(共13张PPT)
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第2课时
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形 ，位似中心是 ，它们的相似比等于 .
位似
坐标原点
|k|
D
C
3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2∶3，点B，E在第一象限，若点A的坐标为（6，0），则点E的坐标是 ．
4. 在12×15的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请在网格里按照要求回答问题：
（1）按1∶2的比例画出缩小后的图形A1B1C1D1.（例如A对应A1）
（2）缩小后的图形A1B1C1D1的面积为 ．
（9，9）
解：（1）如图，图形A1B1C1D1为所作.
（2）4
5. 如图，△OAB的顶点分别为O(0，0)，A(9，0)，B(3，6)，画出△OAB以点P(3，0)为位似中心的位似图形△O′A′B′，使S△O′A′B′∶S△OAB=1∶9，写出此时点A′，B′，O′的坐标.
图略.A′（5，0），B′（3，2），O′（2，0）或A′（1，0），B′（3，-2），O′（4，0）.
B
(-2，0)
B
4. 如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 .
(9，0)
5. 如图，正六边形OABCDE与正六边形OA′B′C′D′E′是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶2，若点C′（6，0），则正六边形OABCDE的周长为 ．
27
【提升训练】
6. 如图，以正方形对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，图中三个正方形(实线)的顶点都落在坐标轴的整数点上，这三个正方形 (填“是”或“不是”)位似关系，位似中心的坐标为 ，位似比为 .
是
（0，0）
1∶2∶3
7. 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上.
（1）以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1 (所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；
（2）求线段A1B1所在直线的函数解析式.
（1）图略.
（2）函数解析式为y=2x-8.
8. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD各顶点的坐标分别为A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-1)，D(1，-1).以原点O为位似中心，将正方形ABCD放大，使放大后的正方形A′B′C′D′的边长是原正方形ABCD的边长的3倍.
（1）写出点A′，B′，C′，D′的坐标；
（2）直线AC与直线B′D′垂直吗？请说明理由.
解：（1）A′（3，3），B′（-3，3），C′(-3，-3)，D′(3，-3)或A′(-3，-3)，B′（3，-3），C′（3，3），D′（-3，3）.
（2）垂直.理由如下:
∵直线AC与x轴正半轴的夹角为45°，直线B′D′与x轴正半轴的夹角为135°，
∴直线AC与B′D′的夹角为90°，即直线AC与直线B′D′垂直.
【拓展训练】
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4）,C（-2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1;
（2）以原点O为位似中心，画出将△ A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
图略.(共9张PPT)
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第3课时
一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如下图），如果
那么称线段AB被点C ,点C叫做线段AB的 ,AC与AB的比叫做 ,其比值为 ≈
黄金分割
黄金分割点
黄金比
1. 线段AB上点C是黄金分割点，AC>BC，若AB=2，则AC为（ ）
2. 已知线段MN=6 cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是（ ）
A
B
3. 人体的正常体温约为37 ℃，根据有关规定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人感到最舒适，这个气温的度数约为 .(精确到1 ℃)
4. 若点C是线段AB的黄金分割点且AC=4，则AB= .
5. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现在站在A处，则他应至少再走 米才理想.（结果精确到0.1米）
23℃
7.6
【基础训练】
1. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的长与宽之比为黄金比.已知这本书的长为20cm,则它的宽约为（ ）
A. 12.36cm B. 13.6cm
C. 32.36cm D. 7.64m
2. 已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>PB，设以AP为边的正方形，面积为S１;以PB，AB为边的矩形，面积为S2，则( )
A. S1>S2 B. S1=S2
C. S1A
B
3. 李木匠要用一根长6ｍ的木材做一个矩形窗框，要想给人带来视觉最美的效果，则窗框的长约为 ｍ.（精确到0.01ｍ）
4. 人以肚脐为界，下身与身高比例符合“黄金分割”比例，在人的视觉里看，这是最完美的比例，身高为170 cm的人，满足“黄金分割”比例的腿长约为 cm.
1.85
105
6. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉. 生活中到处可见黄金分割的美. 如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(AP1＜BP1)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)……依此类推，求APn的长度.
