=∠D，BE=CF，
所以△ABE≌△DCF(AAS).
所以∠AEB=∠DFC.
因为∠AEB=110°，
所以∠DFC=110°.
【拓展训练】
9. 如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE.
(1)从图中任找两组全等三角形；
(2)从(1)中任选一组进行证明.(共11张PPT)
第四章 三角形
1. 认识三角形
第1课时
1. 三角形：
(1)定义：由不在同一直线上的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形.
(2)基本要素：用符号表示如图所示的三角形为 .
用图中对应的字母表示三角形的三要素：
①边： ；
②角： ；
③顶点： .
首尾顺次
②∠A，∠B，∠C
△ABC
①a,b,c
③A，B，C
2. 三角形三个内角的和等于 .
3. 三角形按角的分类：
(1) 三角形：有三个锐角的三角形；
(2) 三角形：有一个直角的三角形；
(3) 三角形：有一个钝角的三角形.
4. 直角三角形的有关概念：
我们用符号“ ”表示“直角三角形”.把直角所对的边称为直角三角形的 ，夹直角的两条边称为 .
5. 直角三角形的两个锐角 .
180°
锐角
直角
钝角
Rt
斜边
直角边
互余
1. 三角形的内角中( )
A. 至少有一个钝角 B. 至少有一个直角
C. 至少有两个锐角 D. 至多有两个锐角
2. 在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是( )
A. ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 B. ∠A+∠B=∠C
C. ∠A=∠B=∠C D. ∠A=3∠C，∠B=2∠C
3. 如图，图中共有 个三角形.
C
C
3
4. 已知三角形三个内角的度数之比为2∶2∶5,则其最大内角的度数为 .
5. 在△ABC中，∠A= ∠B，∠B= ∠C，求△ABC中各内角的度数.
100°
【基础训练】
1. 已知三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2. 如图，AB∥CD，AD，BC交于点O，∠A=35°，∠BOD=76°，则∠C等于( )
A. 31° B. 35°
C. 41° D. 76°
C
C
3. 根据下列条件，能确定三角形是锐角或钝角三角形的是( )
①三个内角都是60°；②最小内角是20° ；③最大内角是89°；④最大内角是91° ；⑤有两个角都是61°.
A. ①③④⑤ B. ①②③④
C. ②③④⑤ D. ①②④⑤
4. 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α等于( )
A. 75° B. 60°
C. 65° D. 55°
A
A
5. 在△ABC中：
(1)若∠A=80°，3∠B=∠C，则∠B= ，∠C= ；
(2)若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A= ，∠B= ,∠C= ;
(3) 若∠A=96°，∠A+∠C=5∠B，则∠B= ，∠C= .
25°
75°
40°
60°
80°
30°
54°
【提升训练】
6. 如图，图中共有 个三角形，其中以AB为一边的三角形有 个，以∠C为一个内角的三角形有 个.
7.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ .
8. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个特征三角形的特征角为100°，那么这个特征三角形的最小内角的度数为 .
5
3
2
360°
30°
9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AE平分∠BAC，∠B=65°，∠C=47°.求∠DAE的度数.
【拓展训练】
10. 如图,已知五角星ABCDE,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.
连接ED.在△ACF和△FED中,∠AFC=∠EFD，
根据三角形内角和，得∠A+∠C=∠ADE+∠CED.
所以在△BED中,∠B+∠BED+∠BDE=∠B+ (∠BEC+∠CED)+(∠ADB+∠ADE)=∠A+∠B+∠C+∠ADB+∠BEC=180°.(共12张PPT)
第四章 三角形
1. 认识三角形
第4课时
1. 三角形的高线的概念:
(1)定义：从三角形的一个顶点向它的 所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
(2)图形：
(3)几何语言：因为AD是△ABC的高，所以 .
2. 三角形的高有 条，它们在 .
3. 三角形的高：
(1)锐角三角形的三条高在三角形的 ，且 ；
对边
AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)
三
三角形的内部、外部或在三角形的边上
内部
交于同一点
(2)直角三角形的三条高交于 ；
(3)钝角三角形的三条高所在的 交于 ,此点在三角形的 .
