冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形单元复习题（含解析）

冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形单元复习题
一、单选题
1．在 中， ， ， ，则 =（　　）
A． B． C． D．
2．cos60°的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．sinB＝ C．cosA＝ D．tanB＝2
5．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ACB值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（　　）（结果精确到0.1m，≈1.73）．
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
7．如图所示的四条射线中，表示北偏东60°的是（　　）
A．射线OA B．射线OB C．射线OC D．射线OD
8．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD=10m，楼高AB=24m，则树CD高约为（　　）
A．5m B．6m C．7m D．8m
9．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算 cos55°，按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．sin60°的值等于 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sin的值是 　 　
12．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算 时，如图.在 中， ， ，延长 使 ，连接 ，得 ，所以 .类比这种方法，计算 的值为　 　.
13．已知sina= (a为锐角)，则tana=　 　
14．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=　 　．
　
三、计算题
15．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
四、解答题
16．如图，海中有一个小岛A，它周围内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点处测得小岛A在北偏东方向，航行到达点，这时测得小岛A在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？参考数据：．
17．已知：如图，在△ABC中，AC＝10，求AB的长．
18．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京举行，全国人民掀起了雪上运动热潮．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B．若这名滑雪运动员的高度下降了300米，求他沿斜坡滑行了多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）
19．如图，轮船沿正南方向以海里时的速度匀速航行，在处观测到灯塔在其南偏西方向上，航行小时后到达处，观测到灯塔在其南偏西方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，求此时轮船离灯塔的距离由科学计算器得到，，，．
20．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
（1）求BC；
（2）求sinA．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点P为对角线BD上的动点，设BP=t(t>0)，作PH⊥BC于点H，连结EP并延长至点F，使得PF=PE，作点F关于BD的对称点G，FG交BD于点Q，连结GH，GE。
（1）求证：EG∥PQ；
（2）当点P运动到对角线BD的中点时，求△EFG的周长；
（3）在点P的运动过程中，△GEH是否可以为等腰三角形？若可以，求出t的值；若不可以，说明理由。
22．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角.综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得m，m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）.
23．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 与手臂 始终在同一直线上，枪身 与额头保持垂直量得胳膊 ， ，肘关节 与枪身端点 之间的水平宽度为 （即 的长度），枪身 ．
图1
（参考数据： ， ， ， ）
（1）求 的度数；
（2）测温时规定枪身端点 与额头距离范围为 ．在图2中，若测得 ，小红与测温员之间距离为 问此时枪身端点 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ = ，
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，由cosB=即可求出结论.
2．【答案】A
【解析】【解答】cos60°= .
故答案为：A.
【分析】可以先画出角度为30°，60°，90°的Rt三角形，此时三角形的三边满足1：：2，根据余弦为邻边比斜边可得到答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】根据勾股定理可得：AB=5，则cosA= ，故答案为：B.
【分析】结合已知，用勾股定理可求得AB的长，再根据锐角三角函数的意义得cosA=可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝ ，
故sinA＝ ，故A选项错误；
sinB＝ ，故B选项错误；
cosA＝ ，故C选项错误；
tanB＝ ＝2，故D选项正确；
故答案为：D.
【分析】分别利用未知数表示出各边长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点A作 于H.
在 中， ， ，
，
，
故答案为：C.
【分析】如图，过点A作 于H.利用勾股定理求出 ，进而根据余弦函数的定义即可解决问题.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：设CD=x，
在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，
则tan30°=CD：AD=x：AD
故AD=x，
在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
则tan60°=CD：ED=x：ED
故ED=x，
由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，
解得：x=2，
则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．
故选D．
【分析】设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：表示北偏东60°的是射线OA．
故选：A．
【分析】利用方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向，进而得出答案．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB，交AB于点E，
在Rt△ACE中，∠EAC=30°，CE=10m，
∴AC=2CE=20m，AE= =10m，
则CD=EB=AB﹣AE=24﹣10≈7m．
故选C
【分析】过C作CE⊥AB，交AB于点E，在直角三角形ACE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再利用勾股定理求出AE的长，由AB﹣AE求出EB的长，即为CD的长．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：利用该型号计算器计算 cos55°，按键顺序正确的是 ．
故选：C．
【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．
10．【答案】C
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】根据特殊角的三角函数值可知：．
故选C．
【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
11．【答案】
【解析】【解答】解：如图过点A向x轴作垂线，垂足为B，点A的坐标为(3，4)，
在Rt三角形AOB中，AB=4，BO=3，AO==5，
Sin== .
故答案为： .
【分析】如图过点A向x轴作垂线，垂足为B，点A的坐标为(3，4)，在Rt三角形AOB中，用勾股定理求得OA的值，再根据锐角三角函数sin=可求解.
12．【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= ，
∴tan22.5°= ，
故答案为： .
【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD= ，根据tan22.5°= 计算即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵（sina）2+（cosa）2=1，sina=
∴（cosa）2=1-=
∵a为锐角
∴tana=
∴tana==
【分析】根据题意，由锐角三角函数的定义，运算得到答案即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴CD=BD，
∵BE=9，BC=12，
∴CD=6，CE=9，
∴cosC= = = ，
故答案为：
【分析】由垂直平分线的定义和性质得CE=BE=9、BD=CD=6，由三角函数的定义得cosC=，据此代入数据解答即可.