【拓展训练】
9. 自然界的花瓣存在着一个奇特的现象：几乎所有花的花瓣数目是如下数字中的一个3，5，8，13，21，34，55，89.例如，百合花有3瓣，许多翠雀属植物有8瓣，万寿菊有13瓣等，你能发现这些数字的特征吗？想一想，这一列数与黄金分割有什么关系？(共11张PPT)
第四章 图形的相似
3 相似多边形
1. 各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形.“相似”用符号“ ”来表示.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在 的位置上.
2. 相似多边形对应边的比叫做 .
3. 如果两个多边形相似，那么它们的对应角 ，对应边 .
分别相等
成比例
∽
对应
相似比
相等
成比例
1. 在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长( )
A. 没有发生变化 B. 放大了10倍
C. 放大了30倍 D. 放大了100倍
2. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为( )
A. 70° B. 80° C. 90° D. 120°
B
B
3. 若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为 ．
4. 已知如图所示的两个多边形相似，则边x，y的长度分别为 ，∠C的度数为 .
8或2
27，31.5
83°
5. 如图，在长为16 cm，宽为12 cm的矩形ABCD中，截去了一个矩形EFCD（即图中的阴影部分）,使留下的矩形AEFB与原矩形相似，求矩形AEFB的面积.
【基础训练】
1. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )
B
2. 如图，内、外两个矩形相似且对应边平行，则下列结论中正确的是（ ）
C
3. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝65°，∠C＝82°，∠A′＝110°，则∠D＝ ．
4. 把一个边长为2的正方形的各角都去掉，得到的一个图形仍是一个正方
形，则这个小正方形的边长为 ，小正方形与原正方形的相似比为 .
103°
【提升训练】
5. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝ ;
（2）求边x,y的长度．
6. 已知四边形ABCD ∽ 四边形A1B1C1D1且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14,四边形ABCD的周长为40.根据这些条件求四边形ABCD各边的长.
7. 以正方形的对角线为边长作一个正方形，求原正方形与得到的正方形的相似比、周长比和面积比.
解：AB=7,BC=8,CD=11,DA=14.
【拓展训练】
8. 如图，矩形OABC ∽ 矩形DEFG，相似比为2.已知点A（10，0），C（0，8），D（3，2）.
（1）求点B，E，F，G的坐标；
（2）判断点G，E是否在直线AC上.
解：(1)因为OA=10，OC=8，矩形OABC∽矩形DEFG，相似比为2，所以矩形DEFG的对应边DE=5，DG=4.由点的坐标的意义,知所求坐标分别为B（10，8），E（8，2），F（8，6），G（3，6）.
（2）设直线AC的函数解析式为y=kx+b.因为点A（10，0）和点C（0，8）在直线AC上，则有(共12张PPT)
第四章 图形的相似
章末整合
【知识导图】
【体验中考】
A
B
C
D
5. （2022 十堰）如图，某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x 为（ ）
A.0.3cm B.0.5cm C.0.7cm D.1cm
6.（2022 徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长
均为 1，则阴影部分的面积为（ ）
B
C
7. （2022 攀枝花）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝4，点 E、F 分别为 BC、CD 的中点，BF、DE 相交于点 G，过点 E 作 EH∥CD，交 BF 于点 H，则线段 GH 的长度是（ ）
8. （2022 扬州）如图，在△ABC 中，AB＜AC，将△ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到△ADE，点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于点 F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA 平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
A
D
9. （2022·达州）如图，点 E 在矩形 ABCD 的 AB 边上，将△ADE 沿 DE 翻折，点 A 恰好落在 BC 边上的点 F 处，若 CD＝3BF，BE＝4，则 AD 的长为（ ）．
A．9 B．12 C．15 D．18
10.（2022·河池）如图，在平面直角坐标系中,△ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为A(4,1),B(2,3),C(1,2).
(1)画 出 与 △ABC 关 于 y 轴 对 称 的△A1B1C；
(2)以原点O 为位似中心,在第三象限内画一个△A2B2C2,使它与△ABC 的相似比为2∶1,并写出点B2 的坐标.
C
11. （2022·杭州）如图，在在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，连接 DE，EF.已知四边形BFED 是平行四边形,DE/BC=1/4.
（1）若AB=8,求线段AD 的长.
（2）若△ADE 的面积为1,求平行四边形BFED 的面积.
