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第一章 §2 第2课时
一、选择题
1．下表是一个2×2列联表：
y1 y2 总计
x1 a 21 73
x2 2 25 27
总计 b 46 100
则表中a，b处的值分别为( )
A．94,96 B．52,50
C．52,54 D．54,52
[答案] C
[解析] 由，得.
2．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强( )
A．与 B．与
C．与 D．与
[答案] A
[解析] 与相差越大，说明ad与bc相差越大，两个分类变量之间的关系越强．
3．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：21教育网
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4
[答案] D
[解析] 比较|－|.
选项A中，|－|＝；
选项B中，|－|＝；
选项C中，|－|＝；
选项D中，|－|＝.故选D．
4．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是( )
A．判断模型的拟合效果
B．对两个变量进行相关分析
C．给出两个分类变量有关系的可靠程度
D．估计预报变量的平均值
[答案] C
[解析] 独立性检验的目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度．
5．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男人，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：21·cn·jy·com
年龄吸烟量 不超过40岁 超过40岁 合计
吸烟量不多于20支/天 50 15 65
吸烟量多于20支/天 10 25 35
合计 60 40 100
则在犯错误的概率不超过________的前提下认为吸烟与年龄有关．( )
A．0.1 B．0.01
C．0.05 D．没有理由
[答案] B
[解析] χ2＝≈22.16>6.635.
故我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟量与年龄有关．
6．为了探究中学生的学习成 ( http: / / www.21cnjy.com )绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的中学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的中学生中有6名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )
A．0 B．95%
C．99% D．都不正确
[答案] C
[解析] 计算出χ2与两个临界值比较．
χ2＝≈25.340 3>6.635.
所以有99%的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C．
二、填空题
7．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如下表：
患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计
吸烟 43 162 205
不吸烟 13 121 134
合计 56 283 339
根据列表数据，求得χ2的观测值k＝________.
[答案] 7.469
8．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)
性别与喜欢文科还是理科列联表
喜欢文科 喜欢理科 总计
男生 8 28 36
女生 20 16 36
总计 28 44 72
中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”)
[答案] 有
[解析] 通过计算χ2的观测值k＝≈8.42>7.879.故我们有99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
9．某地区有关部门调查该地区的一种传染病与饮用不干净水的关系，得到如下列联表(单位：人)：
传染病与饮用不干净水列联表
得病 不得病 总计
干净水 52 466 518
不干净水 94 218 312
总计 146 684 830
根据数据作出统计分析推断．
[答案] 有99.9%的把握认为该地区的这种传染病与饮用不干净水有关．
[解析] 由已知列联表中数据计算得χ2的观测值为k＝≈54.21，
因为54.21>10.828，所以我们有99.9%的把握认为该地区的这种传染病与饮用不干净水是有关的．21·世纪*教育网
[点评] 对数据作统计分析推断实质上 ( http: / / www.21cnjy.com )是让我们来判断得这种传染病是否与饮用不干净的水有关系，即根据数据求χ2的观测值，再利用其与临界值的大小关系来判断．
10．打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？2-1-c-n-j-y
患心脏病 未患心脏病 合计
每一晚都打鼾 30 224 254
不打鼾 24 1 355 1 379
合计 54 1 579 1 633
[答案] 有99%的把握认为相关
[解析] 假设每一晚都打鼾与患心脏病无关系，则有
∴χ2＝
＝＝68.033.
∵68.033>10.828.
∴有99%的把握说每一晚都打鼾与患心脏病有关．
11.下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一条直线的回归方程为＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归直线＝x＋必过点(，)；
④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )2·1·c·n·j·y
A．0 B．1
C．2 D．3
本题可以参考独立性检验临界值表：
P(χ2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P(χ2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[答案] B
[解析] 一组数据都加上或减去同一个常数 ( http: / / www.21cnjy.com )，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归直线＝x＋必过点(，)，③正确；因为χ2＝13.079>10.828，故有99%的把握确认这两个变量有关系，④正确，故选B．21世纪教育网版权所有
12．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课之间的关系，从某高中随机抽取300名学生，得到如下列联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
根据以上数据，则( )
A．性别与是否喜欢数学无关
B．性别与是否喜欢数学有关
C．性别与是否喜欢数学关系不确定
D．以上说法都错误
[答案] B
[解析] χ2＝≈4.514>3.841，故选B．
13．某卫生机构对366人进行健康 ( http: / / www.21cnjy.com )体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有______的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )【版权所有：21教育】
A．99.9% B．99.5%
C．99% D．97.5%
[答案] D
[解析] 可以先作出如下列联表(单位：人)：
糖尿病患者与遗传列联表
糖尿病发病 糖尿病不发病 总计
阳性家族史 16 93 109
阴性家族史 17 240 257
总计 33 333 366
根据列联表中的数据，得到χ2的观测值为
k＝≈6.067>5.024.
