(共9张PPT)
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
3. 两点之间所有的连线中， 最短.
a2+b2=c2
a2+b2=c2
线段
1. 一根竹竿插到水池中离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ）
A. 2m B. 2.5m C. 2.25 m D. 3m
2. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长为( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
3.如图，学校内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 .
A
C
13m
4. 如图，已知长方体的长为2 cm，宽为1 cm，高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点A爬到点C′，最短路程是多少？
5 cm
【基础训练】
1. 一只蚂蚁沿直角三角形的边爬行一周需4 s，若将直角三角形的边长均扩大至原来的2倍，那么这只蚂蚁再沿直角三角形的边爬行一周需( )
A. 8 s B. 12 s C. 16 s D. 20 s
A
2. 如图所示，圆柱的高AB=5，底面直径BC=8，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是(π取3）( )
A. 9 B. 13 C. 14 D. 25
3. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A. x2＋y2＝49 B. x－y＝2 C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
B
D
4. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高 12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为 cm.
5. 如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5 cm，高为12 cm，今有一支15 cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ．
13
2 cm
6. 使用13 m长的梯子登上建筑物，如果梯子的底部与建筑物的底部的距离不能小于5 m，则使用该梯子最多可登上 m高的建筑物.
【提升训练】
7. 如图所示，小李在玩探宝游戏，从A处出发，往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北方走到6 km处往东一拐，仅1 km就找到了宝藏．问：出发点(A处)到宝藏埋藏点(B处)的直线距离是多少？
12
10km
【拓展训练】
8. 如图，一个25m长的梯子AB，斜靠在一面竖直的墙上，已知AO为24m.如果梯子的顶端A沿墙下滑了4m，那么梯子的底部B在水平方向上也滑动了4m吗？
解：在Rt△ABO中，
∵AB＝25 m，AO＝24 m，
∴OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49.
∴OB＝7 m.
同理，在Rt△COD中，
DO2＝CD2－CO2＝252－202＝152，
∴DO＝15 m，
∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(m)．
故梯子的底部B在水平方向滑动了8 m.
9. 如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9 m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12 m处，那么这根旗杆被吹断前有多高？
解：如下图所示，
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝225，∴BC＝15 m.
∴旗杆的高＝AB＋BC＝9＋15＝24 (m)，
故这根旗杆被吹断前有24 m高．(共8张PPT)
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
直角
勾股数
5
12
10
1. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. a=2,b=3,c=4 B. a=5,b=6,c=8
C. a=5,b=12,c=13 D. a=7,b=15,c=12
C
2. 已知三角形的三边长分别为a,b,c，若(a-5)2+|b-12|+(c-13) 2=0，则△ABC的形状是( )
A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形
C. 以c为斜边的直角三角形 D. 斜三角形
3. 有以下几组数据：①3，4，5；②17，15，8；③10，6，14；④12，5，13；⑤300，160，340；⑥9，40，41.其中可以构成勾股数的有 （填序号）.
4. 若三角形三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是 .
5. 已知三角形的三边长分别是60，11，61，求三角形最长边上的高.
C
①②④⑤⑥
C
C
3. 有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为( )
A. 2，4，8 B. 4，8，10
C. 6，8，10 D. 8，10，12
4. 三角形的三边长分别为a2+b2，2ab，a2-b2 (其中a>b，且a，b都是正整数)，则这个三角形是( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 不能确定
C
A
【提升训练】
6. 若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm，则它的面积为 cm2．
直角三角形
120
7. 如图，∠ADC=90°,AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m．
（1）试判断以点A,B,C为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（2）求该图的面积．
【拓展训练】
8. 教八年级数学的王老师在一次探究性学习课中，给出下表:
(1)请你分别认真观察线段a,b,c的长与n之间的关系，用含n(n为自然数，且n>1)的代数式表示出a,b,c:
a= ，b= ，c= ；
(2)猜想:以线段a,b,c为边的三角形是否为直角三角形？说明你的理由.
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …(共10张PPT)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第2课时
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 .如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
平方和
平方
a2+b2=c2
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面积为( )
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是（ ）
A. 1 681 B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分别为 ．
B
C
3,4,5
4. 如图，阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积为 cm2．
5. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，
根据图中的尺寸（单位：mm），计算出两圆孔的中心点A和
点B之间的距离.
6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠A=60°，
∠ADC=150°，BC-CD=4，求四边形ABCD的周长.
9
150 mm
21
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上的高是（ ）
A. 4.8cm B.2.4cm C.48cm D.10cm
D
A
3. 如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为6 cm、5 cm、3 cm，有一只甲虫从顶点A沿盒的表面爬到顶点B处，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
10
4. 如图所示是由4个全等的直角三角形构成的正方形ABCD，其面积为49 cm2，若AF=4 cm，则正方形EFGH的面积为 cm2.
25
【提升训练】
5. 求阴影部分的面积：
（1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形.
(1)25 cm2
(2)51 cm2
6. 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=32+42=52，即AB=5 m.
所以矩形塑料薄膜的面积是5×20=100（m2）.
故阳光透过的最大面积是100m2.
【拓展训练】
7. 如图有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长．(共9张PPT)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之 ，三边之间存在着一种特定的 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ，较长的直角边称为 ，斜边称为 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 .如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°.
(1)若已知a，b，则c2= ；
(2)若已知a，c，则b2= ；
(3)若已知b，c，则a2= .
确定
数量
勾
股
弦
平方和
平方
a2+b2=c2
a2+b2
c2-a2
c2-b2
1. 一个直角三角形,两直角边的长分别为3和4,下列说法中正确的是（ ）
A. 斜边长为25 B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5 D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
C
C
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为 ．
4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 m.
84
12
5. 有一架飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000m处，过了20s，飞机距离这个男孩头顶5000m，那么这架飞机每小时飞行多少千米？
【基础训练】
1. 已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90°，则（ ）
A. b2=a2+c2 B.c2=a2+b2 C. a2=c2+b2 D.a+b=c
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形，∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( )
A. 5 cm B. 3 cm
C. 4 cm D. 不能确定
A
C
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= ．
4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
32
49
5. 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13 cm和5 cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．
【提升训练】
6. 如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC＝ .
7. 求下列图形中未知边的长度x和未知正方形的面积S.
30
17
因为x2=172-152=64, 所以x=8.
根据勾股定理及正方形的面积公式得S=225+100=325.
【拓展训练】
8. 学校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB=13m，BC=14m，AC=15m，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？(共6张PPT)
章末整合
【知识导图】
【体验中考】
1. (2022·贵州贵阳)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是( )
A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
2.(2021·山东滨州)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2.4
D
B
3. (2020·辽宁盘锦)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为(1 m＝3尺)( )
A. x2+102=(x+1) 2 B. (x-1) 2+52=x2
C. x2+52=(x+1) 2 D. (x-1) 2+102=x2
B
4. (2020·四川巴中)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，竹梢被折断而落在地面，与竹根部相距3尺．问：原处还有多高的竹子？( )
A. 4尺
B. 4.55尺
C. 5尺
D. 5.55尺
B
5. (2020·浙江温州)如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一条直线上，且AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DCE；
(2)连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
(1)证明：∵AB//DE，
∴∠BAC＝∠CDE.
在△ABC和△DCE中，
有AC＝DE，(∠BAC＝∠CDE，)
∴△ABC≌△DCE(AAS)．
(2)解：由(1)得BC＝CE＝5，
∴在Rt△ACE中，
AE2＝AC2＋CE2＝122＋52＝169.
∴AE＝13.