4. 画△ABC的BC边上的高AD,下列画法中，正确的是( )
5. 不一定在三角形内部的线段是( )
A. 三角形的角平分线 B. 三角形的中线
C. 三角形的高 D. 以上答案都不对
直角顶点
直线
同一点
外部
D
C
1． 如图，在△ABC中，BC边上的高是( )
A． 线段AD
B． 线段BE
C． 线段CF
D． 以上都不对
2. 画△ABC的BC边上的高，下列画法中，正确的是( )
B
A
3． 如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是( )
A． 锐角三角形 B． 直角三角形
C． 钝角三角形 D． 等边三角形
4. 在下列三角形中，分别画出AB边上的高．
C
略.
5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，∠B=20°,∠C=50°，求∠DAE的度数.
因为∠B=20°,∠C=50°,
又因为∠B+∠C+∠BAC=180°,
所以∠BAC=110°.
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
所以∠BAD=55°.
因为AE是BC边上的高，∠B=20°，
所以∠BAE=70°.
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=70°-55°=15°.
【基础训练】
1. 下列说法中：
①锐角三角形中，角平分线的交点、中线的交点、高所在直线的交点都在三角形内部；②直角三角形中，角平分线的交点、中线的交点、高所在直线的交点都在三角形的直角顶点上；③钝角三角形中，角平分线的交点、中线的交点、高所在直线的交点都在三角形外部；④角平分线的交点、中线的交点都在三角形内部；⑤锐角三角形中，高所在直线的交点在三角形内部；直角三角形中，高的交点在三角形直角顶点处；钝角三角形中，高的交点在三角形外部.
其中，正确的说法有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
2. 数学课上，某班学生在练习本上画钝角三角形ABC的高BE时，有一部分学生画出了下图中的四种图形，其中错误的个数为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3.三角形的三条高中，在三角形外部的最多有( )
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 0条
B
B
4. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点C，D，E，则下列说法中，错误的是( )
A. AC是△ABC的高 B. DE是△BCD的高
C. DE是△ABE的高 D. AD是△ACD的高
5. 如图，
(1)在△ABC中，BC边上的高是 ;
(2)在△AEC中，AE边上的高是 ;
(3)在△FEC中，EC边上的高是 ;
(4)若AB=CD=2 cm，AE=3 cm，则S△AEC= cm2，CE= cm.
C
AB
DC
FE
3
3
【提升训练】
6. 如图,共有 个直角三角形,△ABC中高AD，BE，CF相对应的底分别 ， ， .若AD=3,BC=6,AB=5,BE=4,则S△ABC= ,CF= ,AC= .
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D，E，F，则△ABC中边BC上的高是 .
12
BC
AC
AB
9
3.6
4.5
AD
8. 如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B.
(1)试说明：CD是△ABC的高；
(2)如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长.
（1）因为∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B，
所以∠B+∠BCD=90°.所以∠CDB=90°.
所以△BCD是直角三角形，即CD⊥AB.
所以CD是△ABC的高.
【拓展训练】
9. 已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数.(共9张PPT)
第四章 三角形
5. 利用三角形全等测距离
1. 全等三角形的性质：对应边 ，对应角 .
2. 判定三角形全等的条件：“ ”“ ”“ ”“ ”.
3. 要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄的交点，且有OA=OB=OC=OD，若圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长，其中的依据是全等三角形的判定条件( )
A.“SSS” B.“SAS”
C.“ASA” D.“AAS”
SSS
ASA
AAS
SAS
B
相等
相等
1. 下列对利用三角形全等测距离的叙述中,正确的是( )
A. 绝对准确 B. 误差很大，不可信
C. 可能有误差，但误差不大，结果可信
D. 如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离
2. 如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示一棵小杨树，同一时刻两棵树的影长相等，已知小杨树高3 m，则塔松高( )
A. 大于3 m B. 等于3 m
C. 小于3 m D. 和影子的长度相等
C
B
3. 已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6 cm，△ABC的面积为18 cm2，则EF边上的高为 cm.