故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
14．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 总数
喜欢玩电脑游戏 18 9 27
不喜欢玩电脑游戏 8 15 23
总数 26 24 50
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( )
A．99% B．95%
C．90% D．无充分依据
[答案] B
[解析] 由表中数据得k＝
≈5.059>3.841.
所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．
二、填空题
15．某研究小组为了研究中学生的身 ( http: / / www.21cnjy.com )体发育情况，在某中学随机抽出20名15至16周岁的男生将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重 不超重 总计
偏高 4 1 5
不偏高 3 12 15
总计 7 13 20
[答案] 0.025
[解析] 根据公式χ2＝得，χ2的观测值k＝≈5.934，
因为k>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．21cnjy.com
16．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
专业性别 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
χ2＝≈4.844，
因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.www.21-cn-jy.com
[答案] 5%
[解析] ∵k>3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.
三、解答题
17．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：www-2-1-cnjy-com
性别是否需要志愿者 男 女
需要 40 30
不需要 160 270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．【出处：21教育名师】
附：
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
χ2＝
[答案] (1)14% (2)有关 (3)略
[解析] (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.21教育名师原创作品
(2)χ2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地 ( http: / / www.21cnjy.com )区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法进行抽样，这比采用简单随机抽样方法更好. 21*cnjy*com
18．(2014·沈阳二检)为了 ( http: / / www.21cnjy.com )研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班 乙班 合计
优秀
不优秀
合计
下面临界表有仅供参考：
P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：χ2＝)
[答案] (1) (2)有97.5的把握认为相关
[解析] (1)记成绩为87分的同学 ( http: / / www.21cnjy.com )为A、B，其他不低于80分的同学为C，D，E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个． 21*cnjy*com
“至少有一个87分的同学被抽到”所组 ( http: / / www.21cnjy.com )成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个，所以P＝.【来源：21cnj*y.co*m】
(2)
甲班 乙班 合计
优秀 6 14 20
不优秀 14 6 20
合计 20 20 40
χ2＝＝6.4>5.024，
因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
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第一章 §1 第1课时
1.下列两个变量之间是相关关系的是( )
A．匀速直线运动的距程与时间
B．球的体积与半径
C．角度与它的正弦值
D．一个考生的数学成绩与物理成绩
[答案] D
[解析] 相关关系不是确定的函数关系，这里A、B、C都是确定的函数关系．
2．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长与面积
C．正n边形的边数和它的所有内角之和
D．人的年龄和身高
[答案] D
[解析] 是否为函数关系主要取决于任给一 ( http: / / www.21cnjy.com )个自变量的值是否有唯一确定的因变量的值与其对应，据此，A、B、C中都存在一个确定的函数关系，只有人的年龄与身高之间不存在函数关系．2-1-c-n-j-y
3．工人工资依劳动生产率变化的线性回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1时，工资为80
B．劳动生产率提高1时，工资提高80
C．劳动生产率提高1时，工资提高130
D．当月工资为250时，劳动生产率为2
[答案] B
[解析] 利用线性回归方程的意义来解．回归直线斜率为80，所以x每增加1，y增加80，即劳动生产率提高1时，工资提高80. 21*cnjy*com
根据线性回归方程，相应于x＝1的估计值y＝130，故A错，应选B．
4．(2015·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
[答案] C
[解析] 因为变量x和y满足关系y＝－0. ( http: / / www.21cnjy.com )1x＋1，其中－0.1<0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x与z负相关，综上可知，应选C．
5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有( )【出处：21教育名师】
A．a与r符号相同 B．a与r符号相反
C．b与r符号相同 D．b与r符号相反
[答案] C
[解析] 根据b与r的计算公式可知，b与r符号相同．
6．对于相关关系r，下列说法正确的是( )
A．|r|越大，相关程度越小
B．|r|越小，相关程度越大
C．|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大
D．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小
[答案] D
[解析] |r|≤1，当|r|越接近于1， ( http: / / www.21cnjy.com )误差越小，变量之间的线性相关程度越高；|r|越接近于0，误差越大，变量之间的线性相关程度越低，故选D .【版权所有：21教育】
二、填空题
7．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法．
[答案] 相关
[解析] 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．
8．已知x、y的取值如下表：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若x、y具有线性相关关系，且回归直线方程为＝0.95x＋a，则a的值为________.
