(共9张PPT)
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第1课时
1. 矩形的定义
有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
2. 矩形的性质定理
（1）矩形的四个角都是 .
（2）矩形的对角线 .
3. 对称性：矩形是 图形，有 条对称轴.
4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
直角
直角
相等
轴对称
两
一半
B
1. 矩形具有而菱形不具有的性质是 （ ）
A． 两组对边分别平行 B． 对角线相等
C． 对角线互相平分 D． 两组对角分别相等
2. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M，C两点间的距离为( )
A. 1.2 km B. 2.4 km C. 3.6 km D.4.8 km
B
3. 下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 .（填序号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是直角；⑥轴对称图形.
4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是 ．
5. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB=OA=4 cm，求BD与AD的长度.
④⑤⑥
C
B
3. 如图,矩形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,∠AOB=120°,BC=1,则AC= .
4. 已知在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= .
5. 矩形的两边长分别为10厘米和15厘米，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为 厘米和 厘米.
2
55°
10
5
【提升训练】
6. 如图，广场上布置矩形花坛，计划用几盆花摆成两条对角线，如果一条对角线用了20盆花，还需要运来 盆花，如果一条对角线用了25盆花，还需要运来 盆花．
7. 如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF垂直于CE交AB于点F，若DE=2，矩形ABCD的周长为16，且CE=EF，求AE的长.
19
24
AE=3.
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，若将矩形折叠，使点D与点B重合，那么折痕EF的长度是多少？
EF=15/4
【拓展训练】
9. 如图，长方形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以2 cm/s的速度从点D运动到点A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当t的值为多少时，△APQ的面积为2 cm2.(共7张PPT)
第一章 特殊平行四边形
章末整合
【知识导图】
【体验中考】
C
1. 如图，菱形ABCD 的对角线AC与BD 相交于点O,
E 为AD 的中点,连接OE,∠ABC=60°,BD=43,则OE=（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
2. 如图,矩形ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与CD 的交点为E,当水杯底面 BC 与水平面的夹角为27°时,∠AED 的大小为（ ）
A.27°
B.53°
C.57°
D.63°
D
C
C
3. 如图,在正方形ABCD 中,AE 平分∠BAC 交BC 于点E,点F是边AB 上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF 的度数为（ ）
A. 45° B.60° C. 67.5° D.77.5°
4. 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,点E 为CD 的中点.若OE=3,则菱形ABCD 的周长为（ ）
A.6 B.12 C. 24 D.48
第3题图
第4题图
5. 如图①,在菱形ABCD 中,∠A=60°,动点P 从点A 出发,沿折线AD→DC→CB 方向匀速运动,运动到点B 停止.设点P 的运动路程为x,△APB 的面积为y,y 与x 的函数图象如图②所示,则AB 的长为( )
A. B. C. D.
B
6. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A = ∠B =90°,AD=10cm,BC=8cm,点P 从点D
出发,以1cm/s的速度向点A 运动,点 M从点B 同时出发,以相同的速度向点C 运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P 的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是 ( )
D
7. 如图,在 ABCD 中,AC,BD 交于点O,点E,F 在AC 上,AE=CF.
(1)求证:四边形EBFD 是平行四边形;
(2)若 ∠BAC = ∠DAC,求 证:四 边 形EBFD 是菱形.(共10张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第3课时
若菱形的两条对角线的长分别是a，b，则菱形的面积等于 .
1. 下列关于某个四边形的三个结论：①对角线互相平分；②是一个菱形；③是一个平行四边形.下列推理过程正确的是( )
A. 由②推出③，由③推出①
B. 由①推出②，由②推出③
C. 由③推出①，由①推出②
D. 由①推出③，由③推出②
A
2. 如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中
点，连接EG，FH，且EG，FH交于点O，则图中共有菱形（ ）
A． 4个B． 5个
C． 6个D． 7个
3. 若菱形的两条对角线长分别是16 cm和12 cm，则它的边长为 ，面积为 .
4. 如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线
AC上任意一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于点
E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 .
B
10 cm
96 cm2
2.5
5. 如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，
F，且BE＝DF．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面积．
【基础训练】
1. 如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD，连接AC，BC，AD，BD，则这四条线段的大小关系是（ ）
A． 全相等 B． 互不相等
C． 只有两条相等 D． 不能确定
A
C
30°
4. 如图，菱形ABCD的周长为12 cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是 cm.
