人教A版 高中数学 选修二4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版 高中数学 选修二4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 400.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-06 19:17:08 | ||
图片预览
文档简介
人教A版 高中数学 选修二4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．0 C．5 D．10
2．设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
3．已知数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．浓浓桑梓情，拳拳助疫心.为了抗击疫情，各路爱心人士纷纷捐款捐物，某地第一天收到捐赠的口罩共1000盒，第二天收到捐赠的口罩共1500盒，第三天收到捐赠的口罩共2000盒，……，照此规律，募捐共20000盒口罩至少需要的天数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知是等差数列的前项和，若的最小正整数解为，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若数列各项均为正数，且对，都有，则称数列具有“P性质”，则（ ）
A．数列具有“P性质”
B．数列具有“P性质”
C．具有“P性质”的数列的前n项和为
D．具有“P性质”的数列的前n项和为
二、多选题
7．已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B．的前项和中最小
C．的最小值为 D．的最大值为0
9．设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ）
A．
B．
C．时，的最小值为 13
D．最大时，
三、解答题
10．为了提高职工的工作积极性，在工资不变的情况下，某企业给职工两种追加奖励性绩效奖金的方案:第一种方案 是每年年末(12月底)追加绩效奖金一次，第一年末追加的绩效奖金为万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多万元;第二种方案是每半年(6月底和12月底)各追加绩效奖金一次，第一年的6月底追加的绩效奖金为万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多万元.
假设你准备在该企业工作年，根据上述方案，试问:
(1)如果你在该公司只工作2年，你将选择哪一种追加绩效奖金的方案 请说明理由.
(2)如果选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多，你至少在该企业工作几年
(3)如果把第二种方案中的每半年追加万元改成每半年追加万元，那么在什么范围内取值时，选择第二种方案的绩效奖金总额总是比选择第一种方案多
11．已知在等差数列中，，公差.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和的最大值.
12．已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据等差数列的性质，可求出等差数列的公差为，进而求出，再根据等差数列的前项和公式和等差中项，即可求出的值.
【详解】设等差数列的公差为，
∵，所以
∴．
故选：B.
2．C
【解析】根据等差数列下标性质，结合等差数列的单调性进行求解即可.
【详解】由，可得，
因为，所以，
所以，所以．
因为，所以是递增数列，所以，
显然前3项和或前4项和最小．
故选：C
3．B
【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.
【详解】当时，；
当时，.
也满足，故对任意的，，
因此，.
故选：B.
4．C
【分析】由题意每天收到捐赠的口罩的盒数成等差数列且首项，公差，利用等差数列的前项和大于等于20000，解不等式可得答案.
【详解】由题意每天收到捐赠的口罩的盒数成等差数列，且，，
所以，解得，或，
因为，所以，所以募捐共20000盒口罩至少需要的天数为.
故选：C.
5．D
【分析】将的最小正整数解为转化为，，由等差数列的前项和公式和题意列出不等式组，再求出公差的范围.
【详解】因为等差数列中，的最小正整数解为，所以，，又，
则，解得，所以公差的取值范围是，
故选：D.
6．C
【分析】令，则，令，求得数列的首项，令，可得，将换为，两式相减，结合数列的递推式，再将换为，两式相减，结合等差数列的定义，即可求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；
【详解】解：由题意可得，对，都有，
令，即，
当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，
即为，可得，，
两式相减可得，
由于，
所以，
令可得，解得或（舍去），
所以，当时也成立，
所以，则.
故选：C
7．AC
【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式化简条件得，结合等差数列的性质对选项一一判断即可．
【详解】因为是等差数列，，
所以，即，亦即，故A正确；
所以，的值无法确定，故B错误；
，则，故C正确；
，故D错误．
故选：AC．
8．ABC
【分析】根据已知条件可计算出和公差，然后可计算出对A进行判断；求出，即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值即可判断C；求出的表达式即可判断D.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，则A正确；
，
则当时，取得最小值，故B正确；
，
设函数，
则，则当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
因为，且，
所以最小值为，C正确；
，没有最大值，故D错误，
故选：ABC.