4. 如图,A，B两点分别位于一个池塘的两端，点C 是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20 m，则AB= m.
5. 如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD.过点D作DE⊥BF，且A，C，E三点在同一直线上，若测得DE=15 m，即可知道AB也为15 m,请你说明理由.
6
20
由题意可知ABC=∠EDC=90°， BC=CD，∠BCA=∠DCE，从而 △ABC≌△EDC(ASA),故AB=DE=15 m.
【基础训练】
1. 下列对利用三角形全等测距离的叙述中，错误的是( )
A. 把不能直接测量的距离转化成能直接测量的距离
B. 要考虑实际情况,选择合理的方法
C. 有误差,所以不能用三角形全等测距离
D. 有误差时,可重复几次,求平均数
2. 已知AB=DE,AC=DF,要说明△ABC≌△DEF,有以下思路:
①BC=EF;②∠A=∠D;③∠B=∠E;④∠C=∠F.这4种思路中，错误的有( )
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
C
C
3. 如图,AB，CD表示两根长度相等的铁条，若O是AB， CD的中点，经测量AC=15 cm，则容器的内径长为( )
A. 12 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 15 cm
4. 如图，要测量河两岸相对两点A，B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C，D，使CD=BC，再在过点D的BD的垂线上取点E，使A，C，E三点在同一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长度就是A，B两点间的距离.这里判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A. “SAS” B. “ASA”
C. “SSS” D. “AAS”
D
B
5. 如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处沿着与AB成90°角的方向，向前走50 m到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50 m到D处，在D处转90°沿DE方向再走17 m，到达E处，这时，A，C，E三点在同一条直线上，那么A，B两点之间的距离为 m.
17
【提升训练】
6. 把含45°的三角板按如图所示放置,顶点A在桌面上,
若另外两个顶点C，B到达桌面的距离EC，BD分别为 3 cm
和5 cm，则垂足之间的距离ED= cm.
7. 如图，要测量A，B两点的距离，可以先选取两个可以直接到达的点O，C，使得BO=CO,∠AOB=∠AOC，连接AO，CO，AC，那么A，C两点的距离等于A，B两点的距离.请你说明其中的道理.
8
因为AO=AO,∠AOB=∠AOC,BO=CO,
所以△AOB≌△AOC(SAS).
所以AB=AC.
【拓展训练】
8. 为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A的视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8 m，量得旗杆与楼之间距离为DB=33 m，请计算楼高AB.(共8张PPT)
第四章 三角形
探索三角形全等的条件
第1课时
1. 分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“ ”.
2. 只要三角形的三边的长度确定了，那么它的大小和形状也就固定不变，三角形的这个性质叫做三角形的 .通过生活中的栅栏门，我们发现，四边形 稳定性.
3. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则只须 添加一个适当的条件是 (填一个即可).
4. 下列图形具有稳定性的是( )
A. 正方形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 平行四边形
SSS
稳定性
AB=CD(答案不唯一)
三边
不具有
C
1. 如图，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF，DE=BF，则图中共有全等三角形( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
2. 生活中，我们经常看到在电线杆上拉上两根钢筋来加固电线杆，如图.这是利用了三角形的( )
A. 稳定性 B. 全等性
C. 灵活性 D. 对称性
C
A
3. 如图，点E，F在DC上，DF=CE，AD=BC，AE=BF，则图中的全等三角形是 ，其依据是 .
4. 如图，AD=CB，AB=CD，AE=CF，找出图中的一对全等三角形： ，理由是 .
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线，试说明：AD⊥BC.
SSS
△ADC≌△CBA(答案不唯一)
△ADE和△BCF
SSS
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判断出( )
A. △ABD≌△ACD
B. △BDE≌△CDE
C. △ABE≌△ACE
D. 以上都不对
2. 如图是一个由4根木条钉成的框架，拉动其中两根木条，它的形状将会改变，为使其不变形，须加钉1根木条，则这根木条可钉在( )
A. CE上 B. EF上 C. AF上 D. AC上
C
D
3. 如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面结论中，不正确的是( )
A. △ABC≌△BAD B. ∠CAB=∠DBA C. OB=OC D. ∠C=∠D
4.如图，AB=AC，D是AE上的一点，且BD=CD， 则∠BAD和∠CAD的关系是 .
5. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB， 只需要增加的一个条件是 .
C
∠BAD=∠CAD
AB=DC(答案不唯一)
【提升训练】
6. 如图，AC=FE，BC=DE，A，D，B，F四点在同一直线上，且AD=FB，试说明：△ABC≌△FDE.
因为AD=FB,
所以AD+DB=FB+DB,
即AB=FD.
在△ABC和△FDE中,
因为AC=FE,BC=DE,AB=FD,
所以△ABC≌△FDE(SSS).
【拓展训练】
7. 如图，这是小明制作的风筝，他说做风筝的时候有DE=DF，EH=FH，又说不用度量就一定有∠DEH=∠DFH，你知道这是为什么吗？
在△DEH和△DFH中,
因为DE=DF,EH=FH,DH=DH,
所以△DEH≌△DFH(SSS).
所以∠DEH=∠DFH.(共13张PPT)
第四章 三角形
探索三角形全等的条件
第3课时
1. 三角形全等的条件：
(1) 分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”.
(2)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”.
(3)两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”.
(4)两边及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”.
边边边
SSS
对边
三边
角边角
AAS
角角边
AAS
角边角
SAS
夹角
2. 如图1，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A. AB=AC B. ∠BAC=90°
C. BD=AC D. ∠B=45°
3. 如图2，已知∠1=∠2，则不一定能使 △ABD≌△ACD的条件是( )
A. AB=AC
B. BD=CD
C. ∠B=∠C
D. ∠BDA=∠CDA
A
B
1. 如图，AM∥CN，且AM=CN，AC=DB，若∠A=62°,∠M=73°，则∠D等于( )
A. 45° B. 50° C. 60° D. 65°
2. 如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE B. ∠B=∠E C. EF=BC D. EF∥BC
A
C
3. 如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，AB=FE,当添 加条件 时，可判定△ABC≌△FED(要求 判定的依据是“SAS”).
4. 如图，已知∠1=∠2.
(1)当BC=BD时，判定△ABC≌△ABD的依据是“ ”；
(2)当∠3=∠4时，判定△ABC≌△ABD的依据是“ ”.
SAS
∠A=∠F(或AB∥EF)
ASA
5.如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C.
在△DAE和△BCE中，
所以△DAE≌△BCE(SAS).
所以∠A=∠C.
【基础训练】
1. 下列判断中，错误的是( )
A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等
2. 在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′,若还要添加一个关于角的条件，使△ABC≌△A′B′C′，则添加的条件是( )
A. ∠A=∠A′ B. ∠B=∠B′ C. ∠C=∠C′ D. ∠A=∠B′
B
A
3. 如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE,还须添加两个条件，才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )
A. ∠B=∠E,BC=EF B. BC=EF,AC=DF
C. ∠A=∠D,∠B=∠E D. ∠A=∠D,BC=EF
4. 如图，已知AC平分∠PAQ，点B,B′分别在边AP,AQ上，下列条件中，不能推出AB=AB′的是( )
A. BB′⊥AC
B. BC=B′C
C. ∠ACB=∠ACB′
D. ∠ABC=∠AB′C
D
B
5. 如图，已知线段AC与BD交于点O，AB=CD,BE=DF,AE=CF,则图中全等的三角形有 对，它们是 .
3
△DCF≌△BAE，△COF≌△AOE，△DCO≌△BAO
【提升训练】
6. 如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，请你补充一个条件 ，使△ABC≌△CDA.
7. 如图，AD是△ABC的中线，E,F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF,CE.有下列说法：
①CE=BF;
②△ABD和△ACD的面积相等;
③BF∥CE;
④△BDF≌△CDE.
其中正确的有 .(填序号)
AD=BC
①②③④
8. 如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC.
(1)若D是AE上任意一点，则△ABD≌△ACD吗？
(2)若D是AE反向延长线上一点，结论成立吗？试说明你的猜想.
(1)△ABD≌△ACD,理由如下：
因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD(SAS).