5. 如图所示，学校有一处花坛是由两个一样的菱形图案组成的，小颖沿其中一个的边缘走完一周用了24s，而她从A到B用相同的速度直线行走用了6s.求∠1的度数.
60°
【提升训练】
6. 如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B，D分别在平面直角坐标系的y轴，x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ．
7. 如图所示，AD∥FE，点B，C在AD上，∠1=∠2，BF=BC．
（1）求证：四边形BCEF是菱形；
（2）若AB=BC=CD，求证：△ACF≌△BDE．
证明:（1）∵AD∥FE，∴∠FEB=∠2.
∵∠1=∠2，∴∠FEB=∠1.∴EF=BF.
∵BF=BC，∴BC=EF.
又∵BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形.
∵BF=BC，∴四边形BCEF是菱形.
（2）∵EF=BC，AB=BC=CD，AD∥EF，
∴四边形ABEF，CDEF均为平行四边形.
∴AF=BE，FC=ED.
∵AC=2BC=BD，∴△ACF≌△BDE（SSS）.
【拓展训练】
8. 如图，在△ABC中，P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
（1）求证:PE=PF;
（2）当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是
菱形吗 请说明理由.
（1）证明:∵CE平分∠BCA，∴∠BCE=∠PCE.
∵MN∥BC，∴∠PEC=∠BCE. ∴∠PEC=∠PCE.∴PE=PC.
同理可证PC=PF.∴PE=PF.
（2）解：四边形BCFE不可能是菱形.理由如下:
若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC. 由（1）,可得FC⊥EC.
∵在平面内过同一点F不可能有两条直线垂直于同一条直线，
∴BF⊥EC不能成立. ∴四边形BCFE不可能是菱形.(共11张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时
1. 菱形的定义
有 的平行四边形叫做菱形.
2. 菱形的性质定理
（1）菱形的四条边 .
（2）菱形的 互相垂直.
3. 对称性：菱形是 图形，有 条对称轴.
一组邻边相等
相等
对角线
轴对称
两
1. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
2. 如图，菱形ABCD的周长是 4 cm，∠ABC＝60°，
那么这个菱形的对角线AC的长是( )
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
C
A
3. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的边长为 .
4. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，
则△ABC的周长为 .
5. 如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．
求证：AE＝CF．
5
15
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF中，∠AED=∠CFD，∠A=∠C，AD=CD，
∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF．
【基础训练】
1. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，如图1所示，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20 cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为( )
A. 20 cm B. 30 cm C. 40 cm D. 20√2 cm
D
A
B
4. 已知菱形的两条对角线长分别为8 cm和6 cm，那么这个菱形的周长是 ．
5. 如图，已知在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，在△AOB中，AB=13，OA=12，求菱形ABCD两对边的距离h.
20 cm
【提升训练】
6. 如图,在菱形ABCD 中,AB=5,AC=6,则该菱形的面积是 ．
7. 如图，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
24
8. （2020·福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的
边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．
【拓展训练】
9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD，BC分别交于点M和点N.
(1)请判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长.(共15张PPT)
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第3课时
1. 有一个角是 的平行四边形是矩形.
2. 矩形的性质定理
（1）矩形具有平行四边形的 性质.
（2）矩形的四个角都是 .
（3）矩形的对角线 .
3. 矩形的判定定理
（1）有一个角是 的 是矩形.
（2）有三个角是 的 是矩形.
（3）对角线 的平行四边形是矩形.
4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
直角
所有
直角
相等
直角
平行四边形
直角
四边形
相等
一半
A
1. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为( )
A. 35° B. 40°
C. 45° D. 50°
2. 下列说法错误的是 （ ）
A. 平行四边形有可能是矩形
B. 矩形一定是平行四边形
C. 不是平行四边形的图形一定不是矩形
D. 不是矩形的图形一定不是平行四边形
D
AC⊥BD
3. 顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，可以添加的一个条件是 .
4. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ．
10
5. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，连接OE，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD=45°.
∵∠CAE=15°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60°.
∴△AOB为等边三角形.∴OB=AB，∠ABO=60°.
∴∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°.
∵∠BAE=45°，∴∠BEA=45°.∴AB=BE.∴OB=BE.
∴∠BOE=1/2（180°-∠OBE）=1/2×（180°-30°）=75°.
B
A
3. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为 （ ）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为 cm．
5. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10.设AE=x，则x的取值范围是 .