9．AC
【分析】根据，，即可得到，进而即可判断A；根据，，，，从而列出和的方程组，求解即可判断B；结合A选项知，从而得到，再结合，进而即可C；结合选项A和B知，当时，，当时，，进而即可判断D．
【详解】对于A，由，则，又，则，故A正确；
对于B，结合选项A知，，，
又，所以，解得，故B错误；
对于C，结合选项A知，又，所以时，的最小值为13，故C正确；
对于D，结合选项A和B知，当时，，当时，，所以当最大时，，故D错误．
故选：AC．
10．（1）见解析；（2）至少在该公司工作3年；（3）.
【分析】（1）将两种方案可得奖金分别计算出来，比较得出结论；
（2）根据规则计算出第年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，解得；
（3）根据规则计算出第年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，参变分离，求出的取值范围．
【详解】解:(1)第2年末，依第一方案得到的奖金总额为
（万元）.
依第二方案得到的奖金总额为
(万元).
在该公司工作2年，选择第一方案和选择第二方案得到的绩效奖金一样多
(2)第年末，依第一方案得到的奖金总额为:（万元）
依第二方案得到的奖金总额为:
由题意得:，
解得:，
因为，所以，
所以至少在该公司工作3年才能保证选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多.
(3)第年末，依第一方案，得到的绩效奖金总额为（万元)，
依第二方案，得到的绩效奖金总额为
由题意对所有正整数恒成立，
即对所有正整数恒成立，
因为
所以当万元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案的绩效奖金总额多.
【点睛】本题考查等差数列求和的应用，关键是理解题意，属于基础题．
11．(1)
(2)289
【分析】（1）根据题意求出数列的首项，即可求得答案；
（2）结合（1）求出数列的前n项和的表达式，结合二次函数性质，即可求得最大值.
【详解】（1）由题意知在等差数列中，，公差，
故，
故；
（2）由（1）可得，
故当时，的最大值为289.
12．(1)；
(2)时取得最大值为.
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
故，
所以.
（2）由，且，
所以，
故时取得最大，最大值为.
答案第6页，共6页
答案第1页，共6页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．0 C．5 D．10
2．设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
3．已知数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．浓浓桑梓情，拳拳助疫心.为了抗击疫情，各路爱心人士纷纷捐款捐物，某地第一天收到捐赠的口罩共1000盒，第二天收到捐赠的口罩共1500盒，第三天收到捐赠的口罩共2000盒，……，照此规律，募捐共20000盒口罩至少需要的天数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知是等差数列的前项和，若的最小正整数解为，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若数列各项均为正数，且对，都有，则称数列具有“P性质”，则（ ）
A．数列具有“P性质”
B．数列具有“P性质”
C．具有“P性质”的数列的前n项和为
D．具有“P性质”的数列的前n项和为
二、多选题
7．已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B．的前项和中最小
C．的最小值为 D．的最大值为0
9．设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（ ）
A．
B．
C．时，的最小值为 13
D．最大时，
三、解答题
10．为了提高职工的工作积极性，在工资不变的情况下，某企业给职工两种追加奖励性绩效奖金的方案:第一种方案 是每年年末(12月底)追加绩效奖金一次，第一年末追加的绩效奖金为万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多万元;第二种方案是每半年(6月底和12月底)各追加绩效奖金一次，第一年的6月底追加的绩效奖金为万元，以后每次所追加的绩效奖金比上次所追加的绩效奖金多万元.
假设你准备在该企业工作年，根据上述方案，试问:
(1)如果你在该公司只工作2年，你将选择哪一种追加绩效奖金的方案 请说明理由.
(2)如果选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多，你至少在该企业工作几年
(3)如果把第二种方案中的每半年追加万元改成每半年追加万元，那么在什么范围内取值时，选择第二种方案的绩效奖金总额总是比选择第一种方案多
11．已知在等差数列中，，公差.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和的最大值.
12．已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据等差数列的性质，可求出等差数列的公差为，进而求出，再根据等差数列的前项和公式和等差中项，即可求出的值.
【详解】设等差数列的公差为，
∵，所以
∴．
故选：B.
2．C
【解析】根据等差数列下标性质，结合等差数列的单调性进行求解即可.
