新人教A版必修第二册 2024春高中数学第十章 概率 章末检测（含解析）

第十章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
2．(2023年上海浦东新区期中)在古典概率模型中，Ω是样本空间，x是样本点，A是随机事件，则下列表述正确的是(　　)
A．x∈Ω B．x Ω
C．A∈Ω D．Ω A
3．据天气预报：在春节假期湖北武汉地区降雪的概率为0.2，湖南长沙地区降雪的概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则0.44等于(　　)
A．两地都降雪的概率 B．两地都不降雪的概率
C．至少有一地降雪的概率 D．恰有一地降雪的概率
4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A． B．
C． D．
5．(2023年临汾模拟)现有甲、乙、丙三个工厂加工的同种产品各100件，按标准分为一、二两个等级，其中甲、乙、丙三个工厂的一等品各有60件、70件、80件．从这300件产品中任选一件产品，则下列说法错误的是(　　)
A．选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥
B．选中的产品是一等品的概率为
C．选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为
D．选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品相互独立
6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有大小两种，大灯下缀2个小灯是小灯球，大灯下缀4个小灯是大灯球，若这座楼阁的大灯共360个，小灯共1 200个，随机选取1个灯球，则这个灯球是大灯球的概率为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
7．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)
A．　 B．
C．　　 D．
8．(2023年景德镇模拟)写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算89×61，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5 429．若从表内的8个数字(含相同的数字，表周边数据不算在内)中取1个数字，这个数字大于5的概率为(　　)
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．(2023年重庆模拟)甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则(　　)
A．两件都是次品的概率为0.02
B．事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件
C．恰有一件正品的概率为0.26
D．事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件
10．(2023年山东模拟)某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M＝“该家庭中有男孩、又有女孩”，N＝“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的有(　　)
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
11．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则(　　)
A．甲、乙两人下车的所有可能的结果有8种
B．甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为
C．甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为
D．甲、乙两人在不同的车站下车的概率为
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的有(　　)
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率是__________．
14．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为__________．
15．(2023年上饶三模)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态．若从这十六个开关中随机按其中一个开关1次，则(2，3)的状态发生改变的概率为__________．
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
16．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，则甲试跳三次，第三次才成功的概率为__________；甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
质量指数 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2)
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
18．(12分)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率．
19．(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
20．(12分)(2023年重庆期中)“学习强国”学习平台，是立足全党、面向社会的互联网学习载体，旨在推动马克思主义学习型政党、学习大国建设．某校为了考查教师们的学习效果，在全校随机抽取100名教师进行测试，并将成绩共分成五组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．已知第三、五组的人数的和等于第四组人数的2倍．且同时规定成绩小于85分为“良好”，成绩在85分及以上为“优秀”．
(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；
(2)如果用分层随机抽样的方法从“良好”和“优秀”的教师中共选出5人，再从这5人中选2人发表学习心得，那么这两人都“优秀”的概率是多少？
(3)如果规定成绩得分从高到低排名在前18%的教师可以获得“学习之星”的称号，根据频率分布直方图估计成绩得到多少分才能获得“学习之星”的称号？
21．(12分)本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元(20分钟及以内)，超过20分钟每10分钟收费1元(不足10分钟的部分按10分钟计算)．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的(各租一车一次)，设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为，，，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过40分钟．
(1)求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率；
(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率．
22．(12分)某市从高二年级随机选取1 000名学生，统计他们选修物理、化学、生物学、思想政治、历史和地理六门课程(前3门为理科课程，后3门为文科课程)的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．
科目方案人数 物理 化学 生物学 思想政治 历史 地理
一 220 √ √ √
二 200 √ √ √
三 180 √ √ √
四 175 √ √ √
五 135 √ √ √
六 90 √ √ √
(1)在这1 000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修思想政治的概率；
(2)在这1 000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的概率；
(3)利用表中数据估计该市选课偏文(即选修至少两门文科课程)的学生人数多还是偏理(即选修至少两门理科课程)的学生人数多，并说明理由．
第十章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
【答案】B
【解析】因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
2．(2023年上海浦东新区期中)在古典概率模型中，Ω是样本空间，x是样本点，A是随机事件，则下列表述正确的是(　　)
A．x∈Ω B．x Ω
C．A∈Ω D．Ω A
【答案】A
【解析】古典概率模型中，Ω是样本空间，x是样本点，A是随机事件，则x∈Ω，A Ω，故正确的只有A．故选A．
3．据天气预报：在春节假期湖北武汉地区降雪的概率为0.2，湖南长沙地区降雪的概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则0.44等于(　　)
