冀教版九年级数学上册第25章图形的相似单元复习题（含解析）

冀教版九年级数学上册第25章图形的相似单元复习题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD=2DB，若S△ADE=3，则S四边形DBCE=（　　）
A．12 B．15 C．24 D．27
2．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（　　）
A．4：9 B．2：3 C．3：2 D． ：
3． 如图，在中，是边上的点，，：：，则与的面积比是（　　）
A．： B．： C．： D．：
4．如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点， 且 ，那么 等于（　　）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
5．若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（　　）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
6．如图，在△ABC中，D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，且AD：DB＝3：2，则S△ADE：S四边形DECB为（　　）
A．3：2 B．3：5 C．9：25 D．9：16
7．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点O．若△BOD的面积为5，则△ABC的面积为（　　）．
A．10 B．15 C．20 D．30
8．若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（　　）
A．－4 B．9－
C．－3或9－ D．－4或12－
9．如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH~矩形HDFP~矩形PEBG，，AC交HG，EF于点M，Q，若要求的而积，需知道下列哪两个图形的面积之差（　　）
A．矩形AEPH和矩形PEBG B．矩形HDFP和矩形AEPH
C．矩形HDFP和矩形PEBG D．矩形HDFP和矩形PGCF
10．如图，在△ABC中，D、F、E分别为边BC、AB、AC上的一点，连接BE、FD，它们相交于点G，连接DE，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C．= D．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，AE=1，CE=2，DE：BC=　 　．
12．在 中， ，点 在直线 上， ，点 为 边的中点，连接 ，射线 交 于点 ，则 的值为　 　.
13．如图，在中，D是AB中点，，若的面积为6，则的面积为　 　．
14．如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于　 　 cm．
15．如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D.设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且 则m+n的最大值为　 　.
三、解答题
16． 如图，中，是中线，点在上，且，．
（1）请直接写出图中所有的相似三角形　 　 ；
（2）求线段的长．
17．如图，在 中， 是 延长线上的一点， 与 交于点 ．求证： ．
18．如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？
19．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F，若AB=4，BC=6，求DF的长．
20．在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A．
（1）求证：△DCF∽△CEB；
（2）若BC=4，CE=，tan∠CDF=，求线段BE的长．
21．如图，在菱形 中，点 在对角线 上，延长 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）已知点 在边 上，请以 为边，用尺规作一个 与 相似，并使得点 在 上.（只须作出一个 ，保留作图痕迹，不写作法）
22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在 中， 为角平分线， ，求证： 是 的完美分割线；
（2）如图②，在 中， 是 的完美分割线，且 是以 为底边的等腰三角形，求完美分割线 的长．
23．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽.
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）.以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当AB∥DE时（如图2），求AE的长.（提示：过点A作AH⊥BC交BC于点H）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC是1：9，
∵S△ADE＝3，
∴S△ABC＝3×9＝27，
则S四边形DBCE＝S△ABC S△ADE＝27 3＝24.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出AD：AB＝1：3，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出S△ADE：S△ABC是1：9，从而可求出S△ABC，进而即可算出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】∵两个相似三角形的面积比为2:3
∴两个三角形对应周长比为 ： .
故答案为：D.
【分析】相似三角形的面积比是相似比的平方；相似三角形的周长比就是相似比。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴与的面积比是
故答案为：D．
【分析】证明∽，根据面积比等于相似比的平方，即可求解．
4．【答案】B
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，又∵ =1：8，∴ =1：9，∴AE：AC=1：3．
故答案为：B．
【分析】相似三角形面积比等于对应边的比的平方，先算出面积比再开方求出对应边的比。
5．【答案】A
【解析】【解答】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，
故正确的答案为：A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AD：DB＝3：2，
∴
∴
∵S△ADE+S四边形DBCE＝S△ABC，
∴
故答案为：D.
【分析】利用DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，就可求出AD与AB的比值，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，就可求出四边形DECB的面积。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵O是三角形ABC的中线AD和BE的交点，
∴OD：AD=1：3，S△ABD=S△ABC，
而S△BOD=×OD×hOD，S△ABD= ×AD×hOD，
∴ S△BOD：S△ABD=OD：AD=1：3，
∵S△BOD=5，
∴S△ABD=3S△BOD=3×5=15，
∴S△ABC=2S△ABD=2×15=30.
故答案为：D.
