第1章 二元一次方程组单元测试题基础卷二（含解析）

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2023-2024学年数学七年级二元一次方程组（湘教版）
单元测试 基础卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）某班有x人，分y个学习小组，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人，求全班人数及分组数，正确的方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）已知是二元一次方程的一组解，则m的值为（　）
A． B．2 C． D．
5．（本题3分）是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）若是二元一次方程的一个解，则的值是（　　）
A． B． C．2 D．6
8．（本题3分）某工厂去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为780万元，今年的总收入、总支出各是多少万元 设今年的总收入为万元，总支出为万元，可以列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）已知有理数x，y，z满足方程组，则等于（ ）
A． B．6 C． D．0.6
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）二元一次方程的非正整数解共有 组．
12．（本题3分）已知方程，用含的代数式表示，则 ．
13．（本题3分）如果，那么用含有的代数式表示得 ．
14．（本题3分）如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则小长方形的长是 ．
15．（本题3分）有3堆硬币，每枚硬币的面值相同．小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放入第3堆；最后从第3堆中取出和现存的第1堆一样多的硬币放入第1堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第1堆有 枚硬币．
16．（本题3分）已知是方程的解，则m的值为 ．
17．（本题3分）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为 ．
18．（本题3分）甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各打10发，共得208分，最后甲比乙多得64分，乙打中 发．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解下列方程组：
(1) (2)
20．（本题8分）解方程组：
(1) (2)
21．（本题10分）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
22．（本题10分）已知二元一次方程．
(1)用关于x的代数式表示y；
(2)写出此方程的正整数解．
23．（本题10分）2023年12月18日，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震某公司在得知灾情发生后，紧急购买生活物资箱，连夜运往灾区一线．现有两种运输车辆可供租用，型车可装箱，每辆车运费为元，B型车可装箱，每辆车运费为元，该公司租用了若干车辆，且每辆车正好装满，共花费元．两种车辆各租用了多少辆？
24．（本题10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车和3辆B型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
25．（本题10分）当，都是实数，且满足，就称点为完美点．
(1)判断点是否为完美点，并说明理由；
(2)已知关于，的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是完美点，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是根据由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组进行判断．
【详解】解：A．∵方程组含有三个未知数，
∴方程组不是二元一次方程组，选项A不符合题意；
B．∵方程组中方程是二次方程，
∴方程组不是二元一次方程组，选项B不符合题意；
C．方程组是二元一次方程组，选项C符合题意；
D．∵方程组中方程不是整式方程，
∴方程组不是二元一次方程组，选项D不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】此题考查了学生如何在应用题中列二元一次方程求解的能力，学生需要有清晰的思路，理清题干才能准确答题．此题为分配问题，通过设出全班人数及分组数，根据题中给出的条件列出二元一次方程求解．
【详解】解：设全班人数为x人，分了y个学习小组，
由题意得，若每组7人，余下3人，得出：，
若每组8人，不足5人，得出：，
∴可列出方程组，
故选：A．
3．D
【分析】此题考查了代入法解二元一次方程组的关键一步“代入消元”，通过这一步，使二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来解答，典型地体现了数学转化思想．将方程①代入②，然后去括号即可．
【详解】解：
把①代入②得：，
去括号得：，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于的方程是解题关键．
根据方程的解满足方程，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：由题意，得
解得，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可．
【详解】解：A、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意；
B、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
故选：A
6．D
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，将作为整体替换未知数，再去括号是解题的关键．
【详解】解：程①代入②得
去括号得：，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．根据二元一次方程组的解的定义得出得出，整体代入即可求解．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查根据实际问题中的条件列方程组，根据：①去年总产值-去年总支出=200，②今年总产值-今年总支出=780，可列方程组．
