9.4 矩形、菱形、正方形（第2课时） 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第9章 · 中心对称图形——平行四边形
9.4　矩形、菱形、正方形（2）
第2课时　矩形的判定
学习目标
1.探索并证明矩形的判定定理;
2.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.
知识回顾
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
∠ABC=90°
B
A
D
C
矩形ABCD
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
怎样检验木工做成的窗框是不是矩形？说说你的想法.
问题情境
1. 我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，四个角(或三个角)都是直角的四边形是矩形吗？
思考与探索
B
A
D
C
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
思考与探索
2. 我们知道，当一个平行四边形框架扭动成矩形时，它的两条对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
B
A
D
C
O
已知：如图，在 ABCD中，AC=DB.
求证： ABCD是矩形.
证法1：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC.
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=90°.
∴ ABCD是矩形.
思考与探索
2. 我们知道，当一个平行四边形框架扭动成矩形时，它的两条对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
B
A
D
C
O
已知：如图，在 ABCD中，AC=DB.
求证： ABCD是矩形.
证法2：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.
∵AC=DB，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB.
又∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠OBA+∠OBC=90°.
即∠ABC=90°.
∴ ABCD是矩形.
新知归纳
三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
B
A
D
C
O
符号语言：
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∵AC=DB，
∴ ABCD是矩形.
新知归纳
A
B
C
D
四边形ABCD
有三个角是直角
B
D
ABCD
A
C
B
A
D
C
矩形ABCD
有一个角是直角
对角线相等
判断一个四边形是矩形有哪些方法？
对角线相等的四边形是矩形吗？
讨论与交流
对角线相等的四边形不是矩形.
怎样检验木工做成的窗框是不是矩形？说说你的想法.
一般有以下三种方法:
1. 先检验门框的两组对边是否分别相等，再检验其中的一个角是否是直角；
2. 先检验门框的两组对边是否分别相等，再检验两对对角的距离(对角线的长)是否相等；
3. 检验门框是否有3个角都是直角.
讨论与交流
如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，给出下列条件:
①AB∥CD； ②AB=CD； ③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.
请从这6个条件中选取3个，使四边形ABCD是矩形，并说明理由.
①②③ ①②④ ⑤⑥③ ⑤⑥④
①⑤③ ①⑤④ ①⑥③ ①⑥④
可以说明平行四边形的有:
①⑤ ①⑥
讨论与交流
B
A
D
C
O
①② ⑤⑥
例题讲解
例1　已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.
求证：四边形DECF是矩形.
E
F
D
C
A
B
思考：
1.要证明四边形DECF是矩形有哪些方法？
2.在△ABC中，由∠ACB＝90°，D是AB的中点，可以推出什么结论？
3.由DE、DF分别平分∠BDC和∠ADC，你能想到什么？
例题讲解
证明：∵∠ACB＝90°D是AB的中点，
∴DC＝AB＝DA＝DB．
∵DC＝DA ，DF平分∠ADC，
∴DF⊥AC，
即∠DFC＝90°．
同理∠DEC＝90°．
∴四边形DECF是矩形(三个角是直角的四边形是矩形)．
例1　已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.
求证：四边形DECF是矩形.
E
F
D
C
A
B
变式1　如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线. 四边形FDEC是矩形吗？为什么？
例题讲解
提示：∠DFC=∠DEC=∠EDF＝90°
E
F
D
C
A
B
例题讲解
E
F
D
C
A
B
变式2　如图，在△ABC中，点D在AB上，DE、DF分别垂直平分BC、AC. 探索EF与CD之间的关系.
提示：先证四边形DFCE为矩形，从而得到EF和CD相等且互相平分.
新知巩固
1. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. E、F、G、H在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是矩形.
A
B
C
D
O
E
F
G
H
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=DB，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵OE+OG=OF+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
新知巩固
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
证法1：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.
∴CD∥AE.
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，AB＝DE，
∴AC＝DE，
∴ ADCE是矩形．
B
A
D
C
E
新知巩固
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
B
A
D
C
E
证法2：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BD，AE＝BD，
∴CD∥AE.
∵D为BC的中点，AB＝AC，
∴CD＝BD，AD⊥BC，
∴CD＝AE.
