冀教版九年级数学上册第28章圆单元复习题（含解析）

冀教版九年级数学上册第28章圆单元复习题
一、单选题
1．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为(　　)

A．5米 B．8米 C．7米 D．5 米
2．下列四条圆弧与直角三角板的位置关系中，可判断其中的圆弧为半圆的是（　　）
A． B．
C． D．
3．一个扇形的半径为8cm，弧长为 cm，则扇形的圆心角为（　　）
A．60° B．120° C．150° D．180°
4．如图，已知A，B，C在⊙O上， 为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（　　）
A．∠B+∠C B．4∠B C．4∠A D．2∠C
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数是（　　）
A．15° B．24° C．39° D．63°
6．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A=100°，则∠C的度数为（　　）
A．100° B．90° C．80° D．70°
7．如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
8．下列四边形中，一定有外接圆的是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
9．如图，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，点D是直径AB上的一点，若OA=5cm，AC=8cm，则CD的长度不可能是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
10．如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD等于（　　）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题
11．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是　 　．
12．若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长　 　．
13．已知⊙O上有两点A、B，且圆心角∠AOB=40°，则劣弧AB的度数为　　 　 °．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝116°，则∠ADC的角度是　 　．
三、解答题
15．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，求⊙O的半径．
16．如图， ，D、E分别是半径OA和OB的中点，试判断CD与CE的大小关系，并说明理由.
17．如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F.
求证： .
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， =．过点C作CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：AE=CE．
（2） 若AE=3，DE=，求∠'ABC的度数．
19．如图，在一个半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形.
（1）求这个扇形的面积（保留）；
（2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径.
20．如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB=AD，连结BC、DC．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）延长AB、DC交于点E，若EC=5cm，BC=3cm，求四边形ABCD的面积．
21．如图，正方形网格中有—段弧，弧上三点 ， ， 均在格点上．
（1）圆心 的坐标是（　 　）， 　 　．
（2）求 的长度．
22．如图， 、 是 的两条弦，且 ，点 是弧BC的中点，连接并延长 、 ，分别交 、 的延长线于点 、 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径.
23．
（1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，，，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则的度数为　 　°；
（2）【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，，点D、E在直线BC上，连接AD、AE，若，，求△ADE面积的最小值；
（3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知，米，，为节约修建成本，需使修建后△ADE的面积尽可能小，问△ADE的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】设圆心为O，根据垂径定理可以得到AD=12，连接OA，根据勾股定理可以求出OD=5，所以CD=13-5=8米.
【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点，熟练掌握垂径定理.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵90°的圆周角所对的弦是直径，
∴其中的圆弧为半圆的是D.
故答案为：D.
【分析】由90°的圆周角所对的弦是直径可求解。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得： = ，
解得：n=120°，
故答案为：B．
【分析】根据弧长公式l=建立方程，求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠AOB是圆心角，∠C是圆周角，
它们所对的都是AB弧，
∴∠AOB=2∠C，
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC，如图，
∵∠ACD=∠ABD=63°，∠DCO=24°，
∴∠ACO=∠ACD-∠DCO=63°-24°=39°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=39°，
∴∠BDC=∠A=39°.
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠ACD=∠ABD=63°，得出∠ACO=∠ACD-∠DCO=39°，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=39°，根据圆周角定理得出∠BDC=∠A=39°，即可得出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得∠A+∠C=180°，
所以∠C=180°﹣100°=80°．
故选C．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，然后把∠C的度数代入计算即可
7．【答案】A
【解析】【解答】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度．因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，得到△ABC是直角三角形，由要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，得到它的外心在斜边AB的中点处.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵有外接圆的条件四边形必须对角互补，
∴只有矩形一定有外接圆，
故选：C．
【分析】根据有外接圆的条件四边形必须对角互补，即可得出答案．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：连接BC，过C作CD⊥AB，
∵OA=5cm，AB是⊙O的直径，
∴AB=10cm，∠ACB=90°，
∵AC=8cm，
∴BC=6cm，
∴CD= = =4.8cm，
∵点D是直径AB上的一点，
∴4.8cm≤CD≤8cm，
∴CD的长度不可能是4cm，
故选A．
【分析】连接BC，过C作CD⊥AB，根据已知条件得到AB=10cm，∠ACB=90°，根据勾股定理得到BC=6cm，根据三角形的面积公式得到CD= = =4.8cm，于是得到4.8cm≤CD≤8cm，即可得到结论．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OB，OA，
∵点B是的中点，
∴OB垂直平分AC，
∴∠AEO=∠AEB=90°，
∴OA2-OE2=AE2，AB2-BE2=AE2.