15．【答案】解：tan30°cos60°+tan45°cos30°
=
=
=
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值．
16．【答案】解：如图，过点A作，垂足为．
根据题意，．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴．
又，
∴．
即．
∴．
∴没有触礁的危险．
【解析】【分析】此题考察解直角三角形的应用知识，灵活掌握三角形之间的边角关系是解题的关键，此题难度一般。
17．【答案】作AD⊥BC于D点，如图所示，
在Rt△ADC中，AC=10，sinC=，
∴AD=ACsinC=10×=8，
在Rt△ABD中，sinB=，AD=8，
则AB=．
【解析】【分析】过A作AD垂直于BC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，由AC与sinC的值，利用正弦函数定义求出AD的长，在直角三角形ABD中，由AD与sinB的值，利用正弦函数定义即可求出AB的长．
18．【答案】解：在Rt△ABC中，AC=300米，∠ACB=90°，∠ABC=34°，
则AB=AC÷sin34°=300÷0.56≈535.7m．
答：他沿斜坡大约滑行了535.7米．
【解析】【分析】通过在Rt△ABC中，sinB=sin34°=，即可根据AB=AC÷sin34°求出AB的值。
19．【答案】解：如图，过点作于点，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点处，海里，
，，，
，
，
是等腰三角形，即海里，
，
海里．
答：此时轮船离灯塔的距离海里．
【解析】【分析】
过点P作PA⊥MN于点A，构造直角三角形，根据PA=sin∠PNA×PN，结合已知条件求出PA即可得轮船离灯塔的距离。
20．【答案】（1）解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
，
（2）解：sinA=．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵点F与点G关于BD对称，
∴FG⊥BD，FO=QG.
∵PF=PE，
∴PO是△EFG的中位线，
∴EG∥PQ
（2）解：∵PH⊥BC，DC⊥BC，
∴PH∥DC，
∴
当P为BD的中点时，即BP=PD，
∴BH=CH，此时点E与点H重合，如图2，
∴PH= DC= AB= ×6=3
∴EF=AB=6
在Rt△BCD中，BC=8，CD=6，
∴BD=10，
∴△BCD的周长=6+8+10=24.
∵EG∥BD，
∴∠G=∠POF=90°=∠C
∵∠FPQ=∠BPH=∠BDC，
∴∠PFQ=∠CBD，
∴△BCD∽△FGE，
∴
即
∴△EFG的周长为
（3）解：在Rt△BPH中，BP=t，cos∠PBH=
∴ ，则BH=
∵E是BC的中点，
∴BE=CE= BC=4，
在点P的运动过程中，△GEH可以为等腰三角形，有以下三种情况：
①当EH=EG=4- t时，如图3
在Rt△EMG中，cos∠MEG=cos∠PBH=
∴
∴EM= EG= (4- t)=5-t
∴BM=BE-EM=4-(5-t)=t-1，
由(1)知：PQ= EG=2- t
∴BQ=BP-PQ=t-(2- t)= t-2
在Rt△BQM中，cos∠QBM=
即
解得t=2(8分)
②当EG=GH时，如图4，过点G作GK⊥BC于点K，
∴EK=KH= ，
cos∠KEG=
∴EG= EK，ER= EG= · EK= EK= （2- t）=
∴BR=4-ER=4-
∵PQ= EG=
∴BQ=BP-PQ=
在Rt△BQR中，cos∠QBR=
即
解得t=
③当EH=EG时，如图5，延长FG交BC于K，
∵EH=EG=4- t，
∴PQ=2- t
∴BQ=t+PQ=2+ t
在Rt△EGK中，cos∠GEK=
EK= (4- t)=5-t，
∴BK=4+5-t=9-t，
在Rt△BQK中，cos∠QBK=
∴t=
综上，t的值为2或 或 时， △GEH为等腰三角形
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质，可知FG⊥BD，FO=QG，再由PF=PE，可知PO是△EFG的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论。
（2）易证PH∥DC，利用平行线分线段成比例定理可得比例线段，利用线段中点的定义，可得到BP=PD，BH=CH，此时此时点E与点H重合，如图2，就可求出PH，EF，AB的长，利用勾股定理求出BD的长，从而可求出△BCD的周长；再证明△BCD∽△FGE，利用相似三角形的性质，可求出△EFC的周长。
（3）在Rt△BPH中，利用解直角三角形可表示出BH的长，再求出BE，CE的长；在点P的运动过程中，△GEH可以为等腰三角形，有以下三种情况：①当EH=EG=4-t时，利用解直角三角形，用含t的代数式表示出EM，BM，PQ，BQ的长， 在Rt△BQM中，利用解直角三角形建立关于t的方程，解方程求出t的值；②当EG=GH时，如图4，利用同样的方法可求出t的值；过点G作GK⊥BC于点K，③当EH=EG时，如图5，延长FG交BC于K，用含t的代数式表示出EH，EG，PQ，BQ的长；在Rt△EGK中，利用解直角三角形分别表示出EK，BK的长，然后在Rt△BQK中，利用解直角三角形建立关于t的方程，解方程求出t的值。
22．【答案】（1）解：在中，
（2）解：如图，延长交于点，
中，
是等边三角形
答：灯管支架的长度约为.
【解析】【分析】（1）根据∠AED的正切函数就可求出AD的值；
（2）延长FC交AB于点G，由AF=AE+EF可得AF，根据三角函数的概念可得AG，由余角的性质可得∠AGF=60°，推出△DGC为等边三角形，然后根据DC=DG=AG-AD进行计算.
23．【答案】（1）解：过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt△BMK中，
，
∴∠BMK ，
∴∠MBK=90 - =23.6 ，
∴∠ABC=23.6 +90 =113.6 ，
答：∠ABC的度数为113.6
（2）解：延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90 ，
∴∠BMN ，∠BMK ，
∴∠NMH ，
在Rt△NMH中，
，
∴ (cm)，
∴枪身端点A与小红额头的距离为 (cm)，
∵ ，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【解析】【分析】（1）先求出MK=16.8cm，再求出 ∠BMK ， 最后求解即可；
（2）先求出∠NMH=45°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
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