12. （2022·上海）如图所示，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 E，F 在线段 BC 上，点Q 在线段 AB 上，且 CF＝BE， ＝ ．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF FQ＝AF BQ．(共16张PPT)
第四章 图形的相似
6 利用相似三角形测高
1. 利用阳光下的影子测量旗杆的高度时，可以把太阳光近似地看成 ，需要测量的数据有 、人的影长、旗杆的影长.
2. 利用标杆测量旗杆的高度时，需要测量的数据有标杆的高度、 、人与标杆的距离、标杆与旗杆的距离.
3. 利用镜子的反射测量旗杆的高度时，需要测量的数据有 、镜子与人的水平距离、镜子与旗杆的水平距离.
平行光线
人的高度
人眼与地面的距离
人眼与地面的距离
1. 要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出（ ）
A. 仰角 B. 树的影长
C. 标杆的影长 D. 都不需要
2. 张华同学的身高为160厘米，某一时刻他在阳光下的影子长为200厘米，与他相邻近的一棵树的影子长为6米，则这棵树的高为（ ）米．
A. 3.2 B. 4.8
C. 5.2 D. 5.6
B
B
3. 如图是测量旗杆的方法.已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，则下列叙述错误的是( )
A. 可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高
B. 可以利用△ABC∽△EDB来计算旗杆的高
C. 只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高
D. 需要测量出AB，BC和DB的长，才能计算出旗杆的高
C
4. 如图是小孔成像原理的示意图，点O与物体AB的距离为45厘米，与像CD的距离是30厘米，AB∥CD.若物体AB的高度为27厘米，那么像CD的高度是 厘米．
5. 小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时AE＝21米，CE＝2.5米.已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度.（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
18
【基础训练】
1. 如图，身高为1.6m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度为（ ）
A. 6.4m B. 7.0m C. 8.0m D. 9.0m
C
2. 为估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120 m，DC＝40 m，EC＝30 m，那么这条河的宽度大致是( )
A. 90 m B. 60 m C. 100 m D. 120 m
3. 小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是 1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是（ ）
A. 50 cm B. 500 cm
C. 60 cm D. 600 cm
A
C
4. 如图,在 A时测得一棵大树的影长为4m,B时又测得该树的影长为9m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度是 .
5. 如图，一个人拿着一把长为12 cm的刻度尺站在离电线杆20 m的地方.他把手臂向前伸直，尺子竖直，尺子两端恰好遮住电线杆，已知臂长约为40 cm，求电线杆的高度．
6m
A
【提升训练】
6. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m,小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A. 24m
B. 22m
C. 20m
D. 18m
C
7. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是( )
A. 3.25m B. 4.25m
C. 4.45m D. 4.75m
8. 我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直，且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直.已知油画的长度AD为100 cm．
（1）视线∠ABD的度数为____.（用含α的式子表示）
（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250 cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可）
解：（1）连接BD，
∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，∴AB⊥PM，
∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠PAD＝90°-∠BAE＝α，
∵AE＝DE，BE⊥AD，∴AB＝BD，
∴∠ABE＝∠DBE，∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α，
故答案为2α.
（2）过点D作DC⊥PM交PM于点C，
由题意得AB＝250 cm，AD＝100 cm，则AE＝50 cm，
【拓展训练】
9. 明明想用镜子量一棵古松树的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图，第一次他把镜子放在C处，人在点F正好在镜子中看到树尖A；第二次他把镜子放在C′处，人在F′处也正好看到树尖A.已知明明的眼睛距地面1.7 m，量得CC′为12 m，CF为1.8 m，C′F′为3.84 m，求这棵古松树的高度.(共13张PPT)
第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第1课时
1. 相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于 .
2. 下列说法错误的是( )
A. 等边三角形都相似B. 等腰直角三角形都相似C. 矩形都相似 D. 正方形都相似
3. 在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，另一个与它相似的三角形的最短边是3，则其最长边一定是( )
A. 12 B. 5 C. 16 D. 20
相似比
C
B
B
C
3. 如果两个相似三角形对应高的比为2：3，那么对应角平分线的比等于 ，对应中线的比等于 .