∴OA2-OE2=AB2-BE2，
∴32-（3-BE）2=22-BE2，
解之：BE=
∵点B是AD的中点，点E是AC的中点，
∴BE是△ADC的中位线，
∴CD=2BE=.
故答案为：D
【分析】连接OB，OA，利用垂径定理可证得OB垂直平分AC，利用勾股定理可以推出OA2-OE2=AB2-BE2，代入相关数据求出BE的长，再证明BE是△ADC的中位线，利用三角形中位线定理，可得到DC=2BE，即可求出CD的长。
11．【答案】6π
【解析】【解答】解：该扇形的面积S= =6π．
故答案为：6π．
【分析】直接利用扇形的面积公式代入计算.扇形的面积=.
12．【答案】4
【解析】【解答】设这个圆锥的底面半径是R，
∴2πR=120π× ，
∴R=4．
故答案为：4．
【分析】根据扇形的弧长公式即可得出答案.
13．【答案】40
【解析】【解答】解：∵∠AOB=40°，
∴劣弧AB的度数为40°；
故答案是：40．
【分析】根据圆心角与弧的定义解答即可．
14．【答案】58°
【解析】【解答】∵∠AOC和∠ADC都对 ，
∴∠ADC= ∠AOC= ×116°=58°．
故答案为：58°．
【分析】直接利用圆周角定理求解．
15．【答案】解：过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是矩形，连接OA．
∵AB=CD，AB⊥CD，
∴OM=ON，
∴矩形OMEN是正方形．
∵CE=1，ED=3，
∴CD=1+3=4，
∵ON⊥CD
∴CN=CD=2，
∴EN=OM=1，
同理：AM=2．
在直角△AMO中，OA==．
【解析】【分析】过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是正方形，利用垂径定理即可求得OM，AM的长度，然后在直角△AOM中利用勾股定理即可求得OA的长度．
16．【答案】解：CD=CE.
理由：连接OC，
∵D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD= OA，OE= OC，
∵OA=OB，
∴OD=OE，
又∵AC=BC，
∴∠DOC=∠EOC，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△CDO≌△CEO（SAS），
∴CD=CE.
【解析】【分析】首先连接OC，由 ，根据弧与圆心角的关系，可得∠COD=∠COE，又由D、E分别是半径OA和OB的中点，可得OD=OE，则可利用SAS，判定△COD≌△COE，继而证得结论.
17．【答案】证明：连接BE、AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠ABE＝∠BAF，
∴ .
【解析】【分析】连接BE、AF，由圆周角定理得∠AEB＝∠AFB＝90°，由等腰三角形性质得∠CAB＝∠CBA，推出∠ABE＝∠BAF，据此证明.
18．【答案】（1）证明：如图，作BF⊥CE于点F．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180° ，得∠BCD= 90°．
又由∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90° ，得∠BCF=∠D．
∵，∴BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE，∴BF=CE．
∵AE=BF，∴AE= EC．
（2）解：由(1)，得AE=CE=3．在Rt△CDE中，DE= ，CE=3，∴CD=，
∴DE= CD，∴∠DCE=30°，∠D=60°．∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC=120°．
【解析】【分析】（1）作BF⊥CE于点F，由圆内接四边形的性质可求出∠BCD的度数，根据同角的余角相等可得∠BCF=∠D，结合已知用角角边可证Rt△BCF≌Rt△CDE，由全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）的结论可得AECE，在Rt△CDE中，用勾股定理可求出CD的值，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得∠DCE=30°，∠D=60°，然后根据圆内接四边形的对角互补可求解.
19．【答案】（1）解：如图，连接，∵，
∴为的直径，
∵为扇形，∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∴这个扇形的面积
（2）解：设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得的长即为底面圆的周长
∵扇形中，的长，
∴，解得，即围成的这个圆锥的底面圆的半径为1.
