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第四章 §1 第1课时
一、选择题
1．复数(1＋)i的虚部是( )
A．1 B．
C．0 D．1＋
[答案] D
[解析] 不要受a＋bi形式的影响，该复数中a＝0，b＝1＋．
2．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩( SB)＝ D．( SA)∪( SB)＝C
[答案] D
[解析] SA＝{虚数}， SB包括实数和除去纯虚数以外的虚数．
3．(2014·白鹭洲中学期中)复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为( )21教育网
A．0或－1 B．0
C．1 D．－1
[答案] D
[解析] ∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D．
4．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
[答案] A
[解析] 依题意得，
解得，故选A．
5．已知a、b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝b＝0时复数为0是实数， ( http: / / www.21cnjy.com )故B不正确．由(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则 ，解得a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a＝b是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．21·cn·jy·com
6．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a、b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
A．① B．②
C．③ D．④
[答案] D
[解析] 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．
在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，①错误；
在③中，若x＝－1，(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故③错误；
两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确．
二、填空题
7．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋ ( http: / / www.21cnjy.com )(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为__________ ______．21·世纪*教育网
[答案] －1
[解析] 可以A∩B＝{3}来寻找解题突破口，按题意a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3，
∴，解得a＝－1．
8．若复数z＝(m2－5m＋6)＋(m－3)i是实数，则实数m＝__________ ________．
[答案] 3
[解析] 由题意，得m－3＝0，∴m＝3．
三、解答题
9．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？2·1·c·n·j·y
[答案] (1)k＝6或1 (2)k≠6且k≠－1 (3)k＝4 (4)k＝－1
[解析] (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当，即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当，即k＝－1时，z是零．
10．复数z＝＋(m2＋2m－8)i(m∈R)，当m为何值时，z为：(1)实数、(2)虚数、(3)纯虚数．www-2-1-cnjy-com
[答案] (1)－4 (2)m<－4或－4
[解析] (1)由题意知，，∴m＝－4．
(2)由题意，得，
即，∴m≥3或m≤－1且m≠－4．
故当m≥3或m≤－1且m≠－4时，z为虚数．
(3)由题意得，
∴，∴m＝－1或3．
一、选择题
11．以2i－的实部为虚部，以i＋2i2的虚部为实部的新复数是( )
A．2－2i B．2＋i
C．－＋i D．－i
[答案] D
[解析] 2i－的实部为－，i＋2i2＝i－2＝－2＋i的虚部为，所以新复数为－i．21世纪教育网版权所有
12．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(0∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
[答案] D
[解析] 由复数相等的定义可知，
∴cosθ＝，sinθ＝．
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D．
13．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则
( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
[答案] C
[解析] 解法一：(验证排除)a＝－1时，复数为i，是纯虚数，∴a≠－1，排除A，D；a＝2时，复数为实数0，【来源：21·世纪·教育·网】
∴a＝2，排除B，故选C．
解法二：(直接法)若复数不是纯虚数，则有
，或a2－a－2≠0，
解得a≠－1．
14．(2014·江西临川十中期中)若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为( )www.21-cn-jy.com
A．－1 B．4
C．－1或4 D．不存在
[答案] B
[解析] 由条件知，
∴∴m＝4．
二、填空题
15．若cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，则θ＝__________ ________．
[答案] 2kπ＋(k∈Z)．
[解析] 由cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，知
，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
16．若复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，则θ的值是__________ ________ ．
[答案] θ＝kπ－(k∈Z)
[解析] 由于复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，故其实部为零，虚部不为零，即，21cnjy.com
由cos2θ＝0可得cos2θ－sin2θ＝0，即tan2θ＝1．
∴tanθ＝±1，而1－tanθ≠0，∴tanθ＝－1．
∴θ＝kπ－(k∈Z)．
三、解答题
17．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[答案] (1)6 (2)a<－1或－16 (3)不存在
[解析] (1)当z为实数时，
则，∴，
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有，
∴，
∴a≠±1且a≠6．
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有，
∴，∴不存在实数a使z为纯虚数．
18．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[答案] 3
[解析] 由题意，得，
∴，
∴当m＝3时，原不等式成立．
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第四章 §1 第2课时
一、选择题
1．复数z与它的模相等的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
[答案] D
[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0．
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
[答案] A
[解析] 依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A．
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
[答案] C
[解析] 由题意知a2－2a＝0，
解得a＝0或2．
4．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模||等于( )21世纪教育网版权所有
A． B．2
C．4 D．
[答案] D
[解析] 由于OABC是平行四边形，故＝，
因此||＝||＝|3－2i|＝，故选D．
5．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( )
A．－C．x>－ D．x<－或x>2
[答案] A
[解析] 由条件知，(x－1)2＋(2x－1)2<10，
∴5x2－6x－8<0，∴－6．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )21教育网
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 复数z1＝2－ai对应的点为 ( http: / / www.21cnjy.com )(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应的点在第二象限，故选B．
二、填空题
7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是________．2·1·c·n·j·y
[答案] (1,2)
[解析] 由已知，得，
解得18．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，则|z|＝____________．
[答案] 2
[解析] 认真审题，把握“z＜0” ( http: / / www.21cnjy.com )，说明“z是实数且小于0”，然后具体求解．因为z＜0，则z∈R，所以虚部k2－5k＋6＝0解得k＝2或k＝3．当k＝3时，z＝0，不合题意，故舍去，∴z＝－2，∴|z|＝2．www.21-cn-jy.com
三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
[答案] m＜或m＞
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得，
解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞．
10．已知a∈R，复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？21·世纪*教育网
[解析] ∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，复数z的虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x、y∈R)，则
消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)．
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)．
一、选择题
11．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[答案] B
[解析] 所求复数的模为
＝＝，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，
∴＝－2cos．
12．已知0A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
[答案] C
[解析] 由已知，得|z|＝．
由0∴1∴|z|＝∈(1，)．
故选C．
13．若A、B是锐角△ABC的两内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋(sinB－cosA)i在复平面内所对应的点位于( )www-2-1-cnjy-com
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵A、B是锐角△ABC的两内角，∴A＋B＞①
由①得 A＞－B，
∵A、B为锐角△ABC的内角，
∴A∈(0，)，(－B)∈(0，)，
又在(0，)，正弦函数单调递增，∴sinA＞sin(－B)，
即sinA＞cosB，∴cosB－sinA＜0．
又由①可得 B＞－A，
同理可得sinB＞sin(－A)，
即sinB＞cosA，∴sinB－cosA＞0．
即z对应的点在第二象限．
二、填空题
14．设复平面内点A、B对应复数分别为1＋i,2－i，O为坐标原点，向量O＝A，则点C在第________象限．2-1-c-n-j-y
[答案] 四
[解析] 由条件知A(1,1)，B(2，－1)，
∴A＝(1，－2)，∴O＝(1，－2)，又O为坐标原点，
∴点C在第四象限．
15．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x O＋y O(x、y∈R)，则x＋y的值是______．21cnjy.com
[答案] 5
[解析] 由复数的几何意义可知，O＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i．
由复数相等可得，解得．
∴x＋y＝5．
16．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．
[答案]
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝．
三、解答题
17．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实数正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z．21·cn·jy·com
[解析] 根据题意设Z(a，b)，
∵||＝|z|＝2∠xOZ＝120°，
∴a＝－1，b＝，∴Z的坐标(－1，)，
∴z＝－1＋i
18．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[答案] 点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
[解析] 解法一：|z|＝|3＋4i|得|z|＝5．
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5．
因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为原点，以5为半径的圆．
解法二：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则|z|2＝x2＋y2．
∵|3＋4i|＝5，
∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
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