宁夏回族自治区平罗中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学（重点班）试卷（含解析）

平罗中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学（重点班）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．点关于平面yOz对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2．若直线和直线平行,则( )
A.或 B.或
C. D.
3．圆与圆的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
4．“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》,其意思为“一根一尺长的木棰,每天截取其一半,永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下尺,第二天被截取剩下的一半剩下尺,…,第五天被截取剩下的一半剩下尺,则( )
A.18 B.20 C.22 D.24
5．一束光线从点射到x轴上,经反射后反射光线与y轴交于点,则反射光线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
6．用数学归纳法证明时,从到,不等式左边需添加的项是( )
A. B.
C. D.
7．如图,在平行六面体中,E为的中点,若则( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
8．已知双曲线的离心率为2,左、右焦点分别为,,到渐近线的距离为3,过的直线轴,与双曲线C的右支交于A,B两点,则的面积为( )
A.9 B.24 C.36 D.72
二、多项选择题
9．已知直线,则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是
B.点到直线l的距离是2
C.若直线,则
D.过与直线l平行的直线方程是
10．数列的前n项和为,已知,则下列说法正确的是( )
A.是递增数列 B.
C.当时, D.当或4时,取得最大值
11．如图,在直三棱柱中,,,D,E,F分别是AC,,AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.EF与所成的角为 B.点F到直线的距离为
C.与平面DEF所成角为 D.点到平面DEF的距离为
12．已知椭圆的左右焦点分别为,,点P是椭圆上的一个动点,则以下说法正确的是( )
A.的周长为6
B.若,则的面积为
C.椭圆C上存在两个点,使得
D.的最小值为
三、填空题
13．椭圆上一点M到左焦点的距离为6,则M到右焦点的距离为___________.
14．已知等差数列的前n项和为,若与是方程的两个实根,则____________.
15．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为3,则弦AB的长____________
16．若数列满足,,,则数列的前61项和为____________.
四、解答题
17．圆C的圆心为,且过点.
（1）求圆C的标准方程;
（2）直线与圆C交M,N两点,且,求k.
18．已知是公比不为-1的等比数列,,且．
（1）求的通项公式;
（2）设,,证明：．
19．在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题．已知数列的前n项和为,,且满足________．
（1）求;
（2）若,求数列的前n项和．
20．已知抛物线的焦点为F,过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A、B两点,O为坐标原点,的面积为2.
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）若直线l与抛物线C交于P,Q两点,是线段PQ的中点,求直线l的方程.
21．如图1,已知四边形CDEF为直角梯形,,,,M为CF的中点．将沿DM折起,使得点C与点A重合,如图2,且平面平面DEFM,N,Q,H,P分别为AF,DM,DE,AE的中点．
（1）求证：平面平面EMN;
（2）求二面角的余弦值．
22．已知椭圆的左、右焦点为,,若E上任意一点到两焦点的距离之和为4,且点在E上.
（1）求椭圆E的方程;
（2）在（1）的条件下,若点A,B在E上,且(O为坐标原点),分别延长AO,BO交E于C,D两点,则四边形ABCD的面积是否为定值？若为定值,求四边形ABCD的面积,若不为定值,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：由空间直角坐标系的性质可知,
点关于平面yOz对称的点的坐标是.
故选：A.
2．答案：C
解析：直线和直线平行,
,解得或,
当时,两条直线重合;
当时,两条直线平行
综上,.
故选：C.
3．答案：D
解析：圆的圆心坐标为,半径,
圆的圆心坐标为,半径,
因为,所以圆与圆内切.
故选：D.
4．答案：D
解析：设这根木棰总长为1,每天截取其一半,剩下的部分记为,
则{}构成,公比的等比数列,
所以,,
所以
故选：D.
5．答案：B
解析：取点关于x轴的对称点,则直线NA即为所求直线,
所以反射光线所在直线的方程为,解得.
故选：B.
6．答案：B
解析：不等式左边需添加的项是
.
故选：B.
7．答案：B
解析：由空间向量的线性运算法则,
可得：
,
因为,所以,,.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题知,设双曲线的焦距为,则,解得,
双曲线,,．
将代入,解得,,
的面积为．
故选：C．
9．答案：BD
解析：对于A,直线,即,
则其斜率,则其倾斜角是,故A错误;
对于B,点到直线l的距离为,故B正确;
对于C,直线,即,其斜率,
而,故直线m与直线l不垂直,故C错误;
对于D,依题意,设所求直线的方程为,
将代入,得,故,
则所求直线为,故D正确.