C
9
2≤x≤6
【提升训练】
6. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若P是EF的中点，则CP的最小值是 .
1.2
7. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,
8. 如图，在△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC＝12AB．
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）请对△ABC添加一个条件：__，使得四边形AECD成为矩形，并进行证明．
（3）请对△ABC添加一个条件：__，使得四边形BCDE成为菱形，并进行证明．
（1）证明：∵CD＝12AB，E为AB的中点，∴CD＝BE＝AE，
又∵CD∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，AD∥CE，∴∠BEC＝∠BAD，
∴△BEC≌△EAD（SAS）.
（2）解：添加一个条件为BC＝AC，可使得四边形AECD成为矩形，证明如下：
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
又∵BC＝AC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形.
（3）解：添加一个条件为AB＝2BC，可使得四边形BCDE成为菱形，证明如下：
由（1）得：CD＝BE且CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形，
∵E为AB的中点，∴AB＝2BE，∵AB＝2BC，
∴BE＝BC，∴平行四边形BCDE是菱形．
【拓展训练】
9. 如图，在?ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.
（1）求证：四边形EFNM是矩形；
（2）已知：AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.
(1)证明：过点E,F分别作AD,BC的垂线，垂足分别是G,H.
∵∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥AD,EM⊥CD,EM′⊥AB,
∴EG=ME,EG=EM′.∴EG=ME=EM′=12MM′.
同理可证：FH=NF=N′F=12NN′.
∵CD∥AB,MM′⊥CD,NN′⊥CD.
∴MM′=NN′.
∴ME=NF=EG=FH.
又∵MM′∥NN′,MM′⊥CD.
∴四边形EFNM是矩形.
在Rt△GEA和Rt△CNF中，∠2=∠5,
∠EGA=∠FNC=90°,
GE=NF,
∴△GEA≌△NFC(AAS).∴AG=CN.
在Rt△DME和Rt△DGE中，
∵DE=DE,ME=EG,∴△DME≌△DGE(HL).
∴DG=DM,∴DM+CN=DG+AG=AD=5.
∴MN=CD-DM-CN=9-5=4.
∵四边形EFNM是矩形，∴EF=MN=4.(共12张PPT)
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第2课时
矩形的判定方法
（1）有一个角是 的 是矩形.
（2）有三个角是 的 是矩形.
（3）对角线 的平行四边形是矩形.
直角
平行四边形
直角
四边形
相等
B
1. （2020·十堰）已知平行四边形ABCD，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测．检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最具有说服力的是（ ）
A． 甲量得窗框两组对边分别相等
B． 乙量得窗框对角线相等
C． 丙量得窗框的一组邻边相等
D． 丁量得窗框的两组对边分别相等，且两条对角线也相等
D
AC=BD（答案不唯一）
3. 已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 .
4. 如图，在?ABCD中，四内角平分线相交于点E，F，G，H.四边形EFGH的形状是 .
矩形
5. 如图，在?ABCD中，BE⊥CD，E为垂足，AF＝CE，求证：四边形BEDF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，∴FB＝ED．∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°．∴四边形BEDF是矩形．
【基础训练】
1. 下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． 有一个角为90°的平行四边形 B． 四个角都相等的四边形
C． 对角线相等的平行四边形 D． 对角线互相平分的四边形
2. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）
A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量其中三个角是否都为直角
D
D
3. 在?ABCD（对角线AC与BD相交于点O）中添加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则添加的条件是（ ）
A. AO=OC，OB=OD B. AB=BC
C. ∠A+∠C=180° D. AB=AC
4. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为30厘米，宽为16厘米，对角线为34厘米，这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
5. 延长等腰三角形ABC的腰BA到点D，CA到点E，分别使AD=AB，AE=AC，则四边形BCDE是 ，依据是 .
C
合格
矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【提升训练】
6. 在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形.则可以选择的条件是 ．（填序号）
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E是AD的中点，点F,G在AB上，且EF⊥AB于点F，OG∥EF.求证：四边形OEFG是矩形．
①③④
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形．
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E是AD的中点，点F,G在AB上，且EF⊥AB于点F，OG∥EF.求证：四边形OEFG是矩形．
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB，BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，AB=AC，∠B=∠EAC，BD=AE，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形.
解：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，
∵D为BC中点，∴BD＝CD，
∴AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC,AB=DE,∴AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形，
即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．
【拓展训练】
9. 如图，已知在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.
