初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 第一单元测试卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020七下·高邑月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若(的乘积中不含x2和x3的项，则ab的值为（ ）
A． B．3 C． D．-3
3．设(，则单项式A等于（ ）
A．8ab B．-8ab C．8b2 D．4ab
4．（2022七下·毕节月考）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·长春月考）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图1，有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片、长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张，要拼一个边长为a+b的正方形（如图2所示），则需要1张A类纸片、1张B类纸片和⒉张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2023八上·平潭月考）已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2023八上·长春期中）国际数学家大会是数学界的最高水平盛典，大合邀请著名数学粽子者，交流报告数学最新迸展和成果，由承办国的国泉元曾颁发世界数学最高奖——菲尔兹奖.2002年在北京召开了国数学家大会，会标图案是我国古代著名的”赵爽弦图”．图中包合四个面积为24的全等的直角三角形，围成的大正方形面积为100．则直角三角形中较长直角边与较短直角边的长度差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2023八上·兴县期中）如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·开州开学考）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘得到，将第项加上得到第项以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列个结论：
第项为；
；
若第项的值为，则．
以上结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023八上·巴州期中）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是 ．
12．（2023八上·衡阳月考）已知的展开式中不含和项，则 ．
13．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为 ．
14．（2019七上·义乌月考）观察下列各数，按照某种规律在横线上填上一个适当的数。
， ， ， ， ， .
15．（2023七下·东阳期中）如图，长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为6的小正方形及正方形．
（1）若阴影部分与为正方形，且的面积为1，则 ．
（2）若3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为 ．
三、综合题
16．（2021八上·内江开学考）
（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
17．（2023八上·吉林期中）如图
（1）数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积，
甲、乙两名同学表示的式子是：甲：10×6-10x-6x；乙：（10- x）（6-x）．
正确的学生是
（2）如图②，有一块长为（8a+3b）米。宽为（7a-3b）米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路。其余进行绿化。已知两条道路的宽分别为2a米和3a米，求绿化的面积．（用含a，b的式子来表示）
18．（2023九上·长春月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设，其中、、、均为整数，则有，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，填空： ．
（3）若，且、、均为正整数，求的值．
19．（2023七下·泗阳期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 .
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 .
20．（2023七下·顺义期末）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，．
（1）①，②，③中和为45的是 ；（填写编号）
（2） ；
（3） ；（用含n的式子表示）
（4）若，则 ， ， ．
21．（2023七下·石阡期中）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
（1）比较，，的大小；
（2）比较，，的大小．
22．（2023七下·石阡期中）如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表示）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．
解：原式
．
请仿照康康的解题过程计算：．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方
【解析】【解答】解： 、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
∵乘积中不含x2和x3的项，
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式得计算法则化简得到原式为，再根据题意得到求出a和b的值，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式和整式的加减法计算法则即可求解.
4．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2-b2，
第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
由面积相等可知，a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：A.
【分析】利用大正方形的面积-小正方形的面积表示第一个图形阴影部分的面积，根据矩形的面积计算方法表示出第二个图形阴影部分的面积，由两个图形阴影部分的面积相等即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，A不符合题意；
B、（ x＋y）（x y）＝ ，不符合平方差公式的特点，B不符合题意；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，C符合题意；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式判断各选项即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵A类正方形的边长为a，B类正方形的边长为b，C类长方形的边长分别为a和b
∴A类正方形的面积为a2，B类正方形的面积为b2，C类长方形的边面积分别为ab
∴要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形的面积为(3a+b)(2a+2b)=
∴需要C类纸片8张。
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积公式列出式子，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后合并同类项化简，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】 根据完全平方公式得到待求式等于，进而即可求解.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
根据题意得：，
∴，
∴
∴ a-b=2
故答案为.A
【分析】本题考查完全平方公式的变形应用。设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，根据题意得出，，则可得a-b的值.
9．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意可得：
被墨水覆盖的部分=（x2+x-1）×（-x）=，
故答案为：B.
【分析】利用单项式乘多项式的计算方法求解即可.
