(共7张PPT)
第二章 实数
5 用计算器开方
1. 开方运算要用到 键和 键.
2. 对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数= .
3. 对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数= .
1. 不用计算器，根据条件，直接写出结果：
0.024 27
2 427
108.7
0.108 7
5.1
【基础训练】
1. 任意输入一个你认为很大的正数，利用计算器对其进行开方运算，然后再进行开方运算……随着开方次数的增加，运算的结果( )
A. 越来越接近1 B. 越来越接近0
C. 无明显变化 D. 越来越大
A
C
1.865
5
55
555
55…5
0.843
7
50
9. 用计算器求下列各式的值：
(1)99;
(2)-√/9.89；
(3)-5000;
(4)√24-10；
(5)√/50+-358+0.129；
(6)√/3.46-0.412+1.6.
(1)9.94987;(2)-3.14484;
(3)-17.09976;(4)2.74454;
(5)0.09948;(6)5.26845.(共10张PPT)
第二章 实数
2 平方根
第2课时
平方根
二次方根
两
0本身
没有
正、负根号a
平方根
被开方数
D
A
4
-0.7
3
A
D
D
B
0
0和1
±6
81
【提升训练】
9. 若一个正数m的平方根是2a-1和a-5，则m的值是 .
10. 已知x=1-a,y=2a-5．
（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果x,y都是同一个数的平方根，求这个数．
9
解：（1）∵x的算术平方根是3，
∴1-a=9，∴a=-8；
（2）x，y都是同一个数的平方根，
∴1-a=2a-5或1-a+（2a-5）=0，
解得a=2，或a=4，
当a=2时，（1-a）=（1-2）2=1，
当a=4时，（1-a）=（1-4）2=9，
答：这个数是1或9．
【拓展训练】
11. 如果a,b是任意的两个实数，那么下列各式的值一定是负数的是（ ）
D
3
0.5
6
0
2-x
π-
3.14
（1）不一定相等，当a大于或等于0时，相等，当a小于0时，不相等.
根据计算结果，回答：
(1)√a一定等于a吗？你发现其中的规律了
吗？请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律，计算：①若x<2,则
V(x-2)2=
;②√/(3.14-π)2=(共8张PPT)
第二章 实数
7 二次根式
第1课时
分母
因数或因式
1. 下列式子中，一定是二次根式的是( )
2. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A
C
4
72
6. 一个直角三角形的斜边长是12 cm，一条直角边长是8 cm，求另一条直角边长.
C
D
B
6. 化简：
1
略
【提升训练】
7.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名
的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c(a,b,c
分别为小斜、中斜和大斜)，则该三角形的面积为
已知△ABC的三边长分别为1,2，V5,则△ABC的面积为
8.如图，方格纸中每个小方格的边长为1，画一条长为V10的线段(共7张PPT)
章末整合
【知识导图】
C
B
A
A
A
C
7. （2020·广东广州）下列运算正确的是（ ）
8. (2022·湖北武汉)下列各式计算正确的是( )
9.(2020·山东济南)下列各式是最简二次根式的是( )
D
C
A
C
1
2
2
12
问题情境
无理数的引入
算术平方根
无理数的表示
平方根
立方根
实数的应用
概念
分类
实数及其相关概念
绝对值、相反数、倒数
实数与数轴上的点一一对应
实数的运算和比较大小
二次根式的乘除
二次根式
二次根式的
化简与运算
二次根式的加减
(2022·湖南常德
2022这五个数中，无理数的个数为(
A.2个B.3个C.4个D.5个
5.(2021·浙江杭州)下列计算正确的是
A.V22=2
(-2)2=-2
C.V22=±2D.V(-2)2=±2
6.
(2022·山东潍坊)秦陵兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛
到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是((共10张PPT)
第二章 实数
6 实数
1. 有理数可以用 小数或 小数表示.无限 小数叫做无理数.
2. 和 统称为实数.实数也可以分为 、 、 .