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴ ADCE是矩形．
思考与交流
　 如图，直线 l1∥l2 、A、C是直线l1上任意两点，AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、D，线段AB、CD相等吗？为什么？
A
D
B
C
l2
l1
解：∵AB⊥l2，CD⊥l2，
∴AB∥CD.
又∵ l1∥l2，
∴四边形ABDC为平行四边形
∴AB＝CD．
概念学习
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做 两条平行线之间的距离.
两条平行线之间的距离处处相等.
A
D
B
C
l2
l1
符号语言：
∵直线l1//l2，A、C是直线上l1任意两点，
AB⊥l1，CD⊥l2 ，垂足分别为B、D．
∴AB＝CD．
例2 已知l1∥l2.
(1)△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
例题讲解
A
C
B
D
l2
l1
E
F
解： (1)△ABC与△DBC的面积相等．
理由如下：
分别过A、D两点作AE⊥l2，DF⊥l2，
垂足分别为E、F，
∵l1∥l2，AE⊥l2，DF⊥l2,
∴AE＝DF.
∴S△ABC＝S△DBC.
例题讲解
例2 已知l1∥l2.
(2)你还能画出一个与△ABC面积相等的三角形吗？
A
C
B
D
l2
l1
P
解： (2)在直线l1上任取一点P，连接PB、PC. 由(1)得S△PBC＝S△ABC.
例题讲解
例2 已知l1∥l2.
(3)若AC与BD相交于O点，还有其他面积相等的三角形吗？(不止一组)．
A
C
B
D
l2
l1
O
S△ABD＝S△ACD
S△AOB＝S△DOC
新知巩固
1.如图，a∥b，下列线段的长度是a、b之间的距离的是 (　　)
A.AB B.AE C.EF D.BC
A
C
B
D
b
a
E
F
C
新知巩固
2. 两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是____________________________．
两条平行线之间的距离处处相等
4. 如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是____．
3. 如图，AD∥BC，AC与BD相交于O点，面积相等的两个三角形是_______________________________________________．
A
C
B
D
O
A
C
B
D
(3)
(4)
S△ABC＝S△DBC
S△AOB＝S△DOC
S△ABD＝S△ACD
3
课堂小结
9.4 矩形、菱形、正方形(2)
两条平行线之间距离
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形
有三个角是直角的四边形
对角线相等的平行四边形
当堂检测
1.有下列说法:
①四个角都相等的四边形是矩形.
②两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形.
③对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形
④一组对边平行,另一组对边相等并且有一个角是直角的四边形是矩形.
其中正确是个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
当堂检测
2. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(　　)A.测量两条对角线是否相等B.度量两个角是否是90°C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D.测量两组对边是否分别相等
C
当堂检测
3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列不能判定四边形ABCD是矩形的是(　　)A.∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90° B.AD＝BC，AD∥BC，AC⊥BDC.OA＝OB＝OC＝OD D.AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°
B
B
A
D
C
O
当堂检测
4. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是________________________.
B
A
D
C
∠A＝90°(答案不唯一)
当堂检测
5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为_____.
35°
A
D
C
B
O
当堂检测
6.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为　　　　.
10
A
C
B
D
E
当堂检测
7.如图，在 ABCD中，∠DAC＝∠ADB，求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，OD＝BD.
∵∠DAC＝∠ADB，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
B
A
D
C
O
8. 如图， ABCD的四个内角平分线分别相交于E、F、G、H，四边形EFGH是怎样的特殊四边形吗？证明你的结论.
B
A
D
C
E
F
G
H
证明：四边形 EFGH是矩形.证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°.
又∵ AE平分∠BAD，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE=90°.
∴∠HEF=∠AEB=90°.
同理∠EFG=∠FGH=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
当堂检测
9.如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点在四边形ABCD外，且∠AEC=∠BED=90°，求证：四边形ABCD是矩形.
B
A
D
C
O
E
证明：连接OE.
∵O是AC、BD的中点，
∴四边形ABCD是平行四边形.
在Rt△AEC中，EO=AC，
在Rt△BED中，EO=BD，
∴AC=BD.
∴ ABCD是矩形.
当堂检测