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，可知：
第1项是：x+1，
第2项是：x +x+1，
第3项是：x +x +x+1，
第4项是：x4+x +x +x+1，①正确；
第5项是：x5+x4+x +x +x+1，，②错误；
若第2023项的值为0，即x2023+x2022+x2021+···+x4+x +x +x+1=0
则=0
∴ x2024=1，③正确；
故答案为C
【分析】本题考查整式的运算和找规律问题。根据题干的运算方法，分别计算出第2项，的值，第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值等等，找出整式之间的运算规律是解题关键。
11．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 根据题意
故填：3
【分析】观察已知条件中的a、b、c三个式子，式子表面复杂但是它们的差是很简单的数，由此指引我们尽量在所求式子中找它们的差的影子；另一方面，所求代数式有规律，而且都是二次项，很容易联想到完全平方公式，但缺少系数2，故各项都乘以2，再在括号外面乘以，原式进行恒等变形后代入求值即可。
12．【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴m-3=0，2-3m+n=0
∴m=3，n=7
∴m+n=10
故答案为：10.
【分析】本题考查整式乘法的计算方法，熟知整式乘法中多项式乘以多项式计算法则是解题关键，根据多项式乘以多项式计算法则展开合并，结合展开式中不含，可得m-3=0，2-3m+n=0解得m，n的值，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长是x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
解得x=3
则原花园的面积为.
故填：9
【分析】设原正方形的边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
14．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【解答】解：，，，，
；
由此可得：第n项为， 则第6项为.
故答案为：.
【分析】依次分别求出每项数值和项数的关系，得出一般规律，照此求出第6项数值即可.
15．【答案】（1）25
（2）100
【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）阴影部分S2为正方形，且S2的面积为1，
∴阴影部分S2的边长为1，
∵小正方形DEFG的边长为6，
∴阴影部分S3的边长为：6-1=5，
∴S3=52=25；
故答案为：25；
（2）设长方形ABCD的长为a，宽为b，
∵正方形ALMN的边长为8，正方形HIJK的边上为6，
∴S1的长为：8-6=2，宽为：b-8，S2的长为：8+6-a=14-a，宽为：6+6-b=12 -b，S3的长为：a-8，宽为：b-6，
∴S1=2(b-8），S2=(14-a)(12-b)，S3=(a-8)(b-6)，
∵2S3+S1-S2=12，
∴2(a-8) (b-6)+2(b-8)-(14-a)(12 -b)=12，
∴2(ab-6a-8b+48)+2b-16-(168-14b-12a +ab)=12，
∴ab-88=12，
∴ab=100.
故答案为：100.
【分析】 （1）由题意可求得阴影部分S2的边长，从而可求S3的边长，根据正方形的面积公式求解即可；
（2）设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可用含a、b的式子分别表示出S1、S2、S3的长、宽及面积，进而根据2S3+S1-S2=12，可求得ab的值，从而此题得解.
16．【答案】（1）解：∵m+4n=3
∴2m 16n=2m 24n=2m+4n=23=8；
（2）解：∵ x2n＝4
∴ （x3n）2﹣2（x2）2n=（x2n）3-2（x2n）2=43-2×42=64-32=32.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用已知可得到m+4n=3，再将代数式转化为2m+4n；然后整体代入求值.
（2）将代数式转化为（x2n）3-2（x2n）2，再整体代入进行计算即可.
17．【答案】（1）乙
（2）解： 绿化部分的长为8a+3b-3a=5a+3b；宽为7a-3b-2a=5a-3b
则绿化的面积=（5a+3b）（5a-3b）=25a2-9b2
【知识点】多项式的概念；多项式乘多项式
【解析】【分析】本题考查多项式和长方形面积。根据长方形的面积公式和图形的平移，表示出空白地方的长和宽，则可得面积的表达式。
18．【答案】（1）m +5n ；2mn
（2）6；2；1；1
（3），，
，
而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，；
（2）由（1）可得：m=1，n=1时，a=6，b=2，
故答案为：6；2；1；1；
【分析】（1）利用完全平方公式展开，再利用待定系数法可得，；
（2）利用（1）的结论直接求解即可；
（3）先求出，或者，，再分类讨论：①当，时，②当，时，分别代入计算即可.
19．【答案】（1）
（2）解：∵
，
∴
（3）104
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）解：∵大正方形的面积，
又∵大正方形的面积，
∴.
