人教A版 高中数学 选修二4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）练习（含解析）

人教A版 高中数学 选修二4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．6
2．设是公差不为零的等差数列，且，则的前6项的和为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
3．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．36 B．18 C．10 D．8
4．设等差数列和的前项和分别为和，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（ ）
A．2022 B．2023 C．4043 D．4044
6．中国古代数学名著《九章算术》中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少．”意思是“今有竹9节，下部分3节总容量4升，上部分4节总容量3升，且自下而上每节容积成等差数列，问中间二节容积各是多少？”按此规律，中间二节（自下而上第四节和第五节）容积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列 B．
C． D．当最小时，
8．已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时，取得最大值
三、解答题
9．等差数列的公差为，数列的前项和为．
(1)已知，，，求及；
(2)已知，，，求；
(3)已知，求.
10．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求其前n项和为．
试卷第2页，共2页
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参考答案：
1．B
【分析】设出公差，利用题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到.
【详解】设公差为，则，，
联立可得，故.
故选：B
2．B
【分析】移项后变形，利用等差数列的性质得，再由等差数列前项和公式可得结论．
【详解】设数列的公差为，，整理可得，即．又∵，∴．∵，∴．∴．
故选：B．
3．A
【解析】利用等差数列的性质求解.
【详解】因为在等差数列中，，
所以，
所以，
故选：A
4．A
【解析】利用等差数列的性质计算：是等差数列，是其前项和，则，
【详解】由题意可得，，则，解得.
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列的前项和，等差数列的前项和性质：
是等差数列，是其前项和，则
（1）是等差数列，
（2）．
5．D
【分析】根据题意分析出、、等，利用等差数列的前项和公式分析出结果.
【详解】解：因为等差数列的前项和有最小值，
所以等差数列的公差，
因为，所以，，
所以，
又因为，
所以，即，故，
所以，
，
当时，；当时，；
故使成立的正整数的最小值为.
故选：D.
6．A
【分析】根据给定条件，利用等差数列的第5项及公差列出方程组，求解作答.
【详解】依题意，令九节竹子从下到上的容积构成的等差数列为，其公差为，
于是得：，即有，解得，
所以中间二节容积之和为.
故选：A
7．BCD
【分析】由数列前项和为，可求数列通项，然后逐个验证选项.
【详解】，当时，；
当时，
注意到时也满足，
所以数列的通项公式为，，
，是递增数列，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项正确；
，，当最小时，，D选项正确.
故选：BCD.
8．AC
【解析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案.
【详解】解：设等差数列的公差为，
则，解得.
所以，，，
所以当且仅当或时，取得最大值.
故选：AC
【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前项和的最值问题，是中档题.
等差数列前项和的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当时，有最大值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定；
（2）当时，有最小值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定；
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算；
（2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算；
（3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可.
【详解】（1）因为，
所以整理得，解得或（负值舍去），
所以
（2）因为，所以，
又因为，所以
（3）方法一：由，即，
所以
方法二：由，得，
所以
10．(1)
(2)
【分析】（1）把条件都用，表示出来，解方程求出，，可得等差数列的通项公式；
（2）采用裂项求和的方法求数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的通项公式为：，由题意：，解得.
所以：.
（2）由（1）可得：，
所以：，
故：.
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