3. 相反数、倒数、绝对值的有关概念
(1) 的两个数，称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.0的相反数是 .
(2) 的两个数互为倒数，0 倒数.
(3)一般地，数轴上表示数a的点 叫做数a的绝对值.0的绝对值是 .
(4)a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；如果a≠0，那么它的倒数
为 .
有限
无限循环
不循环
有理数
无理数
正实数
0
负实数
只有符号不同
0
乘积是1
没有
与原点的距离
0
-a
|a|
4. 实数与数轴之间的关系
(1)实数和数轴上的点是 的.
(2)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数 .
1. 若a为实数，则( )
一一对应
大
D
C
3.5，10%
4，0，2016
【基础训练】
1. 下列说法正确的是( )
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数包括正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
2. 如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( )
D
D
3. 已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子一定正确的是（ ）
4. 把下列各数填入相应的集合内：0.898 998 999 8…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)，
D
【提升训练】
8. 在数轴上近似地表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“<”连接：
【拓展训练】
9.在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，
再用“+，-，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数.(共10张PPT)
第二章 实数
4 估算
1. 无理数的估算
当被开方数在1至1 000时，可利用乘方与开方是互逆运算来确定无理数的
部分，然后根据所要求的精确度确定 部分.
2. 求一个正有理数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，通常有三种方法：(1) ；(2) ；(3) .
整数
小数
用计算器计算
查表
估算
C
C
<
3
D
B
D
>
<
13
(1)6.1; (2)8.
【提升训练】
8. 通过估算，比较下面各组数的大小：
【拓展训练】
10. 某开发区是一个长为宽的3倍的长方形，它的面积为120 000 000 m2.
(1)开发区的宽大约是多少？它有10 000 m吗？
(2)如果要求结果精确到100 m，它的宽大约为多少
(3)开发区内有一个正方形的地块将用来建管理中心，它的规划面积是8 500 m2,你能估计它的边长吗？(结果精确到1 m)
(1)因为√2430>√/100，√2430>√/10，即
/2430>10,所以√/2430≈9.8是错误的.
(2)因为9983000<1000000,9983000<1003，
即983000<100，所以983000≈125是错误的.
(3)因为9890<1000,890<10，即9890<10.
所以890≈95，显然是错误的.
(4)因为√/0.35<√/0.36，即√0.35<0.6.
又0.35>0.55，即√0.35>0.55.
所以√/0.35≈0.6是正确的.
解：(1)设开发区的宽为xm,则长为3xm
由题意，得3x2=120000000,
x2=40000000,x=1000√/40.
因为√/4010，所以开发区的宽约为几千米，
没有10000m
(2)因为√40≈6.3，因此开发区的宽大约
为6300m.
(3)设正方形的边长为ym.由题意，得y2
=8500,即y=√8500=10√85.
因为81<85<100，所以√/81<√/85<
√/100，即9<√85<10.所以√85的整数
部分为9.
又因为84.648585.5625，所以9.2
/85<9.25.
因此92<√/8500<92.5.
故管理中心的边长约为92m.(共9张PPT)
第二章 实数
2 平方根
第1课时
1. 4的算术平方根是( )
A. 4 B. ±4
C. 2 D. ±2
x2=a
1. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作 ，读作“ ”.
2. 特别地，我们规定：0的算术平方根是 ，即 .
0
C
D
0和1
0或1
6. 自由下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)满足的关系式为s=4.9 t2.有一铁球从44.1 m高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
A
D
C
4
【提升训练】
6. 通过观察，思考下列计算过程：
7. 求下列各式的值：
【拓展训练】
9. 小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m2的客厅，小明家需要购买的正方形地板砖的边长是多少？
3.一个正数扩大为原来的m(m为正数)倍，那么它的算术平方根
A.扩大为原来的m倍
B.扩大为原来的m2倍
C.扩大为原来的√m倍
D.不变
4.已知一个自然数的算术平方根是k,则该自然数的下一个自然数的算术平
方根是
5.