A．两地都降雪的概率 B．两地都不降雪的概率
C．至少有一地降雪的概率 D．恰有一地降雪的概率
【答案】C
【解析】武汉和长沙两地都降雪的概率P(A)＝0.2×0.3＝0.06，故A错误；两地都不降雪的概率P(B)＝(1－0.2)(1－0.3)＝0.56，故B错误；至少有一地降雪的概率P(C)＝1－(1－0.2)(1－0.3)＝0.44，故C正确；恰有一地降雪的概率P(D)＝0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3＝0.38，故D错误．故选C．
4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为＝．
5．(2023年临汾模拟)现有甲、乙、丙三个工厂加工的同种产品各100件，按标准分为一、二两个等级，其中甲、乙、丙三个工厂的一等品各有60件、70件、80件．从这300件产品中任选一件产品，则下列说法错误的是(　　)
A．选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥
B．选中的产品是一等品的概率为
C．选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为
D．选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品相互独立
【答案】D
【解析】对于A，“选中的产品是甲厂的一等品”记为事件A，“选中的产品是乙厂的二等品”记为事件B，则AB＝ ，∴选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥，故A正确；对于B，选中的产品是一等品的概率为＝，故B正确；对于C，选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为＝，故C正确；对于D，“选中的产品是丙厂生产的产品”记为事件C，“选中的产品是二等品”记为事件D，则P(C)＝＝，由B项知，P(D)＝1－＝，由C项知P(CD)＝，∴P(CD)≠P(C)P(D)，∴选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品不互相独立，故D错误．故选D．
6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有大小两种，大灯下缀2个小灯是小灯球，大灯下缀4个小灯是大灯球，若这座楼阁的大灯共360个，小灯共1 200个，随机选取1个灯球，则这个灯球是大灯球的概率为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【答案】B
【解析】设小灯球有x个，大灯球有y个，根据题意可得解得则灯球的总数为x＋y＝360，故这个灯球是大灯球的概率为p＝＝．故选B．
7．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)
A．　 B．
C．　　 D．
【答案】B
【解析】日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率p＝．故选B．
8．(2023年景德镇模拟)写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算89×61，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5 429．若从表内的8个数字(含相同的数字，表周边数据不算在内)中取1个数字，这个数字大于5的概率为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】表内的8个数字有4，8，5，4，0，8，0，9，其中大于5的有8，8，9，∴从表内的8个数字(含相同的数字，表周边数据不算在内)中取1个数字有8种取法，这个数字大于5的情况有3种取法，∴这个数字大于5的概率为p＝．故选B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．(2023年重庆模拟)甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则(　　)
A．两件都是次品的概率为0.02
B．事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件
C．恰有一件正品的概率为0.26
D．事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件
【答案】ACD
【解析】甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，对于A，若取出的两件都是次品，其概率p＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.2×0.1＝0.02，故A正确；对于B，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，∴B中两个事件不是互斥事件，故B错误；对于C，恰有一件正品，其概率p＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26，故C正确；对于D，事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D正确．故选ACD．
10．(2023年山东模拟)某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M＝“该家庭中有男孩、又有女孩”，N＝“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的有(　　)
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
【答案】BCD
【解析】若该家庭中有两个小孩，样本空间为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，M＝{(男，女)，(女，男)}，N＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，MN＝{(男，女)，(女，男)}，则M与N不互斥，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，于是P(MN)≠P(M)P(N)，所以M与N不相互独立，则A错误，B正确；若该家庭中有三个小孩，样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，M＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，N＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，MN＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，则M与N不互斥，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，于是P(MN)＝P(M)P(N)，所以M与N相互独立，则C和D均正确．故选BCD．
11．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则(　　)
A．甲、乙两人下车的所有可能的结果有8种
B．甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为
C．甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为
D．甲、乙两人在不同的车站下车的概率为
【答案】BD
【解析】甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共9种，A错误，甲、乙两人同时在第2号车站和第4号车站下车的概率都是，B正确，C错误．甲、乙两人在不同的车站下车的概率为1－3×＝，D正确．故选BD．
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的有(　　)
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ACD
【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2独立．在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P()·P()＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率是__________．
【答案】0.25
【解析】“年降水量在[200，300](mm)范围内”由“年降水量在[200，250)(mm)范围内”和“年降水量在[250，300](mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25．
14．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为__________．
【答案】0.2
【解析】由10组随机数知，4～9中恰有三个的随机数有569，989两组，故所求的概率为p＝＝0.2．
