6.2.4向量的数量积 同步练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A 版（2019）必修第二册（含解析）

2023-2024学年高一下学期人教A 版必修第二册《6.2.4向量的数量积》同步练习
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，均为单位向量，，若向量与向量的夹角为θ，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则向量与夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，则＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．已知向量＝（2，2），若（+3）⊥，则在上的投影是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
5．在△ABC中，，，，则＝（　　）
A．﹣16 B．16 C．﹣9 D．9
6．已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
7．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数m＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
8．已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中：
①S有3个不同的值；
②若，则Smin与无关；
③若，则Smin与无关；
④若，，则与的夹角为．
正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．多选题（共4小题）
9.下列说法正确的是（　　）
A．对任意向量，，都有
B．若且≠，则
C．对任意向量，，，都有
D．对任意向量，都有
10．已知向量，的夹角为，，向量，且x，y∈[1，2]，则向量，夹角的余弦值可以为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2．点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点，则（　　）
A．
B．△GAB面积的最小值是
C．
D．存在最小值
12．下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．设，为非零向量，若，则
B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
C．设，， 为非零向量，则
D．若点G为△ABC的重心，则
三．填空题（共4小题）
13．已知单位向量，满足，则与的夹角为 　 　．
14．如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则 ＝　 　．
15．平面向量，，两两不共线，满足++＝，且|﹣|＝3|+|．若||＝2，则|﹣|+|﹣|的最大值为 　 　．
16．已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 　 　．
四．解答题（共6小题）
17．已知与是非零向量，，且．
（1）求与的夹角θ；
（2）求．
18．如图，在△ABC中，，D为BC的中点，AD与EF交于G点．设，．
（1）试用表示；
（2）求．
19．设，是不共线的两个向量，若，，．
（1）若m＝﹣，|，且，求与的夹角θ；
（2）若A，B，C三点共线，求m的值．
20．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设＝，＝．
（1）试用，表示；
（2）求的值．
21．已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为△ABC的重心．
（1）证明：；
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为AC，BC上的两点，，AM，BN相交于点P．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：AM⊥PN．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，均为单位向量，，若向量与向量的夹角为θ，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
解：，
则，
＝，
＝，
，
则cosθ＝．
故选：D．
2．已知，则向量与夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
解：，
则，
设向量与夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，
则1﹣2×1×1×cosθ﹣3＝﹣3，解得cosθ＝，
故．
故选：B．
3．已知向量，满足，，则＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
解：因为，，
所以．
故选：A．
4．已知向量＝（2，2），若（+3）⊥，则在上的投影是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
解：∵，，
∴，
∴，
∴在上的投影是．
故选：D．
5．在△ABC中，，，，则＝（　　）
A．﹣16 B．16 C．﹣9 D．9
解：由题意得在△ABC中，，
又，，，
则，
即，
即，
即，
故．
故选：D．
6．已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
解：由知O为BC中点，
又O为△ABC外接圆圆心，∴，
∴AB⊥AC，
∵，∴，
∴，
∴在向量上的投影为：，
∴向量在向量上的投影向量为：，
故选：D．
7．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数m＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
解：两个单位向量与的夹角为，
则，，
，，且，
则＝+（1+m）＝1+m+＝0，解得m＝﹣1．
故选：C．
8．已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中：
①S有3个不同的值；
②若，则Smin与无关；
③若，则Smin与无关；
④若，，则与的夹角为．
正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵xi，yi（i＝1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，
∴S＝xiyi可能情况有三种：
S1＝；
S2＝；
S3＝；故①正确；
∵S1﹣S2＝S2﹣S3＝，
当且仅当时所有等号成立．∴S中最小为S3．
若，则Smin＝S3＝，与||无关，故②正确；
若，则Smin＝S3＝4，与||有关，故③错误；
若||＝2||，Smin＝S3＝8cosθ+4＝8，
∴2cosθ＝1，∴θ＝，即与的夹角为，故④错误．
综上所述，命题正确的是①②．
故答案为：C．
二．多选题（共4小题）
9.下列说法正确的是（　　）