故选：BD.
10．答案：CD
解析：当时,,
又,所以,则是递减数列,故A错误;
,故B错误;
当时,,故C正确;
因为的对称轴为,开口向下,而n是正整数,且或4距离对称轴一样远,
所以当或4时,取得最大值,故D正确.
故选：CD.
11．答案：ABD
解析：由题意可知CA,CB,两两垂直,故以C为坐标原点,CA,CB,所在直线为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,,
对于A,,
则,即,
则EF与所成的角为,A正确;
对于B,,,
则,
故点F到直线的距离为,B正确;
对于C,,,
设平面DEF的一个法向量为,
则,令,则,
设与平面DEF所成角为,其范围为大于等于小于等于,
故,故,C错误;
对于D,,平面DEF的一个法向量为,
则点到平面DEF的距离为,D正确,
故选：ABD.
12．答案：ABD
解析：由椭圆,得,,则,
所以,
因为点P是椭圆上的一个动点,所以,
对于A,的周长为,故A正确;
对于B,在中,由余弦定理得,
,
即,则,
所以,
所以的面积为,故B正确;
对于C,当点P位于椭圆得上下顶点时,最大,
当点P位于椭圆得上下顶点时,,
此时为等边三角形,故的最大值为,
所以椭圆C上不存点P,使得,故C错误;
对于D,因为,
所以
,
当且仅当,即时,取等号,
经检验符合题意,所以的最小值为,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：2
解析：由可得,所以,
由椭圆的定义可得,
所以,
故答案为：2.
14．答案：66
解析：因为与是方程的两个实根,
所以,
所以.
故答案为：66.
15．答案：8
解析：由题设知线段AB的中点到准线的距离为4,
设A,B两点到准线的距离分别为,,
由抛物线的定义知：．
故答案为：8.
16．答案：-419
解析：,即,
又,所以数列是各项均为1的常数数列,
所以.
又,
所以.
所以数列的前61项和为.
故答案为：-419.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设圆的半径为r,则,
故圆的标准方程为：;
（2）设圆心到直线的距离为d,
则,
由垂径定理得：,
即,解得：或.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为是等比数列,设公比为,
由题意得,
解得,
所以．
（2）由（1）得因为,
所以,
所以,
因为,
所以,
从而．
19．答案：（1）
（2）
（1）若选①,因为,
当时,,两式相减得,
又,所以,
故也满足,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,
故.
若选②,因为,
所以
,得：,
故.
（2）由（1）知,
则,①
,②
①与②两式相减得
,
故.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可得,代入抛物线方程得,,
,
的面积,
,
所求抛物线C的标准方程为;
（2）易知直线l不与x轴垂直,设所求方程为：,
设,,由P,Q在抛物线C上得：,
两式相减化简得：,
又,,代入上式解得：.
故所求直线l的方程为：.
即.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明： Q,H分别是DM,DE的中点, ．
平面EMN,平面EMN, 平面EMN．
如图,连接PN, N,P分别是AF,AE的中点, 且．
易知且,
Q是DM的中点, ,,
,,
四边形QMNP为平行四边形,
．
平面EMN,平面EMN, 平面EMN．
,平面PQH,平面PQH,
平面平面EMN.
（2）由(1)知,又,, ,,
平面平面DEFM,平面平面,平面ADM,
平面DEFM．
以M为坐标原点,MD,MF,MA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示：设,则,,,,
,,, ,,,
设平面PQH的一个法向量为,
则,令,则,,
是平面PQH的一个法向量．
设平面PHD的法向量为,
则,则,
令,则, 是平面PHD的一个法向量．
,
结合图象易知二面角为锐二面角,故二面角的余弦值为．
22．答案：（1）
（2）四边形ABCD的面积为定值,理由见解析.
解析：（1）因为E上任意一点到两焦点的距离之和为4,
所以,即.
又因为点在E上,
所以,则,
故椭圆E的方程为 .
（2）四边形ABCD的面积为定值,理由如下：
当直线AB斜率为0时,因为,
不妨设,则,
则,,
此时四边形ABCD的面积为为定值;
当直线AB斜率不为0时,设,且,.
联立,得.
由,得,
则,,
则
,
因为,
所以,即,即,
则,
又原点O到的距离,
所以四边形ABCD的面积
,
综上,所以四边形ABCD的面积为定值4.