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第十章 概 率
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
学习目标 素养要求
1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别 数学抽象
2．会用频率估计概率 数学建模、数学运算
| 自 学 导 引 |
频率与概率
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2．频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
稳定于
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等． ( )
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( )
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
频率和概率有什么区别和联系？
(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．
联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于P(A)，因此可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
随机模拟
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生的随机数．
(2)构建模拟试验产生的随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．
【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)
(1)在用计算机模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面． ( )
(2)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值． ( )
【答案】(1)× (2)√
| 课 堂 互 动 |
题型1 由频率估计随机事件的概率
(1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5)2；[15.5，19.5)4；[19.5，23.5)9；[23.5，27.5)18；[27.5，31.5)11；[31.5，35.5)12；[35.5，39.5)7；[39.5，43.5]3．
根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是 ( )
(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 [500,900) [900,1 100) [1 100,1 300) [1 300,1 500) [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900,＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
①将各组的频率填入表中；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【答案】(1)B
(2)解：①频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042．
②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6．
随机事件概率的理解及求法
(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
1．某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
解：(1)表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91．
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9．
题型2 概率的含义
某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%．
对概率的正确理解
(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．
(2)任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．
(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．
(4)必然事件Ω的概率为1，即P(Ω)＝1；不可能事件 的概率为0，即P( )＝0．
2．有以下说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误说法的序号是__________．
【答案】①②③
题型3 游戏的公平性
有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解：(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4．故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A．因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)设计方案如下：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
3．有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？
解：根据题意知转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0．
题型4 利用随机模拟法估计概率
天气预报预测某旅游胜地8月1日后的连续四天，每天下雨的概率为0.6．现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281
7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436
5987 3882 0753 8935 9635 2379 1805 9890
0735 4640 6298 8054 9720 5695 1574 8008
3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
【答案】B
应用随机数估计概率的步骤
(1)明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系．
(2)产生随机数．
(3)统计试验次数N及所求事件包含的次数n．
4．袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
【答案】B
| 素 养 达 成 |
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，但具有稳定性，次数越多频率越接近其概率．(体现数据分析核心素养)
1．(题型2)抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48，下列说法正确的是 ( )
A．正面向上的概率为0.48 B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48 D．反面向上的频率是0.48
【答案】C
【解析】因为抛掷一枚硬币100次，即为100次试验，正面向上这一事件发生了48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48．故选C．
2．(题型1)对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查__________件产品．
【答案】1 000
抽查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 478
3．(题型4)通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
若恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 ( )
A．25% B．30% C．35% D．40%
【答案】A
4．(题型3)玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)．
【答案】不公平
5．(题型1)某制造商2023年6月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组 频数 频率
[39.95，39.97) 10
[39.97，39.99) 20
[39.99，40.01) 50
[40.01，40.03] 20
合计 100
(1)请将上表补充完整；
(2)已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率．
解：(1)填表如下：
分组 频数 频率
[39.95，39.97) 10 0.1
[39.97，39.99) 20 0.2
[39.99，40.01) 50 0.5
[40.01，40.03] 20 0.2
合计 100 1.0
(2)标准尺寸是40.00 mm，若要使误差不超过0.03 mm，则直径落在[39.97，40.03]内．
由(1)中表知，直径落在[39.97，40.03]内的频率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9，所以这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.9．第十章 10.3 10.3.1、2
A级——基础过关练
1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A．0.56，0.56 B．0.56，0.5
C．0.5，0.56 D．0.5，0.5
【答案】B
【解析】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为＝0.56，概率为0.5．故选B．
2．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．购买彩票中奖的可能性为 B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中 D．买100张彩票就一定能中奖
【答案】A
【解析】对于B选项和C选项，买任何1张彩票的中奖率都是，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B，C错误；对于D选项，根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故本选项错误；概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，故A正确．故选A．
3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10，40)上的频率为( )
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
【答案】B
【解析】在区间[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为＝0.45．
4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
【答案】B
【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为＝，所以2 018石米中夹谷约为2 018×≈224(石)．故选B．
5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50 B．0.45
C．0.40 D．0.35
【答案】A
【解析】两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为＝0.50．故选A．
6．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为放养这只黑小蜜蜂的概率较大的养蜂人是( )
A．甲 B．乙
C．甲和乙 D．无法判断
【答案】B
【解析】从养蜂人甲放的蜜蜂中，捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，而从养蜂人乙放的蜜蜂中，捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，所以，现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大．
7．(多选)下列说法中正确的有( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他击中靶心应为5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心应为4次
【答案】ACD
【解析】A正确，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以他击中靶心的频率是＝0.8；B错误，因为某人射击10次，击中靶心7次，所以他击不中靶心的频率是＝0.3；C正确，因为某人射击10次，击中靶心的频率是，所以他击中靶心应为10×＝5次；D正确，因为某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，所以他击不中靶心应为10×(1－0.6)＝4(次)．故选ACD．
8．(2023年慈溪期末)在下列三个问题中：
①甲、乙两人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，同时出现正面或反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜，这个游戏是公平的；
②掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③如果气象预报1～30日的下雨概率是，那么1～30日中就有6天是下雨的．
其中，正确的是__________．(用序号表示)
【答案】①②
【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，样本空间Ω＝{(正正)，(正反)，(反正)，(反反)}，记事件A，B分别为“甲胜”“乙胜”，则P(A)＝P(B)＝＝，故这个游戏是公平的，故①正确；掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，由概率的定义得，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率，故②正确；如果气象预报1～30日的下雨概率是，1～30日中就有可能6天是下雨的，故③错误．
9．某生物实验室研究利用某种微生物来治理污水，每10 000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8 000个，根据概率的统计定义，现需要6 000个成品菌种，大概要准备__________个微生物菌种．
【答案】7 500
【解析】现需要6 000个成品菌种，设大概要准备n个微生物菌种，∵每10 000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8 000个，∴＝，解得n＝7 500．
10．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为．
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为．以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为．
B级——能力提升练
11．有三个游戏规则如表所示，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球，
游戏1 游戏2 游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球 袋中装有2个黑球和2个白球 袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球 从袋中取出2个球 从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜 若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜 若取出的两个球不同色，则乙胜
其中不公平的游戏是( )
A．游戏2 B．游戏3
C．游戏1和游戏2 D．游戏1和游戏3
【答案】C
【解析】对于游戏1，取出两球同色的概率为，取出不同色的概率为，不公平；对于游戏2，取出两球同色的概率为，取出不同色的概率为，不公平；对于游戏3，取出两球同色即全是黑球，概率为0.5，取出不同色的也为0.5，公平．故选C．
12．(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的有( )
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
【答案】ACD
【解析】A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，符合题意；B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，不符合题意；C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，符合题意；D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，符合题意．故选ACD．
13．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，若第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘上上等车的概率为________．
【答案】
【解析】共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为＝．
14．容量为50的样本数据，按从大到小的顺序分为8组，如下表所示：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 5 4 7 x 8 6 6 7
第四组的频数为__________，频率为__________．
【答案】7 0.14
【解析】∵由容量50的样本数据知有50个数字，而其他组的数字个数都是已知，∴第三组的频数为50－(5＋4＋7＋8＋6＋6＋7)＝7，频率为＝0.14．
15．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
解：(1)因为20×400＝8 000，
所以摸到红球的频率为＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，
所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75．
(2)设袋中红球有x个，根据题意得
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
所以估计袋中红球有15个．