【分析】根据三角形重心的性质可得OD：AD=1：2，根据三角形的面积公式可得S△BOD：S△ABD=OD：AD=1：3，然后根据线段中点定义并结合三角形的面积可求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，
当时， ，
；
当时，，
即，
，
综上，AC的长为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，利用 点C为线段AB的黄金分割点， 求解即可。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD被分割成4个小矩形，
设，则，
矩形AEPH~矩形HDFP
矩形AEPH~矩形PEBG，
矩形AEPH的面积为：
矩形HDFP的面积为：
矩形PEBG的面积为：
-
故答案为：B
【分析】设AE＝a，EP＝b，其中a＞b，根据矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，可得：DH＝，BE＝，S矩形AEPH＝AE EP，S矩形PEBG＝EP BE，S矩形HDFP＝DH AE，再由EF∥BC ，可得△AEQ∽△ABC，得比例式，则EQ=，再由图形的构成S△APQ＝S△AEQ-S△AEP=（S矩形HDFP S矩形AEPH）即可求解．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵四边形AFDE是平行四边形，
∴AE∥DF，DE∥AB，DE=AF，
∴△BFG∽△EDG，
∴，
∴，故正确；
B、∵，
∴，故错误；
C、∵DF∥AC，
∴，故错误；
D、∵，
∴．故错误．
故选A．
【分析】由四边形AFDE是平行四边形，可得AE∥DF，DE∥AB，DE=AF，根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，AE=1，CE=2，
∴△ADE∽△ABC，AE：AC=1：（1＋2）=1:3
∴DE：BC= AE：AC=
故答案为： ．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似证出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求出结论．
12．【答案】 或
【解析】【解答】分两种情况讨论：
①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．
∵DH∥CE，
∴ ．
设BH=x，则HE=3x，
∴BE=4x．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=4x．
∵EM∥HD，
∴ ．
②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．
∵DC=3DB，
∴BC=2DB．
∵BH∥CE，
∴ ．
设DH=x，则HM=2x．
∵E是AB的中点，EM∥BH，
∴ ，
∴AM=MH=2x，
∴ ．
综上所述： 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．利用平行线分线段成比例定理解答即可．
13．【答案】24
【解析】【解答】解：∵D是AB中点，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：24．
【分析】先证出，可得，即，再求出即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高，
∴CD2=AD DB，
∴BD=，
则AB=AD+BD=，
∵BC2=BD BA=×，
∴BC=，
故答案为：．
【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可．
15．【答案】
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1交于点E，作BF⊥l3交于点F，过点A作AN⊥l2交点点N，过点C作CM⊥l2交于点M，BE=m，BF=n，如图，
设AE=x，CF=y，则BN=x，BM=y，
∵BD=4，BE=m，BF=n，
∴DM=y-4，DN=4-x，CM=n，AN=m，
∵∠ABC=90°，且∠AEB=∠BFC=90°，∠CMD=∠AND=90°，
∴△AEB∽△BFC，△CMD∽△AND，
∴ ， ，
即 ， ，
∴mn=xy，y=10- x，
又∵ ,
∴n= m，
∴m+n=m+ m= m，
要使m+n最大，则只要m最大，
∵mn= m2=xy=x（10- x）=- x2+10x，
∴对称轴x= 时，（- x2+10x）最大= ，
∴ m2= ，
∴m最大= ，
∴（m+n）最大= × = .
故答案为： .
【分析】过B作BE⊥l1交于点E，作BF⊥l3交于点F，过点A作AN⊥l2交点点N，过点C作CM⊥l2交于点M，BE=m，BF=n，设AE=x，CF=y，则BN=x，BM=y，根据题意得DM=y-4，DN=4-x，CM=n，AN=m，再由相似三角形的判定和性质得 ， ，即mn=xy，y=10- x，由 得n= m，从而可得m+n= m，要使m+n最大，则只要m最大，由mn= m2=xy=x（10- x）=- x2+10x，从而可转化成二次函数的最值来做，根据二次函数的性质求得其最大值，即 m2= ，从而可得到m最大= ，从而可得m+n的最大值.