[答案] 2.6
[解析] 由已知得＝2，＝4.5，而回归方程过点(，)，则4.5＝0.95×2＋a，
∴a＝2.6.
三、解答题
9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 3 5 6 7 9
推销金额y/万元 2 3 3 4 5
(1)以工作年限为自变量，推销金额为因变量y，作出散点图；
(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
[答案] (1)散点图略 (2)＝0.5x＋0.4 (3)5.9万元
[解析] (1)依题意，画出散点图如图所示，
(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为＝x＋.
则＝＝＝0.5，＝－＝0.4，
∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为＝0.5x＋0.4.
(3)由(2)可知，当x＝11时，
＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．
∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元．
10．某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻产量y(单位：t)的关系，所得的数据如下表：
耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18
每公顷产量y/t 6.0 7.5 7.8 9.2 10.8 12.0
试求每公顷水稻产量和耕种深度的线性相关系数与线性回归方程．
[答案] 相关系数0.995 回归直线方程＝1.21＋0.59x
[解析] 将数据列成下表：
i xi yi x y xiyi
1 8 6.0 64 36.00 48.0
2 10 7.5 100 56.25 75.0
3 12 7.8 144 60.84 93.6
4 14 9.2 196 84.64 128.8
5 16 10.8 256 116.64 172.8
6 18 12.0 324 144.00 216.0
∑ 78 53.3 108 4 498.37 734.2
由此可得＝＝13，＝≈8.9.
进而可求得相关系数r≈0.995，所以认为每公顷水稻产量y和耕种深度x有较强的线性相关程度．
由计算公式得＝0.59，＝－b ≈1.21，故y对x的线性回归方程为＝1.21＋0.59x.
11.对于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
[答案] D
[解析] ∵相关系数|r|≤1，∴D错．
12．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额y(万元) 49 26 39 54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
[答案] B
[解析] 此题必须明确回归直线方程过定点(，)．
易求得＝3.5，＝42，则将(3.5,42)代入＝x＋中得：42＝9.4×3.5＋，即＝9.1，则＝9.4x＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．
13．设某大学的女生体重y(单位：kg ( http: / / www.21cnjy.com ))与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
[答案] D
[解析] 本题考查线性回归方程．
D项中身高为170cm时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．21教育网
14．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的，若10个学生初一和初二的数学期末考试分数如下(分别为x，y)：21cnjy.com
x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74
y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72
则初一和初二数学考试分数间的回归直线方程为( )
A．y＝1.218 2x＋14.192 B．y＝1.218 2＋14.192x
C．y＝1.218 2－14.192x D．y＝1.218 2x－14.192
[答案] D
[解析] 由表中数据可得＝71，＝72.3，因为回归直线一定经过点(，)，经验证只有D满足条件．21·cn·jy·com
二、填空题
15．已知两个变量x和y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：
x 100 120 140 160 180
y 45 54 62 75 92
那么变量y关于x的回归方程是________.
[答案] ＝0.575x－14.9
[解析] 根据公式计算可得＝0.575，＝－14.9，所以回归直线方程是＝0.575x－14.9.
16．某市居民2010～2014年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：2·1·c·n·j·y
年份 2010 2011 2012 2013 2014
收入x 11.5 12.1 13 13.3 15
支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12
根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是__________，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．www.21-cn-jy.com
[答案] 13 正
[解析] 中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．，r≈0.97，正相关．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
17．某5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：
数学成绩x 88 76 73 66 63
化学成绩y 78 65 71 64 61
(1)画出散点图；
(2)如果x、y呈线性相关关系，求y对x的线性回归方程．
[答案] (1)散点图略 (2),\s\up6(^))＝22.05＋0.625x.
