21.4 无理方程（第2课时）课件（共24张PPT）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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第 21章代数方程
21.4无理方程（第2课时）
学习目标
1、知道解无理方程的一般步骤，会解简单的无理方程知道验根是解无理方程的重要步骤，掌握验根的常用方法. （难点）
2、通过解无理方程, 进一步体会事物之间相互转化的关系, 领略辩证观点. （难点）
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.也叫根式方程.
二、有理方程与代数方程
整式方程和分式方程统称为有理方程.
有理方程和无理方程统称为代数方程.
一、无理方程
复习引入
解无理方程的一般步骤是什么？
是
开始
去根号
解有理方程
检验
写出原方程的根
舍去
结束
无理方程如何进行“验根”？
代入原方程的左边和
右边，使左边=右边，
且根号有意义．
增根产生的原因是什么？
平方把无理方程化为
有理方程，使原方程
中未知数允许取值的
范围扩大了．
不是
　例????.解下列方程：12x?3=x?6;
?
　　解：?(1)方程两边平方,得4(x?3)=(x?6)2.
整理,得x2?16x+48=0.　
解这个方程,得x1=4,x2=12.　
检验:把x=4分别代人原方程的两边,左边=24?3=2,　
右边＝4?6＝?2，左边≠右边，可知x=4是增根，舍去.　
把x=12分别代人原方程的两边,左边=212?3=6,　
右边=12?6=6,左边=右边,可知x=12是原方程的根.　
所以，原方程的根是x=12.　
?
新课讲解
小结：解只含一个“根号”的无理方程时，一般将“根号项”放在方程的一边，把其他“项”放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解比较简单．
例1 解下列方程：
（2）
解：
经检验：x=-1是增根，舍去；
x=3是原方程的根．
．
所以原方程的根是x=3.
．
可以直接平方去根号吗？
方程两边可以直接平方 ．
都是原方程的根吗？
　例????.解下列方程：13?2x?3=x;　
?
　　解：　1原方程可变形为3?x=2x?3.
两边平方,得(3?x)2=2x?3.　
整理,得x2?8x+12=0.解得x1=2,x2=6.　
检验:把x=2分别代人原方程两边,左边=3?2×2?3=2,　
右边=2,左边=右边,　可知x=2是原方程的根.
把x＝6分别代人原方程两边,左边=3?2×6?3=0,右边=6,
左边≠右边,可知x=6是增根,舍去.所以,原方桯的根是x=2.　
　　　　　　　　　
?
例2 解下列方程：
（2）
解：
．
如何转化为有理方程？
一般将两个“根号项”分别放在等号两边.
方程两边平方 ．
将方程整理化为只含一个根号 ．
第二次平方，把原方程转化为有理方程．
小结：解含两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后再整理，这样可以简化解题过程；如果含两个“根号”的无理方程中还有其他“项”，通常要经过两次平方，才能把原方程转化为有理方程．
归纳：对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式
，有
.”
（1）
1.解下列方程：
（2）
课本练习
（2）
2.解下列方程：
（1）
（3）
3.下列方程中，有实数根的方程是（ ）：
A、
B、
C、
D、

C
解：5+????+25+????2=30整理得：25+????2=25?????两边平方得：25+????2=625?50????+????2即50????=600系数化为1得：????=12经检验得：????=12是原方程的解故另一直角边的长为12.
?
1.解方程： ????+2 - ???? =1
?
【解析】解： ????+???? = ???? +1
x+2=x+2 ???? +1
1=2 ????
????=???????? ，
经检验，x= ???????? 是原方程的解．
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随堂检测
2.解方程： 2?????4 - ????+5 =1
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【解析】解：两边平方得：2x-4+x+5-2 (?????????????)(????+????) =1，即3x=2 (?????????????)(????+????) ，
再两边平方得：9x2=4(2x2+6x-20)，即x2-24x+80=0，
解得：x1=4，x2=20，
经检验x=4和x=20都是无理方程的解．
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3.解方程 ????+5?2????+3=1 ．
?
【解析】解：方程两边平方，得： ????+????+????????+?????????(????+????)(????????+????)=???? ，
即 ????????+????=????(????+????)(????????+????) ，
两边平方，得：9x2+42x+49=8x2+52x+60，
化简得：x2-10x-11=0，
即(x+11)(x-1)=0，
解得：x=11或-1．
经检验：x=-1是方程的根，-11是增根．
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则原方程的根是：x=-1．
4.解方程： ??????????5=1 ．
?
【解析】解： ???? -1= ????????? ，
两边平方得x-2 ???? +1=x-5，
???? =3，
所以，x=9，
经检验，x=9为原方程的解．
所以原方程的解为x=9．
?
5.解方程： ?????5+1?????=1 ．
?
【解析】解：要使方程有意义，需满足： ?????????≥?????????????≥???? ，
∴ ????≥????????≤???? ，
∵该不等式组无解，
∴原方程无解．
?
6.解方程： 2????+1+????=1 ．
?
【解析】解：∵ ????????+????+????=???? ，
∴ ????????+???? =1- ???? ，
∴( ????????+???? )2=(1- ???? )2，
∴2x+1=1-2 ???? +x,
∴2x-x+2 ???? =0，
∴x+2 ???? =0，
∵要使式子有意义，x的取值一定是大于等于0，
?
∵x+2 ???? =0，
∴x=0．
?
7.解方程： ????+2+?????7=9 ．
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【解析】解：移项得： ????+???? =9- ????????? ，
两边都平方得：x+2=81-18 ????????? +x-7，
移项合并同类项得：18 ????????? =72，
∴ ????????? =4，
两边再平方得：x-7=16，
∴x=23，
检验：当x=23时，左边= ???????? + ???????? =5+4=9=右边，
所以x=23是原方程的解，
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8.解方程 3?????2+????+3=3 ．
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【解析】解：移项，得 ????????????? =3- ????+???? ，
两边平方，得3x-2=9-6 ????+???? +x+3，
整理得：7-x=3 ????+???? ，
两边平方，得49-14x+x2=9(x+3)，
即x2-23x+22=0，
解得：x=1或22，
经检验x=1是原方程的解，x=22不是原方程的解，
所以原方程的解是x=1．
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9.解方程： ????+3 =3 ???? -1．
?
【解析】解：方程的两边平方，得x+3=9x-6 ???? +1，
整理，得6 ???? =8x-2，
即3 ???? =4x-1，
两边平方，得9x=16x2-8x+1，
∴16x2-17x+1=0．
∴(16x-1)(x-1)=0．
∴x1= ???????????? ，x2=1．
经检验，x=1是原方程的解．
?
所以原方程的解为：x=1．
1、解只含一个“根号”的无理方程时：

2、解只含两个“根号”的无理方程时：

将“根号项”放在方程的一边
其它“项”放在方程的另一边
然后进行平方，化为有理方程.
将两个“根号项”分别放在等号两边
两边平方后再整理，简化解题过程.
如果含两个“根号”的无理方程中还有其它“项”，
通常要经过两次平方，把原方程转化为有理方程．
课堂小结