(2)无论点D在AE上或在AE反向延长线上，结论都成立，理由同(1).
9. 已知点E，C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F，△ABC≌△DEF是否成立？请说明理由.
成立.理由如下：
因为BE=CF，
所以BE+EC=CF+EC，
所以BC=EF.
因为AB∥DE，
所以∠B=∠DEF.
在△ABC与△DEF中，
因为∠B=∠DEF，BC=EF，∠ACB=∠F，
所以△ABC≌△DEF(ASA).
【拓展训练】
10. 如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，
CE平分∠BCD，试说明：BC＝AB+CD．
在BC上取一点F,使得BF=AB,连接EF,如图.
因为BE平分∠ABC,所以∠1=∠2.
在△ABE和△FBE中,
因为AB=FB,∠1=∠2,BE=BE,
所以△ABE≌△FBE(SAS).
所以∠A=∠5.
因为AB∥CD,所以∠A+∠D=180°.
因为∠5+∠6=180°,所以∠6=∠D.
因为CE平分∠BCD,
所以∠3=∠4.
在△CEF和△CED中,
因为∠3=∠4,∠6=∠D,CE=CE,
所以△CEF≌△CED(AAS).
所以CF=CD.
因为BC=BF+FC,
所以BC=AB+CD.(共11张PPT)
第四章 三角形
1. 认识三角形
第3课时
1.三角形的角平分线和中线的有关概念：
2. 三角形的角平分线和中线的条数、位置及重心:
(1)三角形的角平分线有 条，它们在三角形的 部.
(2)三角形的中线有 条，它们在三角形的 部.三角形的 条中线交于一点，这点称为三角形的 .
三
内
重心
三
内
三
1. 下列说法：①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段；③一个三角形中有三条中线、三条角平分线；④三角形的三条中线相交于一点，但三条角平分线未必相交于一点.其中正确的是( )
A. ②④ B. ②③ C. ①② D. ①③④
2. 三角形的角平分线是( )
A. 射线 B. 线段 C. 直线 D. 以上都有可能
3. 若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的是( )
A. AD平分∠BAC B. BD=DC
C. AD平分BC D. BC=2DC
B
B
A
4. 如图，BD=DE=EF=FC，那么 是△ABC的中线.
5. 如图，已知AE是∠BAC的平分线，∠1=∠D．试说明：∠1=∠2．
AE
【基础训练】
1. 如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，有如下结论：①AO是△ABE的角平分线,②BO是△ABD的中线.其中( )
A. ①②都正确
B. ①②都不正确
C. ①正确，②不正确
D. ①不正确，②正确
C
2. 如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法中，错误的是( )
A. DE是△BCD的中线 B. BD是△ABC的中线
C. AD=DC，BE=EC D. ∠C的对边是DE
3. 如图，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，以AE为角平分线的三角形是( )
A. △ABE B. △ADF C. △ABC D. △ABC，△ADF
D
D
4. 如图,AD是∠BAC的平分线,若∠B=45°,∠C=73°，则∠ADB= .
104°
【提升训练】
5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S?△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )
A.3
B.4
C.6
D.5
A
6. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5 cm，AC=3 cm.求△ABD与△ACD的周长之差.
7. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=70°,
∠C=50°，求∠ADB的度数.
因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.
所以△ABD与△ACD的周长之差为
(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2(cm).
∠ADB=80°
【拓展训练】
8. 如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE.设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC=6，则S1-S2的值为 .
1(共9张PPT)
第四章 三角形
2. 图形的全等
1. 全等图形:
(1)定义：能够 的两个图形称为全等图形.
(2)性质：全等图形的 和 都相同.
2. 全等三角形:
(1)概念：能够 的两个三角形叫做全等三角形.
(2)表示方法：全等用符号“ ”来表示.
(3)性质：全等三角形的对应边 ，对应角 .
完全重合
大小
≌
相等
形状
完全重合
相等
1. 下面4组图形中，是全等图形的一组是( )
2. 下列说法中，正确的有( )
①同一张底片洗出的10张一寸照片是全等图形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等图形；③所有的正六边形是全等图形；④面积相等的两个长方形是全等图形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
B
3. 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中 提供的信息，x= .