[解析] (1)散点图如图：
(2)＝73.2，＝67.8，＝27 174，＝23 167，
iyi＝25 054，
∴,\s\up6(^))＝≈0.625，
＝－＝22.05，
所求回归方程为,\s\up6(^))＝22.05＋0.625x.
18．(2015·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：21·世纪*教育网
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程＝t＋中，
＝，＝－ .
[解析] (1)列表计算如下
i ti yi t tiyi
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
∑ 15 36 55 120
这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.
又lnt＝i－n 2＝55－5×32＝10，lny＝iyi－n ＝120－5×3×7.2＝12.
从而＝＝＝1.2，＝－ ＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．www-2-1-cnjy-com
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第一章 §1 第2课时
1.下列说法错误的是( )
A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系
B．把非线性回归化线性回归为我们解决问题提供一种方法
C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系
D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决2·1·c·n·j·y
[答案] A
[解析] 此题考查解决线性相关问题的基本思路．
2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 1 2 3 4
用水量y/百吨 4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y＝－0.7x＋a，则a等于( )www-2-1-cnjy-com
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
[答案] D
[解析] ＝＝，＝＝，a＝－b＝＋0.7×＝5.25.
3．由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝x＋，则下列说法不正确的是( )www.21-cn-jy.com
A．直线＝x＋必过点(，)
B．直线＝x＋至少经过点(x1，y1)(x2，y2)……(xn，yn)中的一个点
C．直线＝x＋的斜率为
D．直线＝x＋和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线【出处：21教育名师】
[答案] B
4．对于指数曲线y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为( )【版权所有：21教育】
A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx
C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx
[答案] A
[解析] 对方程y＝aebx两边同时取对数，然后将u＝lny，c＝lna代入，不难得出u＝c＋bx.21教育名师原创作品
5．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
[答案] D
[解析] 代入检验，当x取相应的值时，所得y值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．
6．下列数据符合的函数模型为( )
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3
A．y＝2＋x B．y＝2ex
C．y＝2e D．y＝2＋lnx
[答案] D
[解析] 分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋lnx.
二、填空题
7．在两个变量的回归分析中， ( http: / / www.21cnjy.com )作散点图的目的是__________ ________________；相关系数是度量__________ ______________的量． 21*cnjy*com
[答案] 从散点图中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合 两个变量之间线性相关程度21*cnjy*com
8．若回归直线方程中的回归系数b＝0时，则相关系数r的值为__________ ________.
[答案] 0
[解析] 若b＝0，则iyi－n ＝0，∴r＝0.
三、解答题
9．某工厂今年1～4月份生产某种产品的 ( http: / / www.21cnjy.com )数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．为了估测以后每个月的产量，可用函数y＝aebx来模拟该产品的月产量y(万件)与月份x的关系，求模拟函数．
[答案] y＝e－0.066 1＋0.010 24x
[解析] 设μ＝lny，c＝lna，则μ＝c＋bx.
月份x 1 2 3 4
产量y(万件) 1 1.2 1.3 1.37
x 1 2 3 4
μ 0 0.182 3 0.262 4 0.314 8
i＝10，i＝0.759 5，＝30，≈0.201 2，
iμi＝2.411，＝2.5，≈0.189 9，相关系数r＝
≈
≈0.959 7，相关程度较强．
b＝≈＝0.102 4，c＝－b≈0.189 9－0.102 4×2.5＝－0.066 1，
所以μ＝－0.066 1＋0.102 4x，y＝e－0.066 1＋0.010 24x.