故答案为：；
（3）解：由（1）中得到的结论可得：，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：104.
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得：大正方形的面积为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，由图形可得大正方形的边长为(a+b+c)，结合正方形的面积公式可得其面积，然后根据两种情况表示出的面积相等进行解答；
（2）(a+b+c)2=[(a+b)+c]2，然后结合完全平方公式进行验证；
（3）由（1）中得到的结论(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可得：a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)，然后代入进行计算.
20．【答案】（1）①③
（2）15
（3）
（4）4；；20
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） =1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
②=9+10+11+12=42，
③=14+15+16=45，
∴和为45的是①③，
故答案为：①③；
（2） =(1+3)+(1+4)+(1+5)=15，
故答案为：15；
（3） =(2-3)+(2-4)+(2-5)+…+(2-n)
=2(n-2)-3-4-5-……-n
=2(n-2)-(3+4+5+……+n)
=2(n-2)-
=；
故答案为：；
（4）∵3x2+px+m中二次项系数为3，
∴n=4，
∴=(x-2)(x-1)+(x-3)(x-2)+(x-4)(x-3)
=x2-3x+2+x2-5x+6+x2-7x+12
= 3x2-15x+20，
∵，
∴3x2-15x+20=3x2+px+m，
∴p=-15，m=20，
故答案为：4；-15；20.
【分析】（1）根据题意，利用有理数的加法法则计算求解即可；
（2）根据题意，利用有理数的加法法则计算求解即可；
（3）根据题意，利用有理数的加减法则计算求解即可；
（4）利用多项式乘多项式法则计算求解即可。
21．【答案】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴．
【知识点】幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方计算求解即可；
（2）利用幂的乘方计算求解即可。
22．【答案】（1）；；
（2）解：
，
∴原式的值为．
（3）解：证明：设一个奇数为，则另一个比它大且相邻的奇数为，
∴
，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： ， ，
∵，
∴ ，
故答案为： ； ； .
【分析】（1）利用正方形和矩形的面积公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）利用平方差公式计算求解即可。
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 第一单元测试卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020七下·高邑月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方
【解析】【解答】解： 、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
2．若(的乘积中不含x2和x3的项，则ab的值为（ ）
A． B．3 C． D．-3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
∵乘积中不含x2和x3的项，
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式得计算法则化简得到原式为，再根据题意得到求出a和b的值，即可求解.
3．设(，则单项式A等于（ ）
A．8ab B．-8ab C．8b2 D．4ab
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式和整式的加减法计算法则即可求解.
4．（2022七下·毕节月考）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2-b2，
第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
由面积相等可知，a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：A.
【分析】利用大正方形的面积-小正方形的面积表示第一个图形阴影部分的面积，根据矩形的面积计算方法表示出第二个图形阴影部分的面积，由两个图形阴影部分的面积相等即可得出结论.
5．（2021八上·长春月考）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，A不符合题意；
B、（ x＋y）（x y）＝ ，不符合平方差公式的特点，B不符合题意；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，C符合题意；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式判断各选项即可得出答案。
6．如图1，有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片、长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张，要拼一个边长为a+b的正方形（如图2所示），则需要1张A类纸片、1张B类纸片和⒉张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵A类正方形的边长为a，B类正方形的边长为b，C类长方形的边长分别为a和b
∴A类正方形的面积为a2，B类正方形的面积为b2，C类长方形的边面积分别为ab
∴要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形的面积为(3a+b)(2a+2b)=
∴需要C类纸片8张。
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积公式列出式子，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后合并同类项化简，即可得出答案.
7．（2023八上·平潭月考）已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】 根据完全平方公式得到待求式等于，进而即可求解.
8．（2023八上·长春期中）国际数学家大会是数学界的最高水平盛典，大合邀请著名数学粽子者，交流报告数学最新迸展和成果，由承办国的国泉元曾颁发世界数学最高奖——菲尔兹奖.2002年在北京召开了国数学家大会，会标图案是我国古代著名的”赵爽弦图”．图中包合四个面积为24的全等的直角三角形，围成的大正方形面积为100．则直角三角形中较长直角边与较短直角边的长度差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
根据题意得：，
∴，
∴
∴ a-b=2
故答案为.A
【分析】本题考查完全平方公式的变形应用。设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，根据题意得出，，则可得a-b的值.