【详解】解：已知今年的总收入x万元、总支出y万元，根据题意，得
，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了二元一次方程，设绳索长x尺，竿长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺得，根据如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺得，即可得；根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是用加减消元法消掉．用加减消元法消掉即可得出答案．
【详解】解：方程组，
①②，得
，
．
故选：A
11．三
【分析】利用方程求得关于的表达式，即，再根据已知条件求解即可；
【详解】解：由题意可得：，
∴要使均为非正整数，那么可以有以下3种情况：
；
故答案是：三．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的非正整数解问题，用其中一个未知数表示另外一个会更容易判断，熟练掌握这一点是解决本题的关键．
12．/
【分析】先移项，然后将的系数化为1，含的式子表示即可．
【详解】解：移项，可得：，
系数化为1，可得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
13．
【分析】把y看做已知数求出x即可．
【详解】解：由题意可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．15
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找出等量关系是解题关键．设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，
由题意得：，解得：，
即小长方形的长是，
故答案为：15．
15．22
【分析】此题考查了列三元一次方程组和解三元一次方程组的方法．设原来第1堆有x枚硬币，第2堆有y枚硬币，第3堆有z枚硬币．根据最后每堆有16枚硬币列方程组求解．
【详解】解：设原来第1堆有x枚硬币，第2堆有y枚硬币，第3堆有z枚硬币，根据题意，得：
，
解得：．
即原来第1堆有22枚硬币．
故答案为：22
16．
【分析】本题考查了方程解的定义，将代入方程，即可求解；理解“能使方程成立的未知数的值叫做方程的解”，是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
故答案：．
17．2
【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，根据题意得出关于a的方程，即可解题．
【详解】解：将，代入，
得：，
解得：，
故答案为：2．
18．6
【分析】设甲打中x发，乙打中y发，则甲脱靶发，乙脱靶发，根据等量关系两人各打10发，共得208分，甲比乙多得64分列出二元一次方程组，解方程组求解即可．
【详解】解：设甲打中x发，乙打中y发，则甲脱靶发，乙脱靶发，
依题意得：，解得：，
即乙打中6发．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）采用加减消元法（或代入消元法）求解即可，注意检验结果的正确性．
（2）采用加减消元法求解即可，注意检验结果的正确性．
【详解】（1）解：，得
．　
，得
，
．
将代入，得
，
．
所以，这个方程组的解是
．
（2）解：，得
．　
，得
，
．
将代入，得
，
．
所以，这个方程组的解是
．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，关键在于采用消元思想，消去二元一次方程组中的一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
20．(1)
(2)
【分析】（1）采用加减消元法解二元一次方程组即可得到答案．
（2）采用加减消元法解二元一次方程组即可得到答案．
【详解】（1）
，得
．
，得
．
解得
．
将代入方程，得
．
所以．
（2）
，得
．
，得
．
解得
．
将代入方程，得
．
解得
．
所以．
【点睛】本题主要考查采用加减消元法解二元一次方程组（通过把两个方程相加或相减消去一个未知数，从而转化为解一元一次方程，方程组的这种解法叫做加减消元法），熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
21．0
【分析】因为甲看错了方程①中的a，而方程②中的b没有看错，所以满足方程，将代入可求，同理乙看错了方程②中的b，而方程①中的没有看错，所以满足方程，将代入可求，最后将、代入求解即可．
【详解】解：将代入方程中得：，即；
将代入方程中的得：，即，.
将，代入，
则．
【点睛】本题考查解二元一次方程组的错看问题，掌握方程组的解为使方程组中两个方程同时成立的未知数的值是解题的关键．
22．(1)；
(2)，，．
【分析】此题考查的是二元一次方程的解，能够用一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键．
（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得；
（2）取，，，再分别得到y的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
（2）∵，
当时，；
当时，；
当时，；
∴正整数解为，，．
23．租用了辆型车，租用了辆B型车
【详解】解：设租用了辆型车，租用了辆B型车，
由题意得：，
解得：
∴ 租用了辆型车，租用了辆B型车
24．、两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元
【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设、两种型号的汽车进价为万元和万元，列出方程，即可．
【详解】设、两种型号的汽车进价为万元和万元，
∴，
解得：．
答：、两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元．
25．(1)不是完美点，理由见解析
(2)当时，点是完美点，理由见解析
【分析】本题考查新定义，点的坐标，二元一次方程组．
（1）根据完美点的定义判断即可；
（2）用含m的式子表示x，y，进而表示出a，b，再根据可得方程，求解即可．
【详解】（1）由，可得，
由，可得，
∵，
∴不是完美点；
（2）∵，
∴
由，可得，
由，可得，
∵，
∴，
解得：
∴当时，点是完美点．
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