10．下表所示是一组试验数据：
x 0.5 0.25 0.125 0.1
y 64 138 205 285 360
(1)作出散点图，并猜测y与x之间的关系；
(2)利用所得的函数模型，预测x＝10时y的值．
[答案] (1)散点图略 y与x不具线性相关关系，可能成反比例型函数关系 (2)－7.605
[解析]
(1)散点图如图所示，从散点图可以看出y与x不具有线性相关关系．
根据已有知识发现样本点分布在函数y＝＋a的图像的周围，其中a，b为待定参数．令x′＝，y′＝y，由已知数据制成下表：
序号i xi′ yi′ x′ y′ x′iy′i
1 2 64 4 4 096 128
2 4 138 16 19 044 552
3 6 205 36 42 025 1 230
4 8 285 64 81 225 2 280
5 10 360 100 129 600 3 600
∑ 30 1 052 220 275 990 7 790
′＝6，′＝210.4，故′－5(′)2＝40，′－5′2＝54 649.2，r＝≈0.999 7，由于r非常接近于1，【来源：21·世纪·教育·网】
∴x′与y′具有很强的线性关系，计算知b≈36.95，a＝210.4－36.95×6＝－11.3，
∴y′＝－11.3＋36.95x′，
∴y对x的回归曲线方程为y＝－11.3.
(2)当x＝10时，y＝－11.3＝－7.605.
11.我国1990～2000年的国内生产总值如下表所示：
年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995
产值/亿元 18 598.4 21 662.5 26 651.9 34 560.5 46 670.0 57 494.9
年份 1996 1997 1998 1999 2000
产值/亿元 66 850.5 73 142.7 76 967.1 80 422.8 89 404.0
则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为( )
A．y＝aekx B．y＝a＋bx
C．y＝axb D．y＝ae
[答案] B
[解析] 画出散点图，观察可用y＝a＋bx刻画国内生产总值发展变化的趋势．
12．设由线性相关的样本点(x1，y1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，求得的回归直线方程为＝bx＋a，定义残差ei＝yi－i＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，残差平方和m＝e＋e＋…＋e.21世纪教育网版权所有
已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：2-1-c-n-j-y
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[答案] D
[解析] r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，故选D．
二、填空题
13．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则作变换t＝__________ ________才能转为y是t的线性回归方程．
[答案] (x＋)2
[解析] ∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，
∴令t＝(x＋)2，则y＝at＋，此时y为t的线性回归方程．
14．若x、y满足
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1
y 0.27 0.45 0.73 1.21 1.99 3.30 5.44
则可用来描述x与y之间关系的函数解析式为__________ ________.
[答案] y＝2ex
[解析] 画出散点图，形如y＝a·ebx，其中a≈2，b≈1.
∴y＝2ex.
15．若x、y满足
x 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 4 5
y 20 9 6 4 2 0.94 0.65 0.51 0.45
则可用来描述x与y之间关系的函数解析式为__________ ________.
[答案] y＝
[解析] 画出散点图，观察图像形如y＝，通过计算知b≈2，∴y＝.
三、解答题
16．如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x的地震次数为N，试建立N对x的回归方程，并表述二者之间的关系.21教育网
震级 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4
地震数 28 381 20 380 14 795 10 695 7 641 5 502 3 842 2 698
震级 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6
地震数 1 919 1 356 973 746 604 435 274 206
震级 6.2 6.4 6.6 6.8 7
地震数 148 98 57 41 25
[答案] ＝10－0.741x＋6.704
[解析] 由表中数据得散点图如图1.从散 ( http: / / www.21cnjy.com )点图中可以看出，震级x与大于或等于该震级的地震次数N之间呈现出一种非线性的相关性，随着x的减少，所考察的地震数N近似地以指数形式增长．于是令y＝lgN.得到的数据如下表所示．【来源：21cnj*y.co*m】
图1
x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4
y 4.453 4.309 4.170 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431
x 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6
y 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314
x 6.2 6.4 6.6 6.8 7
y 2.170 1.991 1.756 1.613 1.398
x和y的散点图如图2.
图2
从散点图(2)中可以看出x和y之间有很强的线 ( http: / / www.21cnjy.com )性相关性，因此由最小二乘法得a≈6.704，b≈－0.741，故线性回归方程为y＝－0.741x＋6.704.因此，所求的回归方程为：lgN＝－0.741x＋6.704，故＝10－0.741x＋6.704.21·cn·jy·com
[点评] 在解回归分析问题时，一般先作出原始数据的散点图．依据散点图中点的分布，选择合适的函数模型进行拟合21·世纪*教育网
17．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积(m2) 115 110 80 135 105
销售价格(万元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．
[答案] (1)略 (2)＝0.196 2x＋1.816 6
(3)31.246 6
[解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：
(2)＝xi＝109，lxx＝ (xi－)2＝1 570，
＝23.2，lxy＝ (xi－)(yi－)＝308.