（1）∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO.
又∠BCE=∠ECO，∴∠OEC=∠OCE.∴OE=OC.
同理可证OC=OF.∴OE=OF.
（2）当O为AC的中点时，四边形AECF为矩形.证明如下：
∵OE=OF(已证)，OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵CE，CF为△ABC内、外角的平分线，
∴∠ECF=90°.∴四边形AECF为矩形.(共14张PPT)
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第2课时
1. 正方形的判定定理
（1）对角线相等的 是正方形.
（2）对角线垂直的 是正方形.
（3）有一个角是直角的 是正方形.
2. 中点四边形的形状
（1）以四边形各边的中点为顶点可以组成一个 .
（2）以菱形各边的中点为顶点可以组成一个 .
（3）以矩形各边的中点为顶点可以组成一个 .
（4）以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个 .
（5）以正方形各边的中点为顶点可以组成一个 .
菱形
矩形
菱形
平行四边形
矩形
菱形
平行四边形
正方形
B
1. （2020·眉山）下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2. （2020·襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A. OA＝OC，OB＝OD
B. 当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
B
AC=BD(或∠BAD=90°).
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）.
4. 如图，正方形ABCD的周长为16 cm，依次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的形状是 ，四边形EFGH的周长等于 cm，四边形EFGH的面积等于 cm .
正方形
8
5. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F，G，H分别在OA，OB，OC，OD上，且AE＝BF＝CG＝DH，求证：四边形EFGH是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH，EG⊥FH，
∴四边形EFGH是正方形．
【基础训练】
1. 下列对正方形的描述错误的是( )
A. 正方形的四个角都是直角 B. 正方形的对角线互相垂直
C. 对角线相等的平行四边形 是正方形 D. 邻边相等的矩形是正方形
2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线
EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不
能证明四边形BECF为正方形的是（ ）
A． BC=AC B． CF⊥BF
C． BD=DF D． AC=BF
C
D
3. 顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点所得的四边形是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与边AD上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 .
D
有一组邻边相等的矩形是正方形
20
40
1
7. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AC=BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH为正方形.
8. 如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME垂直于AC，MF垂直于AD，垂足分别为E，F.
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形.
证明：（1）∵AB是CD的垂直平分线，∴AC=AD.
又∵AB⊥CD，∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）.
（2）∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD=90°,
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°,∴四边形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB,ME⊥AC,MF⊥AD，
∴ME=MF.∴矩形AEMF是正方形.
【拓展训练】
9. 如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC.
∵M是边AD的中点，∴MA＝MD.
∴△ABM≌△DCM（SAS）.
（2）解：四边形MENF是菱形.证明如下：
∵F，N分别是边MC，BC的中点，
∴CF＝FM，CN＝NB.∴FN∥MB.
同理可得EN∥MC.∴四边形MENF为平行四边形.
又∵△ABM≌△DCM，∴MB=MC.
∵E，F分别是线段BM，CM的中点，
∴ME=12MB，MF=12MC.∴ME=MF.
∴平行四边形MENF是菱形.
10. 在正方形ABCD中，P是CD上一动点，连接PA，过点B，D分别作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F，如图①.
（1）请探索BE，DF，EF这三条线段长度有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论.
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明.
解：（1)图①的结论是BE=EF+DF；
图②的结论是DF=BE+EF；图③的结论是EF=DF+BE.
（2)对于图①，证明如下：
∵DF⊥AP，∴∠DAF+∠ADF=90°.
∵∠DAF+∠BAE=90°，∴∠ADF=∠BAE.
∵BE⊥AP，DF⊥PA，∴∠AEB=∠AFD=90°.
在正方形ABCD中，AB=AD，∴△ABE≌△DAF .
∴BE=AF，AE=DF.∵AF=AE+EF，∴BE=DF+EF.(共15张PPT)
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第1课时
1. 正方形的定义
有一组 相等，并且有一个角是 的 叫做正方形.
2. 正方形既具有 的性质，又具有 的性质.
3. 正方形的性质定理
（1）正方形的四个角都是 ，四条边都 .
（2）正方形的对角线 且互相 .
4. 对称性：正方形是 图形，有 条对称轴.
邻边
直角
平行四边形
矩形
菱形
直角
相等
相等
垂直平分
轴对称
四
C
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ）
A. 对角线互相垂直平分
B. 每条对角线平分一组对角
C. 对角线相等
D. 四条边相等
2. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
D
15°
3. 如图，已知四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED= .