4. 已知△ABC∽△A′B′C′，且 边AB上的中线CD=9cm,则边A′B′上的中线C′D′的长为
5. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是它们的中线，求证：AD∶A′D′＝AB∶A′B′．
2∶3
2∶3
【基础训练】
1. 若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，AB＝4，则DE的长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F，若AD=4，DB=1，则AG：AF= .
D
4∶5
3. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子长为CD，若AB∥CD，AB=2m,CD=5m，点P到CD的距离为3m,则点P到AB的距离为
4. 如图，△ABC∽△CAD，∠ACB＝∠D＝90°，AB∥CD，AC2＝ ．
AB·CD
5.
8
15
【拓展训练】
9. 有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab＝ .
10. 如图,△ABC 是一块锐角三角形的材料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB,AC 上,这个正方形零件的边长是多少
54 cm2(共12张PPT)
第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第2课时
相似多边形的性质定理：相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 .
相似比
相似比的平方
C
C
4
4. 如果一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大的三角形的周长是 ，较小的三角形与较大的三角形的面积分别是 , .
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，若DE=2，BC=4，BE=23，且△ABC的周长为12，求△ADE的周长和DF的长度.
90
30
270
△ADE的周长为6，DF的长度为 √3.
【基础训练】
1. 已知三角形ABC与三角形EFM的相似比为2，且这两个三角形面积的和为25，则三角形ABC的面积为( )
A. 5 B. 21 C. 15 D. 20
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC,AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是（ ）
D
B
3. 厨房角柜的台面是三角形(如图所示)，如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石(即图中阴影部分)，其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是( )
A. 1∶2 B. 1∶3
C. 1∶4 D. 1∶5
4. 在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则S△ADE∶S四边形DECB= .
5. 如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则 的值为
B
1∶3
8. 某生活小区的居民筹集1600元资金，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图）.
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，
单价为8元/m2，当△AMD种满后（即图中的阴影部分）
共花了160元，请计算种满△BMC地带需要花的费用；
（2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2，10元/m2，应选择哪种花木刚好用完所筹集的资金？
【拓展训练】
9. 如图，在△ABC的内部选取一点P，过点P分别作△ABC三边的平行线，这样所得的三角形△PDF，△EPI，△GHP的面积分别为4，9，49.求：
(1)PD：PE：HG的值;
(2)PD：BC的值;
(3)△ABC的面积.
解：∵DE∥BC，∴∠PDF=∠B.
∵FG∥AC，∴∠PFD=∠A.∴△PDF∽△CBA.
同理可得△PDF∽△EPI∽△GHP∽△CBA.(共12张PPT)
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第1课时
1. 把一个图形变成另一个图形，并保持图形形状不变的几何变换叫做 .
2. 如果两个相似多边形每组对应顶点的连线 ，对应边 ，那么这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 .
3. 利用位似，可以将一个图形 或 .
4. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 .
相似变换
都经过同一点
成比例
位似图形
位似中心
放大
缩小
相似比
1. 下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是( )
2. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知
AB∶DE＝1∶3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为( )
A. 8 B. 12
C. 16 D. 36
B
B
3. 已知大矩形的周长是小矩形的周长的2倍，小矩形的面积是5 cm2，大矩形的长为5 cm，若这两个矩形是位似图形，则大矩形的宽为 cm.
提示：位似图形仍满足相似图形的性质.
4. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经
过位似变换得到的三角形，若△A′B′C′的面积与
△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB等于 ．
5. 画出下图中位似图形的位似中心.
4
图略
2∶3
【基础训练】
1. 下列各选项中的两个图形不是位似图形的是( )
D
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述正确的是（ ）
A. △AOM和△AON都是等边三角形
B. 四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C. 四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D. 四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
3. 若△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2∶3，已知AB=4，则DE的长度为 .
C
6
4. 如图，已知△AOB与△COD是位似图形，位似中心为点O.若OA∶OC＝2∶3，则△AOB与△COD的面积之比为 ．
5. 以点O为位似中心，作出四边形ABCD的位似图形，使得所作图形与原图形的相似比为2∶1.
4∶9
图略.
1∶6
1∶36
8. 如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC与△A′B′C′是以O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的相似比；
（3）以点O为位似中心，画一个△A1B1C1，
使它与△ABC的相似比等于1.5.
（1）图略.（2）1∶2（3）图略.