一个正方形的面积变为原来的，它的边长变为原来的
；一个正方形
的面积变为原来的16倍，它的边长变为原来的
倍、
解：.a+7+√/2a-3b-4=0
.∴.a+7=0且2a-3b-4=0
.'.a=-7,b=-6
将a=-7,b=-6代入a2一20b,得
a2-20b=49-20×(-6)
=49+120
=169
a2一20b的算术平方根是13.(共9张PPT)
第二章 实数
3 立方根
1. 立方根的概念
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的 (也叫做 ).
2. 立方根的表示方法
每个数a都有 个立方根，记作 ，读作“ ”.
3. 立方根的性质
正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 .
4. 求一个数a 的立方根的运算叫做 ，a叫做 .
立方根
三次方根
一
三次根号a
正数
0
负数
开立方
被开方数
B
C
±3
-2
【基础训练】
1. 下列说法中正确的是( )
A. 如果一个数的立方根是它本身，那么这个数一定是0
B. 一个数的立方根不是正数就是负数
C. 负数没有立方根
D. 一个数的立方根与这个数同号，0的立方根是0
D
B
C
C
3
±5
1或3
-2
【提升训练】
10. 计算：
11. 将半径为12 cm的铁球熔化，重新铸造8个半径相同的小铁球，若不计损耗，求小铁球的半径.
【拓展训练】
12. 求下列各式中x的值．
解：(1)4(x-3)2=9,
z32=号，
2-3=士号
x3=
过或x一3三3
2
解得x=号或号：(共9张PPT)
第二章 实数
1 认识无理数
第2课时
有限
1. 有理数可以用 小数或 小数表示.
2. 小数称为无理数.
无限循环
无限不循环
B
B
B
4
1
2
3
.
.
{π，0.12，|-6|；(-2)2}
{-2.626 626 662…，π}
B
B
D
7.3
6
3
6
【提升训练】
7. 把下列各数分别填在相应的集合内：
8. 如图所示是由五个小直角三角形组成的图形，请分别
计算出每个小直角三角形斜边的平方的值，填在下面的横线上.
x2= ，y2= ，
z2= ，a2= ，b2= .
判断x，y，z，a，b 各数中，是有理数的为 ，是无理数的为 .
5
6
7
8
9
b
x，y，z，a
【拓展训练】
9. 在下列4×4网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：
（1）三边均为有理数；
（2）其中只有一边为无理数．
已知一个圆的半径为3cm,另一个圆的面积是它的6倍，则第二个圆的半径
约为
cm(结果精确到0.1cm)
5.有6个数：0.123，(-1.5)3,3.1416，号-2r,0.2020020002,若
其中无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,则x+y+z=
6.面积分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形，边长是有理数的有个
边长是无理数的有
解：(1)由勾股
定理，得3十
D
42=52,
△ABC即为
B E
F
图1
图2
所求，
如图1所示
(2)由勾股定理，得22十22=8，
△DEF即为所求，如图2所示.(共9张PPT)
第二章 实数
7 二次根式
第2课时
合并
D
D
=
=
A
A
D
4. 计算：
【提升训练】
【拓展训练】
（2）请你将发现的规律用含自然数n （n≥2，n为自然数）的等式表示出来并证明你的猜想．
.二次根式的乘法法则和除法法则：√a·√=(a≥0，b≥0)，
Va
(a≥0，b>0)
2.二次根式也可以进行加减运算，实数的运算法则、运算律仍然适用.如
果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些
项
(/6X
(2)W/27X√3-4=
(3)/12-√3=
(w2X√日-
(5)/⑧Xy3
√6
(6)(W2-1)2=
(7)(√12-3√75)XW3=
(2)
Nnn41=√n升1n≥2，n为自然数)，
m
m
n
验证：Vnn2+1√
n(n2十1)一2
n3+n-2
n2+1
n2+1
n3
n
n
n2+1
=√n.
n2+1
n
n2+1
(n≥2，n为(共12张PPT)
第二章 实数
7 二次根式
第3课时
1. 二次根式的混合运算是指二次根式的 、 、 、 、 的混合运算.
