高二学业水平阶段性检测二
数学试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定方程直接求出焦点坐标即得.
【详解】抛物线的焦点在y轴的正半轴上，坐标为.
故选：D
2. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算即得.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
所以点到双曲线的一条渐近线的距离.
故选：A
3. 某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，男教师最少为1人的选法种数为（ ）
A. 45 B. 50 C. 55 D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用排除法，结合组合应用问题列式计算即得.
【详解】依题意，从8人中任选3人，有种方法，其中没有男教师的选法有种，
所以抽取的3人中，男教师最少为1人的选法种数为.
故选：C
4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 54
【答案】C
【解析】
【分析】根据下标和性质及等差数列前项和公式计算可得.
【详解】等差数列中，
所以.
故选：C
5. 设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.
【详解】抛物线的焦点，准线，
过点作于，垂直于直线于点，显然，
点到直线的距离，
则，
当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号，
所以的最小值为2.
故选：B
6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A. 24种 B. 54种 C. 96种 D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分2种情况讨论：
①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，
②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，
分2种情况讨论：
①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：B．
7. 已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线，过的直线垂直于轴时，，双曲线两个顶点的距离为，即可得出结论.
【详解】双曲线，过的直线垂直于轴时，
；
双曲线两个顶点的距离为，
满足的直线有条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.
故选：C
【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了通径的求法，属于基础题.
8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，
直线方程为：，即，
由，消去得，解得或，由，得，
于是，，
而，
所以的周长为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（ ）
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为
C. 双曲线的焦距为 D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，分析方程，得出，进而求出双曲线的离心率即可；选项B，将双曲线方程化为，反解，求出双曲线的渐近线方程即可；选线C，得出后，求出的值，即可判断；选项D，求出双曲线的一个焦点坐标，设出点的坐标，用两点间距离公式求即可.
详解】对于选项A，双曲线中，，得，故A不正确；
对于选项B，双曲线，化为形式，反解，得出其渐近线方程为，故选项B正确；
对于选项C，因为，可得双曲线的焦距为，故选项C正确；
对于选项D，为双曲线的焦点，不妨取，设，，
其中，得：（其中），
当且仅当时取得最小值，最小值为，故D不正确.
故选：BC.
10. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，可得，再逐项分析判断即得.
【详解】由，得，A正确；
等差数列的公差，B正确；
显然，因此，C错误；
，D正确.
故选：ABD
11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B.
C. 第2020行的第1010个数最大
D. 第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A，利用组合数公式判断B，分析各行数据的特征，即可判断C，求出第行中从左到右第个数与第个数，即可判断D.
【详解】对于A：第行，第行，第行第个数字分别为：，，，其和为；
而第行第个数字就是，故A正确；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：由图可知：第行有个数字，
如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第行的第个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为，
所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确；
故答案为：ABD.
12. 抛物线的焦点为，若是抛物线上任意一点，直线的倾斜角为，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的轨迹方程为
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 在轴上不存在点，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，然后逐项分析、计算作答.
【详解】抛物线的焦点为，准线，
对于A，设点，则点，而P是抛物线C上任意一点，于是得，
即，于是点M的轨迹方程为，A正确；
对于B，直线的方程为：，由消去y并整理得，
解得，，则或， B错误；
对于C，设点，则，当且仅当时取等号，即的最小值为，C正确；
对于D，由点M的轨迹方程为，设，，
则，，
因此为锐角，即在轴上不存在点，使得，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4-小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分．
13. 数列是等比数列，且前项和为，则实数___________．
【答案】
【解析】
【分析】由作差求出的通项，再由是等比数列，求出.
【详解】因为，当时，
当时，所以，
则，
又数列是等比数列，所以，解得.
故答案为：
14. 的展开式中的系数为___________．（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】由，写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数.
【详解】因为，
其中展开式的通项为（且），
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
15. 古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，求出的值即可得解.
【详解】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，
由圆锥的底面直径为2，侧面积为，得，
显然，即，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
16. 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯组建的学派，他们长把沙滩上的沙粒或者小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究，如图，图形中的圆点数分别是1、5、12、22…，以此类推，第五个图形对应的圆点数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，探求相邻两个图形对应圆点数的变化规律求解即得.