【拓展训练】
9. 如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1.四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？(共10张PPT)
第四章 图形的相似
*5 相似三角形判定定理的证明
1. 相似三角形判定定理1：两角 的两个三角形相似.
2. 相似三角形判定定理2：两边 且夹角 的两个三角形相似.
3. 相似三角形判定定理3：三边 的两个三角形相似.
分别相等
成比例
相等
成比例
1. 如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是( )
2. 下列说法正确的是( )
A. 两个直角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似
C. 两个等腰直角三角形一定相似 D. 两个矩形一定相似
D
C
3. 有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的数量之比为 .
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于点E.
求证：△ABD∽△CBE．
2∶1
证明：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC=a，BC＝b（a>b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于( )
C
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列各项判断错误的是( ）
A. △ADE∽△ABC
B. △ADE∽△ACD
C. △DEC∽△CDB
D. △ADE∽△DCB
D
3. 在?ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF等于（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 2∶5
4. 如图，已知点P是△ABC上的一点，连接CP，若AB=6，AC=4，当AP= 时，△ACP∽△ABC.
5. 在矩形ABCD 中,AB=10,AD=4,点E是CD 上的动点,若∠AEB=90°,则 DE的长为 .
A
2或8
3
【提升训练】
6. 如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作 条．
7. 已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且AD=2DB，AE=2EC．求证：∠DEB=∠EBC.
证明：∵AD=2DB，AE=2EC，
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC．
∴∠ADE=∠ABC．∴DE∥BC．∴∠DEB=∠EBC．
8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，且对角线BD⊥DC，试问：
（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由；
（2）若AD=2，BC=8，请求出BD的长．
【拓展训练】
9. 如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动.是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：存在.假设经过ts时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由四边形ABCD为矩形，可得∠CDA=∠MAN=90°，(共11张PPT)
第四章 图形的相似
2 平行线分线段成比例
1. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 .
2. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段 .
成比例
成比例
D
C
3. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，
4. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，如果DE∶EF=3∶5，AC=24，则BC= .
15
5. 如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．
【基础训练】
1. 如图,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A,C,E,B,D,F,下列结论不正确的是则有（ ）
B
A
D
4. 如图，已知AB∥CD∥EF，AC∶CE=2∶3，BF=15，那么BD= .
5. 如图，DE∥BC，AD=5，DB=2，AE=2.5，则EC= .
6
1
【提升训练】
6. 如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相邻两条直线的距离相等.若直线l8分别与l1，l2，l5，l7相交于点A，B，C，D，则AB∶BC∶CD为 ．
7. 如图，直线l1，l2 ，l3分别交直线l4于点A，B，C，
交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3 ，已知EF∶DF=5∶8，
AC=24，求AB的长.
1∶3∶2
9
【拓展训练】
9. 如图，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则AF∶AC= .
（1）若AE∶ED=1∶2，则AF∶AC= ；
（2）若AE∶ED=1∶3，则AF∶AC= ，并证明；
证明略
（3）若AE∶ED=1∶n，猜想AF∶AC= .
1∶3
1∶5
1∶7
1∶（2n+1）(共10张PPT)
第四章 图形的相似
1 成比例线段
同一长度单位
m
n
前项
后项
AB=k·CD
两个数的比
成比例线段
比例线段
bc
B
B
1. 在一幅比例尺是1∶5 000 000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4 cm.那么上海到杭州的实际距离是( )
A. 17 km B. 34 km
C. 170 km D. 340 km
2. 下列各组长度的线段（单位： cm）中，成比例线段的是( )
A. 2，3，4，5 B. 1，3，4，10
C. 2，3，4，6 D. 1，5，3，12
C
C
3. 在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是( )
A. 20米 B. 18米
C. 16米 D. 15米
4. 如果 那么
5.
B
B
B
解：（１）四条线段由小到大的顺序是c,b,d,a，有ac=8×2?5=20, bd=4×5=20,所以ac=bd, 所以四条线段a,b,c,d是成比例线段.
(2)四条线段的长度化成同一单位后，由小到大的顺序是b,c,a,d,有ac=8×6=48,bd=5×10=50,所以ac≠bd,所以四条线段a,b,c,d不是成比例线段.
7.
8. 已知有三条长分别为1cm，4cm，8cm的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长.