9．（2023八上·兴县期中）如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意可得：
被墨水覆盖的部分=（x2+x-1）×（-x）=，
故答案为：B.
【分析】利用单项式乘多项式的计算方法求解即可.
10．（2023九上·开州开学考）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘得到，将第项加上得到第项以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列个结论：
第项为；
；
若第项的值为，则．
以上结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，可知：
第1项是：x+1，
第2项是：x +x+1，
第3项是：x +x +x+1，
第4项是：x4+x +x +x+1，①正确；
第5项是：x5+x4+x +x +x+1，，②错误；
若第2023项的值为0，即x2023+x2022+x2021+···+x4+x +x +x+1=0
则=0
∴ x2024=1，③正确；
故答案为C
【分析】本题考查整式的运算和找规律问题。根据题干的运算方法，分别计算出第2项，的值，第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值等等，找出整式之间的运算规律是解题关键。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023八上·巴州期中）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 根据题意
故填：3
【分析】观察已知条件中的a、b、c三个式子，式子表面复杂但是它们的差是很简单的数，由此指引我们尽量在所求式子中找它们的差的影子；另一方面，所求代数式有规律，而且都是二次项，很容易联想到完全平方公式，但缺少系数2，故各项都乘以2，再在括号外面乘以，原式进行恒等变形后代入求值即可。
12．（2023八上·衡阳月考）已知的展开式中不含和项，则 ．
【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴m-3=0，2-3m+n=0
∴m=3，n=7
∴m+n=10
故答案为：10.
【分析】本题考查整式乘法的计算方法，熟知整式乘法中多项式乘以多项式计算法则是解题关键，根据多项式乘以多项式计算法则展开合并，结合展开式中不含，可得m-3=0，2-3m+n=0解得m，n的值，即可得出答案.
13．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长是x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
解得x=3
则原花园的面积为.
故填：9
【分析】设原正方形的边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
14．（2019七上·义乌月考）观察下列各数，按照某种规律在横线上填上一个适当的数。
， ， ， ， ， .
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【解答】解：，，，，
；
由此可得：第n项为， 则第6项为.
故答案为：.
【分析】依次分别求出每项数值和项数的关系，得出一般规律，照此求出第6项数值即可.
15．（2023七下·东阳期中）如图，长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为6的小正方形及正方形．
（1）若阴影部分与为正方形，且的面积为1，则 ．
（2）若3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为 ．
【答案】（1）25
（2）100
【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）阴影部分S2为正方形，且S2的面积为1，
∴阴影部分S2的边长为1，
∵小正方形DEFG的边长为6，
∴阴影部分S3的边长为：6-1=5，
∴S3=52=25；
故答案为：25；
（2）设长方形ABCD的长为a，宽为b，
∵正方形ALMN的边长为8，正方形HIJK的边上为6，
∴S1的长为：8-6=2，宽为：b-8，S2的长为：8+6-a=14-a，宽为：6+6-b=12 -b，S3的长为：a-8，宽为：b-6，
∴S1=2(b-8），S2=(14-a)(12-b)，S3=(a-8)(b-6)，
∵2S3+S1-S2=12，
∴2(a-8) (b-6)+2(b-8)-(14-a)(12 -b)=12，
∴2(ab-6a-8b+48)+2b-16-(168-14b-12a +ab)=12，
∴ab-88=12，
∴ab=100.
故答案为：100.
【分析】 （1）由题意可求得阴影部分S2的边长，从而可求S3的边长，根据正方形的面积公式求解即可；
（2）设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可用含a、b的式子分别表示出S1、S2、S3的长、宽及面积，进而根据2S3+S1-S2=12，可求得ab的值，从而此题得解.
三、综合题
16．（2021八上·内江开学考）
（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m 16n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【答案】（1）解：∵m+4n=3
∴2m 16n=2m 24n=2m+4n=23=8；
（2）解：∵ x2n＝4
∴ （x3n）2﹣2（x2）2n=（x2n）3-2（x2n）2=43-2×42=64-32=32.
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用已知可得到m+4n=3，再将代数式转化为2m+4n；然后整体代入求值.