【详解】依题意，由第一、二、三、四个图形的圆点数知，后面图形比相邻前一个图形多的圆点数依次为4，7，10，
从第二个图形起，多的圆点数构成以4为首项，3为公差的等差数列，因此第五个图形的圆点数比第四个图形多13个，
所以第五个图形对应的圆点数为.
故答案为：35
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
【答案】（1）7； （2）702.
【解析】
【分析】（1）求出第三、第四项的系数，再列式计算即得.
（2）由（1）的结论，求出展开式的有理项的系数即可计算得解.
【小问1详解】
依题意，展开式的通项公式，
显然第三项系数为，第四项系数为，
因此，解得，
所以的值为7.
【小问2详解】
由（1）知，当时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为
当时，展开式中对应的有理项为
所以展开式中有理项的系数之和为．
18. 已知等差数列是单调递增数列，，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差即可求解.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得.
小问1详解】
设等差数列的公差为，由是单调递增数列，得，
由，且成等比数列，得，解得，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）得，
所以数列的前项和
.
19. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为．
（1）求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程．
（2）斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出，进而求出其右焦点即可得解.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点的坐标即可.
【小问1详解】
依题意，双曲线渐近线方程为：，于是，解得，
因此双曲线的标准方程为：，其右焦点为，则，解得，
所以抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
设的方程为：，则，
由消去得：，则，，
由，得，则，满足，
因此，，，
所以．
20. 某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、．
（1）写出一个递推公式来表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数．
（3）求其前项和的值．（精确到，其中）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题设条件可得出的值，以及数列的递推公式；
（2）由及（1）中的递推公式可求出、的值，即可得出结果；
（3）分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的值.
【小问1详解】
解：由题意，得，
第年年初的计划存栏数是在第年年初的计划存栏数的基础上增长，再减去，
则.
小问2详解】
解：将化成，
对比，可得，解得，
所以，（1）中的递推公式可表示为.
【小问3详解】
解：由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，则，
所以，
.
21. 已知正项数列的首项，前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，利用等差数列通项公式求出，再求出数列的通项.
（2）由（1）的结论求出，利用错位相减法求和即得.
【小问1详解】
由，得，
则，而，因此是首项为1，公差为1的等差数列，
于是，即，当时，，满足上式，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
由（1）知，，
则，
于是
两式相减得：
，
所以数列的前项和.
22. 已知双曲线过点，左右焦点分别为，且．
（1）求的标准方程．
（2）设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，点，该常数为56
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出实轴长即可求出双曲线方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得.
【小问1详解】
依题意，双曲线半焦距，
，则，
所以的方程为.
【小问2详解】
依题意，直线的斜率存在，设的方程为，
由，消去得，显然，
且，得且，则，
设存在符合条件的定点，则，
因此
要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56，
所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．高二学业水平阶段性检测二
数学试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
3. 某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，男教师最少为1人的选法种数为（ ）
A. 45 B. 50 C. 55 D. 40
4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 54
5. 设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 5
6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A. 24种 B. 54种 C. 96种 D. 120种
7. 已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（ ）
A. 双曲线离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为
C. 双曲线焦距为 D. 的最小值为
10. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B.
C. 第2020行第1010个数最大
D. 第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
12. 抛物线的焦点为，若是抛物线上任意一点，直线的倾斜角为，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的轨迹方程为
B. 若，则
C. 最小值为
D. 在轴上不存在点，使得
三、填空题：本题共4-小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分．
13. 数列是等比数列，且前项和为，则实数___________．
14. 的展开式中的系数为___________．（用数字作答）．
15. 古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为___________．
16. 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯组建的学派，他们长把沙滩上的沙粒或者小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究，如图，图形中的圆点数分别是1、5、12、22…，以此类推，第五个图形对应的圆点数为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
18. 已知等差数列是单调递增数列，，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为．
（1）求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程．
（2）斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求．
20. 某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为、、、．
（1）写出一个递推公式来表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中、为常数．
（3）求其前项和的值．（精确到，其中）
21. 已知正项数列的首项，前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
22. 已知双曲线过点，左右焦点分别为，且．
（1）求标准方程．
（2）设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．