【拓展训练】(共12张PPT)
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时
1. 相似三角形的定义：三角 、三边 的两个三角形叫做相似三角形.
2. 相似三角形的判定定理1：两角 的两个三角形相似.
分别相等
成比例
分别相等
1. 如图，CE、BF是锐角△ABC两边AB、AC上的高，它们交于点D，图中共有几对相似三角形（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
D
2. 如图所示，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A. △ABC∽△DAB B. △ABC∽△DAC
C. △ABD∽△ACD D. 以上都不对
3. 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，图中与△ABE相似的三角形共有 个，它们是 .
B
5
△DAE，△DBA，△BCF，△BDC，△CDF
4. 如图，BE，CD相交于点O，CB，ED的延长线相交于点A，∠C=∠E，则△ACD∽ ，△BOC ∽ .
5. 在△ABC中，AC>AB，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），若增加一个条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件可以是 .（填一个即可）
△AEB
△DOE
∠ADB=∠ABC（或∠ABD=∠C）
6. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，∠EAF=∠B．求证△ABF∽△ECA.
证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠BAF=∠EAF+∠BAE，
∠EAF=∠B，∴∠AEC=∠BAF．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABF∽△ECA．
【基础训练】
1. 下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A. 各有一个角是100°的两个等腰三角形
B. 各有一个角是90°的两个等腰三角形
C. 各有一个角是60°的两个等腰三角形
D. 各有一个角是50°的两个等腰三角形
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果
DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是( )
A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACD
C. △ADE∽△DCB D. △DEC∽△CDB
D
C
3. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE，DF分别是△ACD和△BCD的中线，则图中一定相似的三角形共有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
4. 如图，点P是等腰梯形ABCD的底AD上的一点，若∠A=∠BPC，则和△ABP相似的三角形有 个．
C
2
5. 如图，已知AB∥CD，AO＝9，AC＝12，BD＝36，求OD的长.
【提升训练】
6. 如图，若添上一个条件： ，则△ABC∽△ADE.
9
∠ABC=∠D（或∠ACB=∠E或BC∥DE）
7. 如图，∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4.
(1)△ABC与△ADE相似吗？请说明理由.
(2)求AD的长.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D．
（1）求证：△BAD∽△CAD；
（2）若O是AC边上一点，连接BO交AD于点E，OF⊥OB交
BC边于点F，求证：△ABE∽△COF．
证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，
∵∠DAC=∠B，∴△BAD∽△ACD.
（2）由（1）知，∠BAE=∠C，
∵OF⊥OB，∴∠BOA+∠COF=90°，
∵∠BOA+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠COF，
∴△ABE∽△COF．
【拓展训练】
9. 如图，有一块三角形形状的铁板，AB=90cm，AC=60cm，BC=45cm，现要在AB，AC上确定两点D，E，然后沿DE将上面三角形部分剪去，使剩下的四边形部分BDEC为梯形且DE=15cm，如何确定点D和点E的位置？(共15张PPT)
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第2课时
1. 相似三角形的判定定理2： 两边 且夹角 的两个三角形相似.
2. 相似三角形的判定定理3： 三边 的两个三角形相似.
成比例
相等
成比例
1. 如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
C
B
C
4.如图,在三角形纸片 ABC 中,AB =9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）
B
5. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，D，E分别在AB，AC上，BD=2，CE=5.求证：△AED∽△ABC．
A
C
3. 如图，E是?ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F，则图中的相似三角形共有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
C
4. 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是( )
5. 如图，在△ABC中，∠B=25°，AD是边BC上的高且AD =BD·DC，则∠BCA的度数为 .
B
65°
【提升训练】
6. 如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC与△ACB相似的条件是( )
A. ①②③ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②④
A
7. 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CD=4DF，连接EF,BE.求证：△ABE∽△DEF．
8. 如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，ED交AC于点E.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.
（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,
∴∠B=∠C=45°,
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.又∠ADE=45°=∠B，
∴∠EDC=∠BAD,∴△ABD∽△DCE,
【拓展训练】
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC上的高，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G.
（1）试说明等式EGAD=CGCD成立；
（2）FD与DG垂直吗？请说明理由.
（3）当AB=AC时，△FDG是等腰直角三角形吗？请说明理由.