4. 如图，已知正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2.
8
5. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且△AEF是等边三角形.求证：CE＝CF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，
∵△AEF是等边三角形，∴AF＝AE，
在Rt△ADF和Rt△ABE中，AD=AB,
AF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL），
∴DF＝BE，∴CE＝CF．
【基础训练】
1. 如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为（ ）
A. 135° B. 45°
C. 22.5° D. 30°
C
A
B
4. 如图，在正方形ABCD中，F是CD上的一点，BF与AC交于点E.若∠CBF=20°，则∠AED= .
5. 如图，P为边长为1的正方形ABCD内的一点，△PAB为等边三角形，则S△ADP+S△BPC = .
65°
0.5
【提升训练】
6. 如图,正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,∠ACB 的平分线分别交AB,BD 于M,N 两点,若 BM = √2,则 正 方 形ABCD 的边长为 ．
2+√2
7. 如图，已知在正方形ABCD中，E是边CD上的一点，F为BC延长线上的一点，CE=CF.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°.
在△BCE和△DCF中，
BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，CE=CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS）.
（2）解：∠EFD=15°.
8. （2020·呼和浩特）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与点B，C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF-BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置；如不可能，请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠AED＝90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AE＝BF，
∴AF-BF＝AF-AE＝EF.
（2）解：不可能.理由如下：
如图，若要四边形BFDE是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与点C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．
【拓展训练】
9. 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE,PE交CD于点F.
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.
(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP,
PB=PB,
∴△ABP≌△CBP(SAS).∴PA=PC,
∵PA=PE,∴PC=PE.
解：(2)由（1）知△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°-∠PFC -∠PCF=180°-∠DFE-∠E,
即∠CPE=∠EDF=90°.
(3)在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中,AB=BC，
∠ABP=∠CBP，
PB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC，∠BAP=∠BCP.
∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,∴∠DAP=∠AEP,∴∠DCP=∠AEP,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°- ∠PFC-∠PCF=∠180°-∠DFE-∠AEP,
即∠CPF=∠EDF =180°-∠ADC=180°-120°=60°,
∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE.(共11张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第2课时
菱形的判定定理
（1）有一组 相等的平行四边形是菱形;
（2）对角线互相 的平行四边形是菱形;
（3）四边 的四边形是菱形.
邻边
垂直
相等
1. 下列命题中正确的是 （ ）
A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是( )
A. ∠ABC＝90° B. AB＝BD C. AC⊥BD D. AC＝BD
D
C
3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形.这个条件为 .
4. 若?ABCD的对角线AC⊥BD，且AB=5 cm，则BC= .
5. 如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．
求证：四边形ABCD是菱形．
AB＝BC（答案不唯一）
5cm
证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，
又∵AB＝BC，∴AD＝BC，
∵AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形．
【基础训练】
1. （2020·西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是( )
A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB
C. OA＝OC D. AB＝BC
2. 下列图形中，不一定是菱形的是（ ）
A. 两条对角线互相垂直平分的四边形
B. 四条边都相等的四边形
C. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形
D. 用两个等边三角形拼成的图形
D
D
3. 小明和小亮在做一道习题:若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件：________，使得四边形ABCD是菱形.小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD.你认为下列说法正确的是（ ）
A. 小明、小亮都正确
B. 小明正确，小亮错误
C. 小明错误，小亮正确
D. 小明、小亮都错误
B
4. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( )
A. 四边形ABCD是梯形
B. 四边形ABCD是菱形
C. 对角线AC＝BD
D. AD＝BC
5. 四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是 .
D
菱形
【提升训练】
6. 如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．
6
7. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.试问当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
8. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法，你会做出怎样的判断？
甲、乙两人均正确.
【拓展训练】
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CH⊥AB交BD于点F，DE⊥AB于点E，你能判断DF与CE的位置关系吗？
解：∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∴CD=DE.
∵∠CBD+∠CDB=90°，∠ABD+∠BFH=90°，∠CBD=∠ABD，∠CFD=∠BFH,
∴∠CFD=∠CDF.∴CF=CD.∴CF=DE.
又∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴CF∥DE.∴四边形CDEF是平行四边形.
∵CF=CD，∴四边形CDEF是菱形.
∴DF与CE互相垂直平分.