A．对任意向量，，都有
B．若且≠，则
C．对任意向量，，，都有
D．对任意向量，都有
解：根据向量数量积的定义及运算知AD正确；
由得，，，时，得不出，B错误；
不共线，时，，C错误．
故选：AD．
10．已知向量，的夹角为，，向量，且x，y∈[1，2]，则向量，夹角的余弦值可以为（　　）
A． B． C． D．
解：∵，，
∴，
∴，，
∴＝＝＝，
令，则＝，
令，由x，y∈[1，2]，得，
则，
∴，，
∴，
∴向量，夹角的余弦值可以为，．
故选：AC．
11．如图，直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2．点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点，则（　　）
A．
B．△GAB面积的最小值是
C．
D．存在最小值
解：设AB中点为F，连接CF，以D为原点，DB，DE方向分别为x，y轴建立如图所示直角坐标系：
所以A（0，2），E（0，3），
设C（m，3），B（n，0），G（x，y），m，n，x，y∈R，且m，n≠0，
所以，
因为AC⊥AB，所以，
即mn﹣2＝0，故，即，所以，
，
因为，所以，
因为，
故，选项A正确；
因为，所以，
即＝﹣2，所以G，C，F三点共线，且G为CF靠近F的三等分点，
所以＝，
当且仅当，即m＝±1时取等，所以选项B正确；
因为，所以＝，
当且仅当，即时取等，故，选项C正确：
因为，
所以＝．
因为m∈R且m≠0，所以m2＞0，记，
可知f（x）单调递增，没有最值，即没有最值，故选项D错误．
故选：ABC．
12．下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．设，为非零向量，若，则
B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
C．设，， 为非零向量，则
D．若点G为△ABC的重心，则
解：对于A，，为非零向量，若，
则，即，
故，故A正确；
对于B，设，为非零向量，若 ＞0，则，的夹角为锐角或同向共线，所以B是假命题；
对于C，设＝（1，﹣1），＝（0，1），＝（1，1），则（ ） ＝， （ ）＝﹣，所以C是假命题．
对于D，如图：
取BC的中点D，连接GD，并延长至E，使|DE|＝|GD|，则四边形BECG为平行四边形，
∴．又++＝，
∴，即G、A、D三点共线，且G为三等分点，
故G为△ABC的重心；
设G是△ABC的重心，则G是△ABC的三边中线的交点，
∴，
又﹣2＝﹣（），
∴++＝．
∴命题p成立，综上，点G为△ABC的重心，则++＝，所以D真命题；
故选：AD．
三．填空题（共4小题）
13.已知单位向量，满足，则与的夹角为 　　．
解：由于和为单位向量，
且，
故，整理得，
所以，
由于θ∈[0，π]，
故．
故答案为：．
14．如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则 ＝　4　．
解：||≥||＝|﹣|，
两边平方可得，﹣2t +t2≥﹣2 +，
设 ＝m，
则22t2﹣2tm﹣（22﹣2m）≥0，
又|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，
则判别式Δ＝4m2+4×4（4﹣2m）≤0，
化简可得（m﹣4）2≤0，
解得m＝4，
即 ＝4．
故答案为：4．
15．平面向量，，两两不共线，满足++＝，且|﹣|＝3|+|．若||＝2，则|﹣|+|﹣|的最大值为 　6　．
解：不妨设由，，，
由，可得O是△ABC 的重心，
由，
可得，
由重心的性质可得，，
不妨设∠ADB＝θ，则∠ADC＝π﹣θ，
故由余弦定理可得，
AC＝＝
所以 ，
记，
平方可得＝2+2sinθ，
由于θ∈（0，π），所以，
此时f2（θ）取最大值4，故f（θ）的最大值为2，
因此|AB|+|AC|的最大值为．
故答案为：．
16．已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 　　．
解：由题意设＝（2，0），＝（x，y），
因为|+|＝1，所以＝1，即（x+2）2+y2＝1，
所以点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，且x∈[﹣3，﹣1]．
因为λ+2μ＝1，所以＝λ+μ＝（λx，λy）+（2μ，0）＝（λx+2μ，λy）＝（λx+1﹣λ，λy），
所以＝（λx+1﹣λ）2+（λy）2＝[（x﹣1）2+y2]λ2+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1，
因为x∈[﹣3，﹣1]，所以﹣6x﹣2＞0，所以关于λ的二次函数开口向上，
当λ＝时，取得最小值，所以m2＝（﹣6x﹣2） +2（x﹣1） +1＝ ，
令y＝f（x）＝（x∈[﹣3，﹣1]），则f′（x）＝，
所以函数f（x）在[﹣3，﹣]上单调递增，在（﹣，﹣1]上单调递减，
所以f（x）的最大为f（﹣）＝＝，即m2≤×＝，
所以m的最大值为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．已知与是非零向量，，且．
（1）求与的夹角θ；
（2）求．
解：（1）根据题意，，是非零向量，⊥（﹣），
则有 （﹣）＝2﹣ ＝12﹣8cosθ＝0，解可得cosθ＝，
又由0≤θ≤π，则θ＝；
（2）由（1）的结论， ＝2＝12，
则|3﹣2|2＝92+42﹣12 ＝28，
故|3﹣2|＝2．
18．如图，在△ABC中，，D为BC的中点，AD与EF交于G点．设，．
（1）试用表示；
（2）求．
解：（1）由题意，，，
由于E，G，F三点共线，
所以，，
所以．
（2），
，
，
所以．
19．设，是不共线的两个向量，若，，．
（1）若m＝﹣，|，且，求与的夹角θ；
（2）若A，B，C三点共线，求m的值．
解：（1）若，则，
∵，又，
∴，
∴，
∴，又θ∈[0，π]，
∴与的夹角θ为；
（2）∵，，
且A，B，C三点共线，∴存在λ，使得，
即，
则，解得m＝2．
20．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设＝，＝．
（1）试用，表示；
（2）求的值．
解：（1）∵D是边BC上一点，DC＝2BD，∴＝，
又∵＝，＝，＝﹣，
∴．
（2）∵||＝||＝2，||＝||＝1，∠BAC＝120°，
∴ ＝|| ||cos∠BAC＝2×1×cos120°＝﹣1，
因此，
＝＝＝．
21．已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为△ABC的重心．
（1）证明：；
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
（1）证明：由重心的性质可知，，
则，
即．
（2）解：向量，，的模长均为2，且两两夹角为，
由（1）得，两边同时平方可得，
所以
＝，即．
22．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为AC，BC上的两点，，AM，BN相交于点P．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：AM⊥PN．
解：（Ⅰ）因为，
所以＝＝＝，
所以＝＝＝，
所以；
证明：（Ⅱ）因为，
所以＝＝，
所以＝＝＝＝0，
所以，即AM⊥BN，所以AM⊥PN．