4. 如图是由几个全等的图形组成的图形，其中AB=5 cm，CD=3AB，则AF= .
20
80 cm
20
【基础训练】
1. 给出下列8个图形(如图)：
其中是全等图形的是( )
A. (1)与(7)
B. (2)与(8)
C. (4)与(5)
D. (3)与(6)
D
2. 下列说法中，正确的个数是( )
①两个叠合后能够完全重合的图形是全等图形；②两个形状相同的图形是全等图形；③全等图形的面积相等；④两个面积相等的图形是全等图形.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 一个正方体的侧面展开图有( )
A．2个全等的正方形 B．3个全等的正方形
C．4个全等的正方形 D．6个全等的正方形
4. 图中是全等图形的有 .
B
D
(1)与(8);(2)与(9);(4)与(11)
5. 如图，△ABC≌△ADE，∠B=28°， ∠E=95°，∠EAB=20°，则∠BAD= .
6. 已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为32，AB=8，BC=12，则DE= ，EF= ，DF= .
77°
8
12
12
【提升训练】
7. 把图中所示图形分成两个全等图形.
如图.
【拓展训练】
8. 如图，△ABD≌△EBC,AB＝3 cm，BC＝5 cm，A,B,C三点共线.
(1)求DE的长度；
(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由.
(1)因为△ABD≌△EBC,
所以BD=BC=5 cm,AB=BE=3 cm.
所以DE=BD-BE=5-3=2(cm).
(2)AC⊥BD.理由如下:
因为△ABD≌△EBC,
所以∠ABD=∠EBC.
因为∠ABD+∠EBC=180°,
所以∠ABD=90°.
所以AC⊥BD.(共12张PPT)
第四章 三角形
4. 用尺规作三角形
1. 尺规作图的工具是 和 .
2. 作图的步骤：已知； ； .
3. 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.
已知：线段a，c，∠α(如图1).
求作：△ABC，使BC=a，AB=c,∠ABC=∠α.
作法：
(1)作一条线段BC=a；
(2)以 为顶点，以 为一边，作∠ =∠α；
没有刻度的直尺
圆规
求作
作法
B
BC
DBC
(3)在射线 上截取线段 =c;
(4)连接AC.△ABC就是所求作的三角形.
4. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.
已知：∠α,∠β，线段c(如图2).
求作：△ABC,使∠A =∠α, ∠B =∠β ,AB=c.
作法：
(1)作∠ =∠α；
(2)在射线 上截取线段 =c；
(3)以 为顶点，以 为一边，作∠ =∠β， 交 于点 . △ABC就是所求作的三角形.
DAF
AF
AB
B
BA
ABE
BE
BD
BA
AD
C
1. 根据下列条件，能作出唯一△ABC的是( )
A. AB=3,BC=4,AC=8 B. AB=4,BC=3,∠A=30°
C. AB=5,AC=6,∠A=45° D. ∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
2. 如图，小强课本上的三角形被墨水弄污了一部分，他想在作业本上作一个完全一样的三角形，完成的依据只能为( )
A. “SSS” B. “ASA”
C. “SAS” D. “AAS”
C
B
3. 用尺规作一个角等于已知角的示意图如图， 则作图的依据是“ ”.
4. 阅读下面材料.
SSS
请回答下列问题：
(1)小明的作图依据是 “ ”；
(2)他所画的痕迹弧MN是以点 为圆心， 为半径的弧.
5. 如图，已知线段a,h.
求作：△ABC，使AB=AC,BC=a,BC边上的高AD=h.(不写作法，保留作图痕迹)
SSS
E
CD
略.
【基础训练】
1.根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是( )
A. AB=4,BC=4,AC=8 B. AB=4,BC=3,∠A=80°
C. ∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D. ∠C=90°,AB=6
2. 用尺规作图，不能作出唯一三角形的是( )
A. 已知两角和夹边
B. 已知两边和其中一边的对角
C. 已知两边和夹角
D. 已知两角和其中一角的对边
C
B
3. 如图，△ABC不是等边三角形，线段A′B′=AB，以A′,B′为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出( )
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
4. 已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等的条件 “ ”来作图的.