15．(2023年上饶三模)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态．若从这十六个开关中随机按其中一个开关1次，则(2，3)的状态发生改变的概率为__________．
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
【答案】
【解析】根据题意，从这十六个开关中随机按其中一个开关1次，有16种情况，其中可以使(2，3)的状态发生改变的有(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)，共5个，则(2，3)的状态发生改变的概率p＝．
16．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，则甲试跳三次，第三次才成功的概率为__________；甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为__________．
【答案】0.063　0.88
【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i＝1，2，3)，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立，“甲试跳三次，第三次才成功”为事件12A3，且这三次试跳相互独立，∴P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063．记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
质量指数 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2)
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
解：计算10件产品的综合指标S，如下表所示．
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
S 4 4 6 3 4
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
S 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品频率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6．
18．(12分)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率．
解：设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率p＝×＝．
19．(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
解：(1)由题意可知＝，解得n＝2．
(2)记标号为2的两个小球分别为21，22，不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12个，事件A包含的基本事件为(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个，所以P(A)＝＝．
20．(12分)(2023年重庆期中)“学习强国”学习平台，是立足全党、面向社会的互联网学习载体，旨在推动马克思主义学习型政党、学习大国建设．某校为了考查教师们的学习效果，在全校随机抽取100名教师进行测试，并将成绩共分成五组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．已知第三、五组的人数的和等于第四组人数的2倍．且同时规定成绩小于85分为“良好”，成绩在85分及以上为“优秀”．
(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；
(2)如果用分层随机抽样的方法从“良好”和“优秀”的教师中共选出5人，再从这5人中选2人发表学习心得，那么这两人都“优秀”的概率是多少？
(3)如果规定成绩得分从高到低排名在前18%的教师可以获得“学习之星”的称号，根据频率分布直方图估计成绩得到多少分才能获得“学习之星”的称号？
解：(1)根据样本频率分布直方图得到[80，85)对应的小矩形最高，
∴估计样本的众数为×(80＋85)＝82.5．
(2)由频率分布直方图，得“良好”的教师频率为(0.01＋0.07)×5＝0.4，“优秀”教师频率为1－0.4＝0.6，由分层随机抽样，得“良好”的教师有5×0.4＝2(人)，“优秀”的教师有5×0.6＝3(人)．
将三名“优秀”教师分别记为A，B，C，两名“良好”的教师分别记为a，b，
则这5人中选2人的基本事件有10种，分别为AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，
其中这两人都“优秀”包含的基本事件有3种，分别为AB，AC，BC，所以这两人都“优秀”的概率为p＝．
(3)由第三、五组的人数的和等于第四组人数的2倍可得(0.02＋n)×5×100＝2m×5×100，
化简整理可得0.02＋n＝2m．①
由频率分布直方图的性质可知(n＋0.02＋m)×5＝1－(0.01＋0.07)×5，②
由①②可得m＝0.04，n＝0.06．
第五组人数频率为0.02×5＝0.1＝10%，第四、五组人数的频率为(0.02＋0.04)×5＝0.3＝30%，故成绩得分从高到低排名在18%的教师分数在第四组．
设至少得x分才能获得“学习之星”的称号，则(95－x)×0.04＋0.02×5＝0.18，解得x＝93，
∴根据频率分布直方图估计成绩至少得到93分才能获得“学习之星”的称号．
21．(12分)本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元(20分钟及以内)，超过20分钟每10分钟收费1元(不足10分钟的部分按10分钟计算)．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的(各租一车一次)，设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为，，，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过40分钟．
(1)求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率；
(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率．
解：(1)当租车时间不足20分钟，三人租车费用相同的概率为××＝；
当租车时间在20～30分钟，三人租车费用相同的概率为××＝；
当租车时间在30～40分钟，三人租车费用相同的概率为××＝．
所以三人租车费用相同的概率为．
(2)甲、乙、丙三人的租车费用和为11元，则其中两人租车时间达到30～40分钟，另一人为20～30分钟．
若甲、乙租车30～40分钟，三人的租车费用和为11元的概率为××＝；
若甲、丙租车30～40分钟，三人的租车费用和为11元的概率为××＝；
若乙、丙租车30～40分钟，三人的租车费用和为11元的概率为××＝．
所以甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率为＋＋＝．
22．(12分)某市从高二年级随机选取1 000名学生，统计他们选修物理、化学、生物学、思想政治、历史和地理六门课程(前3门为理科课程，后3门为文科课程)的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．
科目方案人数 物理 化学 生物学 思想政治 历史 地理
一 220 √ √ √
二 200 √ √ √
三 180 √ √ √
四 175 √ √ √
五 135 √ √ √
六 90 √ √ √
(1)在这1 000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修思想政治的概率；
(2)在这1 000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的概率；
(3)利用表中数据估计该市选课偏文(即选修至少两门文科课程)的学生人数多还是偏理(即选修至少两门理科课程)的学生人数多，并说明理由．
解：(1)选修物理的共有220＋200＋180＝600(人)，其中选修思想政治的有220人，所以从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修思想政治的概率p1＝＝．
(2)设选择方案一的2名学生为a1，a2，选择方案二的2名学生为b1，b2，选择方案三的2名学生为c1，c2，从这6名学生中随机选取2人，有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共15种情况，其中除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的有(a1，a2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共11种情况，所以所求概率p2＝．
(3)调查者中选偏文的共有175＋135＋90＝400(人)，频率为0.4，选修偏理的频率为1－0.4＝0.6．所以估计全市选课偏文的学生大约占0.4，选课偏理的大约占0.6．所以估计全市选课偏理的学生多．