（2）将代数式转化为（x2n）3-2（x2n）2，再整体代入进行计算即可.
17．（2023八上·吉林期中）如图
（1）数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积，
甲、乙两名同学表示的式子是：甲：10×6-10x-6x；乙：（10- x）（6-x）．
正确的学生是
（2）如图②，有一块长为（8a+3b）米。宽为（7a-3b）米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路。其余进行绿化。已知两条道路的宽分别为2a米和3a米，求绿化的面积．（用含a，b的式子来表示）
【答案】（1）乙
（2）解： 绿化部分的长为8a+3b-3a=5a+3b；宽为7a-3b-2a=5a-3b
则绿化的面积=（5a+3b）（5a-3b）=25a2-9b2
【知识点】多项式的概念；多项式乘多项式
【解析】【分析】本题考查多项式和长方形面积。根据长方形的面积公式和图形的平移，表示出空白地方的长和宽，则可得面积的表达式。
18．（2023九上·长春月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设，其中、、、均为整数，则有，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、，填空： ．
（3）若，且、、均为正整数，求的值．
【答案】（1）m +5n ；2mn
（2）6；2；1；1
（3），，
，
而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，；
（2）由（1）可得：m=1，n=1时，a=6，b=2，
故答案为：6；2；1；1；
【分析】（1）利用完全平方公式展开，再利用待定系数法可得，；
（2）利用（1）的结论直接求解即可；
（3）先求出，或者，，再分类讨论：①当，时，②当，时，分别代入计算即可.
19．（2023七下·泗阳期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 .
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 .
【答案】（1）
（2）解：∵
，
∴
（3）104
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）解：∵大正方形的面积，
又∵大正方形的面积，
∴.
故答案为：；
（3）解：由（1）中得到的结论可得：，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：104.
【分析】（1）根据面积间的和差关系可得：大正方形的面积为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，由图形可得大正方形的边长为(a+b+c)，结合正方形的面积公式可得其面积，然后根据两种情况表示出的面积相等进行解答；
（2）(a+b+c)2=[(a+b)+c]2，然后结合完全平方公式进行验证；
（3）由（1）中得到的结论(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可得：a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)，然后代入进行计算.
20．（2023七下·顺义期末）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，．
（1）①，②，③中和为45的是 ；（填写编号）
（2） ；
（3） ；（用含n的式子表示）
（4）若，则 ， ， ．
【答案】（1）①③
（2）15
（3）
（4）4；；20
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1） =1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
②=9+10+11+12=42，
③=14+15+16=45，
∴和为45的是①③，
故答案为：①③；
（2） =(1+3)+(1+4)+(1+5)=15，
故答案为：15；
（3） =(2-3)+(2-4)+(2-5)+…+(2-n)
=2(n-2)-3-4-5-……-n
=2(n-2)-(3+4+5+……+n)
=2(n-2)-
=；
故答案为：；
（4）∵3x2+px+m中二次项系数为3，
∴n=4，
∴=(x-2)(x-1)+(x-3)(x-2)+(x-4)(x-3)
=x2-3x+2+x2-5x+6+x2-7x+12
= 3x2-15x+20，
∵，
∴3x2-15x+20=3x2+px+m，
∴p=-15，m=20，
故答案为：4；-15；20.
【分析】（1）根据题意，利用有理数的加法法则计算求解即可；
（2）根据题意，利用有理数的加法法则计算求解即可；
（3）根据题意，利用有理数的加减法则计算求解即可；
（4）利用多项式乘多项式法则计算求解即可。
21．（2023七下·石阡期中）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
（1）比较，，的大小；
（2）比较，，的大小．
【答案】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴；
（2）解：∵，
，
，
∵，
∴．
【知识点】幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方计算求解即可；
（2）利用幂的乘方计算求解即可。
22．（2023七下·石阡期中）如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表示）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．
解：原式
．
请仿照康康的解题过程计算：．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数．
【答案】（1）；；
（2）解：
，
∴原式的值为．
（3）解：证明：设一个奇数为，则另一个比它大且相邻的奇数为，
∴
，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： ， ，
∵，
∴ ，
故答案为： ； ； .
【分析】（1）利用正方形和矩形的面积公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）利用平方差公式计算求解即可。
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