设所求回归直线方程为＝x＋，
则＝＝≈0.196 2，＝－＝1.816 6.
故所求回归直线方程为＝0.196 2x＋1.816 6.
(3)据(2)，当x＝150m2时，销售价格的估计值为
＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
18．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：
x 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5
y 6 4.6 4 3.2 2.8
x 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5
y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1
散点图显示出x与y的变动关系为一条递 ( http: / / www.21cnjy.com )减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．
[答案] ＝－0.1875＋ 所求流通率约为16.875%
[解析] 设u＝，则y≈a＋bu，得下表数据：
u 0.105 3 0.087 0 0.074 1 0.064 5 0.057 1
y 6 4.6 4 3.2 2.8
u 0.051 3 0.046 5 0.042 6 0.039 2 0.036 4
y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1
进而可得n＝10，≈0.060 4，＝3.21，
－102≈0.004 557 3，
iyi－10 ≈0.256 35，
b≈≈56.25，
a＝－b·≈－0.187 5，
所求的回归方程为＝－0.187 5＋.当x＝30时，y＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.21cnjy.com
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第一章 §2 第1课时
一、选择题
1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )
A．0.56 B．0.48
C．0.75 D．0.6
[答案] A
[解析] 设甲击中为事件A，乙击中为事件B．∵A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.【版权所有：21教育】
2.如图，A、B、C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9、0.8、0.7，那么系统的可靠性是( )
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.06
[答案] B
[解析] 系统可靠即A、B、C 3种开关至少有一个能正常工作，
则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)
＝1－0.1×0.2×0.3
＝0.994.
3．盒中有5个红球、11个蓝球、红球中 ( http: / / www.21cnjy.com )有2个玻璃球、3个塑料球、蓝球中有4个玻璃球、7个塑料球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率是( )21教育名师原创作品
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 设摸到玻璃球为事件A，摸到蓝球为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，
∴所求概率P＝＝×＝.
简解：6个玻璃球中有4个蓝球，故所求概率为P＝＝.
4．某机械零件加工由两道工序组成， ( http: / / www.21cnjy.com )第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假定这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是( )
A．ab－a－b＋1 B．1－a－b
C．1－ab D．1－2ab
[答案] A
[解析] 设第一道工序出现废品为事件A，第二道工序出现废品为事件B，
则P(A)＝a，P(B)＝b，且A与B相互独立．
则产品合格率为P( )＝P()·P()
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝(1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab.
5．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 记“从甲袋中任取一球为白球 ( http: / / www.21cnjy.com )”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A、B是相互独立事件．P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝×＝.
6．甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出一球，那么等于( )21cnjy.com
A．2个球都是白球的概率
B．2个球中恰好有1个是白球的概率
C．2个球都不是白球的概率
D．2个球不都是红球的概率
[答案] B
[解析] 两个球都是白球的概率为×＝；两个球恰好有一个是白球的概率为×＋×＝.
二、填空题
7．掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是6点的概率为____________.
[答案]
[解析] 设掷两枚骰子点数不同记为事件A，至少有一个是6点记为事件B．则P(B|A)＝＝.
8．明天上午李明要参加奥运志愿者活动， ( http: / / www.21cnjy.com )为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.21教育网
[答案] 0.98
[解析] 设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，
∴P(A)＝1－P()＝1－(1－0.80)×(1－0.90)＝1－0.2×0.1＝0.98.
三、解答题
9．在由12道选择题和4道填空题组成的考题中，如果不放回地依次抽取2道题．
求：(1)第一次抽到填空题的概率；
(2)第一次和第二次都抽到填空题的概率；
(3)在第一次抽到填空题的前提下，第二次抽到填空题的概率．
[答案] (1) (2) (3)
[解析] 设第一次抽到填空题为事件A，第二次抽到填空题为事件B，则第一次和第二次都抽到填空题为事件AB．21·cn·jy·com
(1)P(A)＝＝.(2)P(AB)＝＝.
(3)P(B|A)＝＝＝.
10．集合A＝{1,2, ( http: / / www.21cnjy.com )3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．www.21-cn-jy.com
[答案]
[解析] 将甲抽到数字a，乙抽到数 ( http: / / www.21cnjy.com )字b，记作(a，b)，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．
其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，
∴所求概率P＝＝.
