24.3 一元二次方程根与系数的关系 分层作业（含答案） 2023-2024学年初中数学冀教版九年级上册

24.3　一元二次方程根与系数的关系
【练基础】
必备知识1 直接利用根与系数的关系求两根的和与积
1.已知x1,x2是一元二次方程x2-6x-15=0的两个实数根,则x1+x2等于 ( )
A.-6 B.6 C.-15 D.15
2.【2022唐山月考】若关于x的一元二次方程的两个根为 x1=1,x2=2,则这个方程可能是 ( )
A.x2+3x-2=0 B.x2+3x+2=0
C.x2-3x+2=0 D.x2-3x+3=0
必备知识2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
3.已知α、β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是 ( )
A.3 B.1
C.-1 D.-3
4.关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1,x2,若x2=2x1,则4b-9ac的最大值是 ( )
A.1 B. C. D.2
5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2=0的两个根,且+=1,则k=　 .
6.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=4.请你写出正确的一元二次方程:　 .
必备知识3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
7.关于x的方程x2-(m-1)x+m-2=0的两个实数根互为倒数,则m的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则n的值是 ( )
A.-8 B.8 C.-6 D.2
【练能力】
9.若关于x的方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1、x2,则x1x2(+)-2+4x1的最大值是 ( )
A.3 B.4 C.4.5 D.5
10.在Rt△ABC中,斜边AB=5厘米,BC=a厘米,AC=b厘米,a>b,且a、b是方程x2-(m-1)x+m+4=0的两个实数根,则Rt△ABC的面积为　 平方厘米.
11.已知x1、x2是一元二次方程2x2-5x+2=0的两个实数根,不解方程,求下列各式的值.
(1)x2+x1.
(2)+.
12.关于x的一元二次方程x2 -(2m-1)x+m2=0的两根为a,b,且a+b=ab-4,求m的值.
嘉淇的解题过程如下:
∵a+b=2m-1,ab=m2,∴2m-1=m2-4.
整理,得m2-2m-3=0.解得m1=-1,m2=3.
嘉淇的解题过程漏考虑了哪个条件 请写出正确的解题过程.
13.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围.
(2)当+=6x1x2时,求m的值.
14.已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两个实数根x1、x2满足x1x2+x1+x2>0,求a的取值范围.
【练素养】
15.已知关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有两个正整数根(m是正整数),且a、b满足m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0.
(1)求m的值.
(2)求+的值.
参考答案
练基础
1.B　2.C　3.B　4.D　5.3或-1　6.x2-5x+6=0
7.C　8.A
练能力
9.B　10.6
11.【解析】由已知得x1+x2=,x1·x2=1.
(1)·x2+x1·=x1·x2(x1+x2)=.
(2)+===.
12.【解析】嘉淇的解题过程漏了b2-4ac≥0这一条件.
正确的解题过程如下:
根据题意,得b2-4ac=[-(2m-1)]2-4m2≥0,解得m≤.
∵a+b=2m-1,ab=m2,a+b=ab-4,∴2m-1=m2-4,
整理,得m2-2m-3=0,解得m1=-1,m2=3(舍去),∴m的值为-1.
13.【解析】(1)∵原方程有两个实数根,
∴Δ=(-2)2-4(m-1)≥0,
整理,得4-4m+4≥0,
解得m≤2.
(2)∵x1+x2=2,x1·x2=m-1,+=6x1x2,
∴(x1+x2)2-2x1·x2=6x1·x2,
即4=8(m-1),
解得m=.
∵m=<2,
∴符合条件的m的值为.
14.【解析】∵该一元二次方程有两个实数根,
∴Δ=(-2)2-4×1×a=4-4a≥0,
解得a≤1.
根据根与系数关系得x1x2=a,x1+x2=2.
∵x1x2+x1+x2>0,
∴a+2>0,
解得a>-2,
∴-2练素养
15.【解析】(1)∵关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有两个正整数根(m是正整数),∴[-3(3m-1)]2-4×(m2-1)×18=(9m-3)2-72(m2-1)=9(m-3)2≥0,设x1、x2是此方程的两个根,∴x1·x2=,∴也是正整数,∴m2-1的值为1或2或3或6或9或18.∵m为正整数,∴m=2.
(2)把m=2代入m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0,化简得a2-4a+2=0,b2-4b+2=0,分两种情况讨论:
①当a=b时,+=2;
②当a≠b时,∵a、b是方程x2-4x+2=0的两根,且(-4)2-4×2>0,∴根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=4>0,ab=2>0,
∴a>0,b>0,∴+===6.
综上所述+的值为2或6.
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