16．【答案】（1）∽，∽
（2）解：由可得∽，
，
，
，
线段的长为．
【解析】【解答】解：（1）∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠CED=∠EAC+∠ACE，∠CDE=∠BAD+∠B，∠BAD=∠ACE，
∴∠DAC=∠B，
∵∠BAD=∠ACE，∠BAD=∠ACE，
∴△AEC∽△BDA；
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BAD=∠ACE，
∴∠BAD+∠EAC=∠ACE+∠EAC，
∴∠BAC=∠ACE+∠EAC，
∵∠CED=∠EAC+ ∠ACE，
∴∠BAC=∠CED=∠CDE，
∵∠BAC=∠CDE，∠DAC=∠B，
∴△ADC∽△BAC；
故答案为：△AEC∽△BDA；△ADC∽△BAC；
【分析】（1）利用角的运算和等量代换求出角相等，再利用“AA”证出三角形相似即可；
（2）利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AC的长即可.
17．【答案】证明：∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法进行分析，由平行四边形的性质和平行线的性质分别得到 和 ,从而证得.
∵四边形 是平行四边形，
18．【答案】解：当△PBQ∽△ABC时，
，
即，
解得，
经检验：是方程的解，
当△PBQ∽△CBA时，
，
即，
解得，
经检验：是方程的解，
∴的值是或．
【解析】【分析】分两种情况：①当△PBQ∽△ABC时，②当△PBQ∽△CBA时，再利用相似三角形的性质可得或，再求出t的值即可。
19．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
，，，
，是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
即，
解得：．
【解析】【分析】先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可。
20．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC
∴∠DCE=∠BEC，∠A+∠B=180°
∵∠DFE+∠DFC=180°
又∵∠DFE=∠A
∴∠DFC=∠B
∴△DCF∽△CEB
（2）解：∵△DCF∽△CEB
∴∠CDF=∠ECB
∴tan∠CDF= tan∠ECB=
过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H
在Rt△CEH中
∴设EH=x，CH=2x
∴CE=
∵CE=
∴x=3，则有EH=3，CH=6
∵BC=4
∴BH=6-4=2
在Rt△EBH中有BE=
则BE=
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质即可得出结论；
（2）过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H，结合（1）△DCF∽△CEB，得出∠CDF=∠ECB ，得出an∠CDF= tan∠ECB=，设EH=x，CH=2x ，利用勾股定理求出x的值，进而解决问题。
21．【答案】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ .
∴ .
∴ .
（2）解：∵四边形 是菱形
∴DA=DC
∴∠DAC=∠DCA
∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出 与 相似，
尺规作图如图所示：
或
①作∠CPQ=∠AEF，步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q， 就是所求作的三角形；
②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；
∴ 就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）.
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出AD∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEF∽△CEB，根据相似三角形的对应边成比例列比例式，即可解答；
（2）根据菱形的性质得出DA=DC，则可求出∠DAC=∠DCA，根据相似三角形的判断可知只要作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，利用尺规分别作一个角等于已知角即可.
22．【答案】（1）解： ， ，
，
不是等腰三角形，
平分 ，
，
，
是等腰三角形，
， ，
，
是 的完美分割线；
（2）解： ，
，
， ，
设 ，则 ，
，
解得 ，
， ，
，
，
， ， ，
．
【解析】【分析】（1）先证明不是等腰三角形，是等腰三角形，再证明，即可得到 是 的完美分割线；
（2）根据，可得，再设 ，则 ， 将数据代入求出x的值，再根据，可得，最后将数据代入计算即可得到。
23．【答案】（1）解：存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)= ，
解得：x1= ，x2= ；
∴ “减半”矩形的长为 ，宽为 ；
（2）解：不存在.
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ，
所以正方形不存在“减半”正方形.
【解析】【分析】（1）设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可；
（2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形.
24．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠ADE＝∠B，
∴∠CDE＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BC交BC于点H，
在Rt△ABH中，设BH＝4k，
∵tanB＝＝，
∴AH＝3k，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
∴102＝（3k）2+（4k）2，
解得：k＝2或﹣2（舍去），
∴AH＝6，BH＝8，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BC＝2BH＝2×8＝16，
∵AB∥DE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠B
又有∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴BD＝＝＝，
∵AB∥DE，
∴，
∴AE＝＝＝.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，由外角的性质可得∠ADC=∠B+∠BAD，结合角的和差关系可得∠CDE＝∠BAD，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）过点A作AH⊥BC交BC于点H，设BH＝4k，则AH＝3k，在Rt△ABH中，由勾股定理可得k，则可得AH＝6，BH＝8，由等腰三角形的性质可得BC＝2BH＝16，由平行线的性质可得∠BAD＝∠ADE，证明△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质可得BD，然后根据AB∥DE以及平行线分线段成比例的性质进行求解即可.
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