解法2：设甲抽到奇数的事件为A，甲抽到奇数且乙抽到的数比甲大为事件B，则P(A)＝＝.
P(AB)＝＝＝.∴P(B|A)＝＝.
一、选择题
11．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )
A．75% B．96%
C．72% D．78.125%
[答案] C
[解析] 记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%.
记“任选一件产品是一级品”为事件B． 由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．21世纪教育网版权所有
由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%；
故P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝96%×75%＝72%.
12．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于( )www-2-1-cnjy-com
A．2个球都是白球的概率 B．2个球都不是白球的概率
C．2个球不都是白球的概率 D．2个球中恰有1个是白球的概率
[答案] C
[解析] 记从甲口袋内摸 ( http: / / www.21cnjy.com )出1个白球为事件A，从乙口袋内摸出1个白球为事件B，则A，B是独立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故为2个球不都是白球的概率．【来源：21cnj*y.co*m】
13．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立，灯亮的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 因为灯不亮的概率为××(1－×)＝，所以灯亮的概率为1－＝.
二、填空题
14．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率________.
[答案]
[解析] 设第1次抽到A为事件M，第2次也抽到A为事件N，则MN表示两次都抽到A，
P(M)＝＝，
P(MN)＝＝，
P(N|M)＝＝.
15．一道数学竞赛试题，甲生解出它 ( http: / / www.21cnjy.com )的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.
[答案]
[解析] P＝××＋××＋××＝.
三、解答题
16．某班有两个课外活动小组，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)两人都抽到足球票的概率是多少？
(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？
[答案] (1) (2)
[解析] 记“甲从第一小组的10张 ( http: / / www.21cnjy.com )票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B，则“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，于是21*cnjy*com
P(A)＝＝，P()＝；P(B)＝＝，P()＝.
由于甲(或乙)是否抽到排球票，对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件．
(1)两人都抽到足球票的概率为P＝P(A)·P(B)
＝×＝.
(2)两人都抽到排球票的概率为P＝P()·P()
＝×＝.
故两人至少有1人抽到足球票的概率为P＝1－＝.
17．一个家庭中有若干个小 ( http: / / www.21cnjy.com )孩，假设生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中有男孩，又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[答案] (1)A、B不独立 (2)A、B相互独立
[解析] (1)有两个小孩的家庭，这时样本空间为：
Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，女)}，它有3个基本事件，由等可能性知概率各为，这时
A＝{(男，女)}，
B＝{(男，男)，(男，女)}，AB＝{(男，女)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A、B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，样本空间为：
Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，女)，(女，女，女)}，
由等可能性知这4个基本事件的概 ( http: / / www.21cnjy.com )率均为，这时A中含有2个基本事件，B中含有2个基本事件，AB中含有1个基本事件，于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的．
18．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)2个人都译出密码的概率；
(2)2个人都译不出密码的概率；
(3)恰有1个人译出密码的概率；
(4)至多1个人译出密码的概率；
(5)至少1个人译出密码的概率．
[答案] (1) (2) (3) (4) (5)
[分析] 我们把“甲独立地译出密码”记为事件 ( http: / / www.21cnjy.com )A，把“乙独立地译出密码”记为事件B，显然，A、B为相互独立事件，问题(1)相当于事件A、B同时发生，即事件A·B．问题(2)相当于事件·.问题(3)相当于事件A·＋·B．问题(4)“至多1个人译出密码”的对立事件是2个人都译出密码(即事件AB)．问题(5)“至少1个人译出密码”的对立事件是2个人都未译出密码(即事件·)．由于A，B是独立事件，上述问题中，与B，A与，与都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率．2·1·c·n·j·y
[解析] 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，P(A)＝，P(B)＝. 21*cnjy*com
(1)2个人都译出密码的概率为P(A·B)＝P(A)×P(B)＝×＝.
(2)2个人都译不出密码的概率为P(·)＝P()×P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－)×(1－)＝.【出处：21教育名师】
(3)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为21·世纪*教育网
P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝.2-1-c-n-j-y
(4)“至多1个人译出密码”的对立事 ( http: / / www.21cnjy.com )件为“有2个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
(5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“2个都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为
1－P(·)＝1－P()P()＝1－×＝.
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