【解析】【分析】（1）连接AB，则AB为直径，进而推出△PAB为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出PA的值，然后根据扇形的面积公式进行计算；
（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r，由题意得的长即为底面圆的周长，根据弧长公式求出的长，然后由圆的周长公式就可求出半径.
20．【答案】（1）证明：∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC=∠D=90°，
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC
（2）由（1）知Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴CD=BC=3，AD=AB，
∴DE=5+3=8，
∵∠EAD=∠ECB，∠D=∠EBC=90°，
∴△EAD∽△ECB，
∴ ，
∵BE= =4，
∴ ，
∴AD=6，
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=2× ×3×6=18cm2
【解析】【分析】（1）由AC是圆O的直径，得到∠ABC=∠D=90°，根据直角三角形全等的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知Rt△ABC≌Rt△ADC，得到CD=BC=3，AD=AB，DE=5+3=8，通过△EAD∽△ECB，得到比例式 ，求得AD=6，即可得到结果．
21．【答案】（1）（-2，0）；
（2）解： 的长度= = ．
【解析】【解答】（1）如图所示：圆心P的坐标为：（ 2，1），
∵AP＝PC＝ ，AC＝2 ，
∴AP2＋PC2＝AC2，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴∠CAP＝45°，
∴cos∠CAP＝ ，
故答案是： 2，1， ；
【分析】（1）根据圆心P的坐标，AP＝PC＝ ，AC＝2 ，得出AP2＋PC2＝AC2，△APC是等腰直角三角形，即可得出cos∠CAP的度数；
（2）根据弧长公式即可得出 的长度 。
22．【答案】（1）解： ，
，
点 是 的中点，
∴，
∴，
∴，
，
在 中，
，
又 ∵，
，
，即
（2）解：连接 ，
由（1）知 ，
是 的直径，
，
又 ，
在 中， ，
令 ，在 中，由 ，得 ，
解得 ，即 ，
在 中， ，
的半径为
【解析】【分析】（1）利用已知证明弧ACD和弧ABD相等，利用圆周角定理可证得∠ACD和∠ABD是直角；再利用ASA证明△ACF和△ABE全等，利用全等三角形的对应边相等，可知CF=BE；再证明BD=CD，然后可证得结论。
（2）连接AD，利用圆周角定理可证得∠DCE=90°，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB的长，即可得到AC的长；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD的长，从而可求出圆的半径。
23．【答案】（1）60
（2）解：S△ADE=DE·AB=3DE，
∴当DE取最小值时，△ADE面积取最小值.
作△ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊥DE于H，
则∠DOE=2∠DAE=120°，
由OD=OE知，∠ODH=30°，
∴OD=2OH，
∵OA+OH≥AB，
∴OA+OA≥6，
即OA≥4，OH≥2，
由垂径定理得：DE=2DH=2OH≥，
此时，A、O、H共线，AD=AE，
∴△ADE面积的最小值为：3×=.
（3）解：过C作CH⊥AE于H，如图所示，
设BD=x，EF=y，
∵∠ABC=90°，AE∥BC，
∴四边形ABCF为矩形，
∵AB=BC=40
∴四边形ABCF为正方形，
由tan∠E=tan∠BCD知，，
即，
∴y=，
即xy=1600，
∵，
∴=80，
当x=y时取等号，即x+y的最小值为80，
又△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积，
即△ADE的面积=1600+20（x+y）≥1600+20×80=3200，
综上所述，△ADE的面积的最小值为3200 m2.
【解析】【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BCD=360°－∠A－∠ABC－∠ADC=120°，
∴=180°－∠BCD=60°，
故答案为：60；
【分析】（1）利用四边形内角和定理即可求解；
（2） 由S△ADE=DE·AB=3DE，可知当DE取最小值时，△ADE面积取最小值；作△ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊥DE于H， 由于 OA+OH≥AB， 可得OA+OA≥6， 从而得解；
（3）过C作CH⊥AE于H， 可得四边形ABCF为正方形，由tan∠E=tan∠BCD知 ，可得 xy=1600，根据 =80，当x=y时取等号，即x+y的最小值为80， 由△ADE的面积=正方形ABCF面积+三角形BCD面积+三角形CEF面积，即可求解.
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