1.5平方差公式第1课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件（北师大版）

(共24张PPT)
第1课时
北师大版 数学 七年级下册
5 平方差公式
第一章 整式的乘除
学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点）
2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点）
一、导入新课
复习回顾
1.多项式乘多项式法则:
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 分别乘以另一个多项式的 ，再把所得的积 .
即 =am+an+bm+bn.
每一项　
每一项
相加
2.计算:(1)(2x+3)(-x-1);　　 (2)(-2x+3)2.
(2)原式=(-2x+3)(-2x+3)
=4x2-6x-6x+9
=4x2-12x+9.
解:(1)原式=-2x2-2x-3x-3
=-2x2-5x-3.
一、导入新课
情境导入
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植.第二年，他对张老汉说:“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道:“好吧.”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说:“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗
一、导入新课
情境导入
面积变了吗？
原来
现在
相等吗？
二、新知探究
探究：平方差公式
计算下列各题：（1）(x+2)(x－2) ; （2）(1+3a)(1－3a);
（3）(x+5y)(x－5y); （4）(2y+z)(2y－z).
(4)（2y＋z)(2y－z)= 4y2 －z2
(2)（1＋ 3a)( 1－3a）=1 －9a2
(3)（x＋5y)( x－5y)=x2－25y2
(1)（x ＋2)( x－ 2）=x2－4
=x2 － 22
=12－3a2
=x2－(5y)2
=(2y)2－z2
二、新知探究
想一想：观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现.
发现:算式是两个二项式相乘,在这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反项；算式的运算结果为相同项的平方减去互为相反项的平方.举例略.
二、新知探究
知识归纳
(a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
平方差公式：
平方差公式的结构特征:
（1）左边是两个二项式的乘积,并且这两个二项式有一项完全相同,另一项互为相反项；
（2）右边是这两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方.
二、新知探究
1.下列各式中,能用平方差公式进行计算的是　　　　(填写序号).
①(-x-y)(x+y); ②(2x+y)(y-2x);
③(2x+y)(x-2y); ④(-x+y)(x-y);
⑤(a-b+c)(a-b-c).
②⑤
跟踪练习
二、新知探究
2.填一填：
相同项 相反项 结果
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
( 0.3x)2－12
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
(a+b)(a-b)
跟踪练习
二、新知探究
平方差公式
注意：1.a表示相同的项，b表示相反的项,与位置无关.
2.这里的a,b既可以表示单项式，也可以表示多项式，或者是更为复杂的代数式．
(a+b)(a-b) = a2-b2
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
知识归纳
二、新知探究
3.利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)；(3) (－m+n)(－m－n)
解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2；
（2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2；
（3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
跟踪练习
二、新知探究
4.利用平方差公式计算：
(1) (2) (ab+8)(ab－8).
(2)原式=(ab)2－82
=a2b2－64.
跟踪练习
解：(1)原式=
;
二、新知探究
想一想：(a－b)(－a－b)=？你是怎样做的？
解：(a－b)(－a－b)
=(－b+a)(－b－a)
=(－b)2-a2
=b2-a2
变形
应用平方差公式
二、新知探究
平方差公式的计算步骤：
(1)找准公式中的相同项a和相反项b,利用加法交换律调整两个二项式的位置,使之与公式左边对应;
(2)用相同项的平方减去相反项的平方.
知识归纳
三、典例精析
解:(1)(-a+b)(-a-b)
=(-a)2-b2
=a2-b2.
例1 利用平方差公式计算:
(1)(-a+b)(-a-b); (2)(0.25x+y)(-0.25x+y).
(2)(0.25x+y)(-0.25x+y)
=(y+0.25x)·(y-0.25x)
=y2-(0.25x)2
=y2-0.0625x2.
三、典例精析
例2：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
3.计算(-4a-1)(4a-1)的结果为 (　　)
A.16a2-1 B.-8a2-1 C.-4a2+1 D.-16a2+1
2.下列各式中不能用平方差公式计算的是(　　)
A.(x-y)(-x+y) B.(-x+y)(-x-y)
C.(-x-y)(x-y) D.(x+y)(-x+y)
四、当堂练习
1.计算(1+2c)(1-2c)的结果是 (　　)
A.4c2-1 B.1-4c2 C.4c2-4c+1 D.1+4c+4c2
B
A
D
6.若a2-b2=，a-b=，则a+b=　　　　.
5.对于任意的整数n，能整除(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是(　　)
A.4 B.3 C.5 D.2
四、当堂练习
4.若(2-x)(2+x)(4+x2)=16-xn，则n的值等于 (　　)
A.6 B.4 C.3 D.2
B
C
7.若(x-ay)(x+ay)=x2-16y2,则a=　　　　.
8.一个长方体的池塘长为(4a2+9b2)m,宽为(2a+3b)m,高为(2a-3b)m,则这个池塘的容积是　 　　　　m3.
±4
(16a4-81b4)
四、当堂练习
(2) (-4x2-3y3)(4x2-3y3)=(-3y3)2-(4x2)2=9y6-16x4.
9.计算:(1)()(); (2)(-4x2-3y3)(4x2-3y3).
四、当堂练习
10.计算:(1)a(1-2a)+2(a+1)(a-1); (2)(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y);
(3)(-am+bn)(am+bn).
解:(1)原式=a-2a2+2(a2-1)=a-2a2+2a2-2=a-2.
(2)原式=4x2-9y2-16y2+9x2=13x2-25y2.
(3)(-am+bn)(am+bn)=(bn)2-(am)2=b2n-a2m.
四、当堂练习
11.先化简,再求值:(3-x)(3+x)+(x+1)2,其中x=2.
解:原式=9-x2+x2+2x+1
=2x+10.
当x=2时,
原式=2×2+10=14.
五、课堂小结
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
紧紧抓住 “一同一反”这一特征.不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
平方差公式
注意
内容
六、作业布置
习题1.9