【详解】由，可得，
因为，所以，
所以，所以．
因为，所以是递增数列，所以，
显然前3项和或前4项和最小．
故选：C
3．B
【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.
【详解】当时，；
当时，.
也满足，故对任意的，，
因此，.
故选：B.
4．C
【分析】由题意每天收到捐赠的口罩的盒数成等差数列且首项，公差，利用等差数列的前项和大于等于20000，解不等式可得答案.
【详解】由题意每天收到捐赠的口罩的盒数成等差数列，且，，
所以，解得，或，
因为，所以，所以募捐共20000盒口罩至少需要的天数为.
故选：C.
5．D
【分析】将的最小正整数解为转化为，，由等差数列的前项和公式和题意列出不等式组，再求出公差的范围.
【详解】因为等差数列中，的最小正整数解为，所以，，又，
则，解得，所以公差的取值范围是，
故选：D.
6．C
【分析】令，则，令，求得数列的首项，令，可得，将换为，两式相减，结合数列的递推式，再将换为，两式相减，结合等差数列的定义，即可求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；
【详解】解：由题意可得，对，都有，
令，即，
当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，
即为，可得，，
两式相减可得，
由于，
所以，
令可得，解得或（舍去），
所以，当时也成立，
所以，则.
故选：C
7．AC
【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式化简条件得，结合等差数列的性质对选项一一判断即可．
【详解】因为是等差数列，，
所以，即，亦即，故A正确；
所以，的值无法确定，故B错误；
，则，故C正确；
，故D错误．
故选：AC．
8．ABC
【分析】根据已知条件可计算出和公差，然后可计算出对A进行判断；求出，即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值即可判断C；求出的表达式即可判断D.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，则A正确；
，
则当时，取得最小值，故B正确；
，
设函数，
则，则当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
因为，且，
所以最小值为，C正确；
，没有最大值，故D错误，
故选：ABC.
9．AC
【分析】根据，，即可得到，进而即可判断A；根据，，，，从而列出和的方程组，求解即可判断B；结合A选项知，从而得到，再结合，进而即可C；结合选项A和B知，当时，，当时，，进而即可判断D．
【详解】对于A，由，则，又，则，故A正确；
对于B，结合选项A知，，，
又，所以，解得，故B错误；
对于C，结合选项A知，又，所以时，的最小值为13，故C正确；
对于D，结合选项A和B知，当时，，当时，，所以当最大时，，故D错误．
故选：AC．
10．（1）见解析；（2）至少在该公司工作3年；（3）.
【分析】（1）将两种方案可得奖金分别计算出来，比较得出结论；
（2）根据规则计算出第年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，解得；
（3）根据规则计算出第年末，两种方案所得奖金总额，得到不等式，参变分离，求出的取值范围．
【详解】解:(1)第2年末，依第一方案得到的奖金总额为
（万元）.
依第二方案得到的奖金总额为
(万元).
在该公司工作2年，选择第一方案和选择第二方案得到的绩效奖金一样多
(2)第年末，依第一方案得到的奖金总额为:（万元）
依第二方案得到的奖金总额为:
由题意得:，
解得:，
因为，所以，
所以至少在该公司工作3年才能保证选择第二种追加绩效奖金的方案比选择第一种方案的奖金总额多.
(3)第年末，依第一方案，得到的绩效奖金总额为（万元)，
依第二方案，得到的绩效奖金总额为
由题意对所有正整数恒成立，
即对所有正整数恒成立，
因为
所以当万元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案的绩效奖金总额多.
【点睛】本题考查等差数列求和的应用，关键是理解题意，属于基础题．
11．(1)
(2)289
【分析】（1）根据题意求出数列的首项，即可求得答案；
（2）结合（1）求出数列的前n项和的表达式，结合二次函数性质，即可求得最大值.
【详解】（1）由题意知在等差数列中，，公差，
故，
故；
（2）由（1）可得，
故当时，的最大值为289.
12．(1)；
(2)时取得最大值为.
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
故，
所以.
（2）由，且，
所以，
故时取得最大，最大值为.
答案第6页，共6页
答案第1页，共6页