B
角边角(或ASA)
5. 已知线段a和∠α，求作△ABC，使AC=a,BC=2a,∠ACB=∠α,那么作图的第一步可以是 .
6. 已知∠AOB，作射线OC平分∠AOB，有以下3个步骤：
(1)作射线OC;
(2)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N;
(3)分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，在∠AOB内，两弧交于点C.
作法的合理顺序是 .(填序号)
作∠ACB=∠α(或作线段AC=a)
(2)(3)(1)
【提升训练】
7. 要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连接CF，DE，交于点P，那么∠AOB的平分线就是射线OP.要说明这个结论成立，可先说明△EOD≌△ ，理由是“ ”，得到∠OED=∠ ，再说明△PEC≌△ ，理由是“ ”，得到PE=PF，最后说明△EOP≌△ ，理由是“ ”，从而说明了∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB.
FOC
SAS
OFC
PFD
AAS
FOP
SSS
8. 如图,在△ABC中，BC=5 cm，AC=3 cm,AB=3. 5 cm，∠B=28°,∠C=43°.
请你从中选取适当的数据，作出与△ABC全等的三角形.
9. 已知：线段a(如图).
求作：△ABC，使AB=2a,BC=AC=3a.
略.
略.
【拓展训练】
10. 邻居家的小朋友把一块三角形的积木摔碎了，剩下了如图所示的一块，你能帮他做一块与原来一模一样的积木吗？请说明理由.
可以做一块与原来一模一样的积木.因为从摔碎的三角形的积木中可以找到有两个角及其夹边,根据“角边角”,就可得到一块一模一样的积木.(共8张PPT)
第四章 三角形
1. 认识三角形
第2课时
1. 有两边相等的三角形叫做 .
2. 三边都相等的三角形是 ,也叫 .
3. 三角形三边之间的关系：
(1)三角形任意两边之和 第三边.
(2)三角形任意两边之差 第三边.
4. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 5 B. 6 C. 11 D. 16
等腰三角形
小于
等边三角形
大于
正三角形
C
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1,2,6 B. 2,2,4 C. 1,2,3 D. 2,3,4
2. 如果三角形的两边长分别为6和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 现有2 cm,4 cm,6 cm,8 cm长的4根木棒，任意选取3根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为 .
D
B
1
4. 下列长度的三条线段能否组成三角形？
(1)3，5，9；(2)5，6，9.
5. 已知等腰三角形两边长分别为5 cm和 6 cm，求这个等腰三角形的周长.
(1)不能组成三角形，因为3+5＜9，所以这三条线段不能组成三角形.
(2)可以组成三角形，因为5+6＞9且6-5＜9，所以这三条线段能组成三角形.
16 cm或17 cm.
【基础训练】
1. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾顺次连接后，能摆成三角形的一组是( )
A. 1，2，1 B. 1，2，2
C. 1，2，3 D. 1，2，4
2. 以长分别为1，2，3，4，5的五条线段中的三条为边可以构成三角形的个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
A
3. 已知三角形的两边长分别为3 cm和8 cm,则此三角形第三边的长可能是( )
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 13 cm
4. 若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 一个等腰三角形的一边是5 cm，另一边是7 cm，则这个三角形的周长是 cm.
6. 如果三角形的两边长分别为3和5，且第三边长为整数，那么这个三角形的周长最大可能是 .
C
C
17或19
15
【提升训练】
7. 已知a,b,c为△ABC的三边，化简：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.
a-b+c.
提示：原式=(a+b-c)+(a+c-b)-(a+b-c)=a-b+c.
【拓展训练】
8. 若三角形的三边长都是正整数，一边长为4，但它不是最短边，求所有满足条件的三角形.
最短边长只有是1,2,3三种选择.
若最短边为1，则有以下情况：1,4,4.
若最短边为2,则有以下情况:2,4,5;2,4,4;2,3,4.
若最短边为3，则有以下情况:3,3,4;3,4,4;3,4,5;3,4,6.
