25.5 相似三角形的性质 分层作业 (含答案)2023-2024学年初中数学冀教版九年级上册

25.5　相似三角形的性质
【练基础】
必备知识1 相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比
1.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3∶1,则对应角的平分线之比为 ( )
A.9∶1 B.6∶1
C.3∶1 D.∶1
2.已知△ABC∽△DEF,若AB=6,DE=2,则△ABC与△DEF对应边上的高之比为　 .
3.如图,已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AB=10,A'B'=5,BD=6,则B'D'的长为　 .
4.课堂巩固:证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
如图,△ABC∽△A1B1C1,顶点A,B,C的对应顶点分别是　 ,△ABC和△A1B1C1的相似比为k,AD,A1D1分别是　 和　 的角平分线.
求证:=k.
(1)将题目的已知部分补充完整.
(2)请写出证明过程.
必备知识2 相似三角形周长的比等于相似比
5.若△ABC∽△A'B'C',则相似比k等于 ( )
A.A'B'∶AB
B.∠A∶∠A'
C.S△ABC∶S△A'B'C'
D.△ABC的周长∶△A'B'C'的周长
6.已知两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5,周长和为18 cm,那么这两个三角形的周长分别是　 .
必备知识3 相似三角形的面积比等于相似比的平方
7.有两个相似的三角形,已知其中一个三角形的最长边为12 cm,面积为18 cm2,而另一个三角形的最长边为16 cm,则另一个三角形的面积是 ( )
A.22 cm2 B.24 cm2
C.30 cm2 D.32 cm2
8.如果两个相似三角形的面积比为4∶9,较小三角形的周长为4,求这两个三角形的周长和.
【练能力】
9.制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是 ( )
A.360元 B.720元
C.1080元 D.2160元
10.如图,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=　 .
11.如图,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于　 (结果保留根号).
12.自主探究:如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,求AP的长.
【练素养】
13.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,连接DE,F为线段DE上一点,过点A作AG⊥DE于点G,且∠AFE=∠B.若AB=8,AF=4,AG=3.
(1)求证:△ADF∽△DEC.
(2)求线段AE的长.
参考答案
练基础
1.C　2.3∶1　3.3
4.【解析】(1)A1,B1,C1;∠BAC;∠B1A1C1.
(2)证明:∵△ABC∽△A1B1C1,
∴∠B=∠B1,∠BAC=∠B1A1C1,
∵AD,A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线,
∴∠BAD=∠B1A1D1,又∠B=∠B1,
∴△BAD∽△B1A1D1,
∴==k.
5.D　6.8 cm,10 cm　7.D
8.【解析】设较大三角形的周长为x.
∵两个相似三角形的面积比为4∶9,
∴两个相似三角形的周长比为2∶3,
∴=,
解得x=6,
∴这两个三角形的周长和为4+6=10.
练能力
9.C　10.4　11.
12.【解析】∵AB⊥BC,∴∠B=90°.
∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠B=90°,
∴∠PAD=∠PBC=90°.
设AP的长为x,则BP的长为8-x.
若AB边上存在点P,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:
①若△APD∽△BPC,则AP∶BP=AD∶BC,即x∶(8-x)=3∶4,解得x=;
②若△APD∽△BCP,则AP∶BC=AD∶BP,即x∶4=3∶(8-x),解得x=2或x=6.
∴AP=或AP=2或AP=6.
练素养
13.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠C+∠B=180°.∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C.∵AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC,∴△ADF∽△DEC.
(2)∵AE⊥BC,AG⊥DE,∴∠AEB=∠AGF=90°.又∵∠B=∠AFG,∴△ABE∽△AFG,
∴=,∴=,∴AE=6.
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