2. (1)整式运算的 在二次根式的混合运算中仍然适用.
(2)在二次根式的运算中，多项式的 法则和 公式仍然适用.
3. 分母有理化：分子、分母同乘以一个相同的根式后使分母由 变为 .
4. 二次根式混合运算的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算 ，再算 ，最后算 ，有括号的先算 (或先去掉括号)，能用运算律的要用运算律简算.
加
减
乘
除
乘方
运算律
乘法
乘法
无理数（式）
有理数（式）
乘方
乘除
加减
括号里面的
B
D
【基础训练】
1. 下列计算中正确的是( )
2. 计算 的结果为（ ）
A
B
3. 若 ，则 的值为( )
C
【提升训练】
【拓展训练】
9.如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求点A到BC的距离．
A.√8-√2=√2
B.27,厘=g-4-1
3
C.(2-√5)(2+√5)=1
D.
6-2=3√2
√2
55XW35√W3
①
√3√3X√3
3
2×3
_6
3×3
3
②
2
2×(w3-1)
2(3-1)=√3-1.
③
√3+1
(3+1)(3-1)
(√3)2-12
以上这种化简的方法叫做分母有理化.
2
还可以用以下方法化简：
w3+1
2
3-1(W3)2-12(W3+1)(√3-1)
W3+1W3+1
√3十1
W3+1
W3-1.
④
2
(1)请用不同的方法化简
5+√3
参照③式，得
2
+3
参照④式，得
2
5+3
(2)化前：
十
√+√5
十…十
1
W2n+1+√2m-1
2X(5-√3)
(1)
2(5-3)
=√/5-√3
(5+√3)(W5-√/3)
(W5)2-(V3)
5-3
(√5)2-(3)2
(W5+3)W53)=5
√5+√3
√5+√3
√5+√3
2)原式号+西≥725+
2
/2n十1-/2n-1
2
_3-1+V5-3+√7-√5+…+√/2+1-√2n-1
2
_-1+√2n+1
2(共7张PPT)
第二章 实数
1 认识无理数
第1课时
1. 在等式x2=7中，下列说法中正确的是( )
A. x可能是整数 B. x可能是分数
C. x可能是有理数 D. x不是有理数
D
D
0,2,-5
-3
对角线长的平方为62+32=45，所以不可能是整数，不可能是分数，也不可能是有理数.
.
.
【基础训练】
1. 边长为16的等边三角形的高为h，则h是( )
A. 非有理数 B. 分数
C. 有理数 D. 整数
2. 如果一个圆的半径是2，那么这个圆的周长是( )
A. 有理数 B. 非有理数
C. 分数 D. 整数
3. 一个长方形的长与宽分别为6 cm，5 cm，它的对角线的长是( )
A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 非有理数
A
B
D
B
D
7
7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，AB=c.
(1)若a=3，b=4，则c= ；
(2)若a=5，c=13，则b= ；
(3)若a=2，b=3，则c2= ；c可能是整数吗？c可能是分数吗？请说说你的理由.
(4)若a=2，c=3，则b2= ；b可能是整数吗？b会是以2为分母的分数吗？b会是以
3为分母的分数吗？请说说你的理由.
5
12
13
5
（3）c不可能是整数，也不可能是分数，因为任何整数、分数的平方都不会是13.
（4）b不可能是整数，也不可能是以2为分母的分数，也不可能是以3为分母的分数，因为任何整数、分数的平方都不会是5.
8. 设一个正方形的面积为6，其边长是x，求x的近似值(结果精确到十分位).
【拓展训练】
9. 将下列循环小数化为分数：
x≈2.4.
