10.1 第2课时 垂线中的两条基本事实 学习任务单 2023-2024学年沪科版数学七年级下册（含答案）

10.1　第2课时　垂线中的两条基本事实
素养目标
1.知道垂直的概念,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
2.通过实际操作,理解与垂线相关的两条基本事实.
3.知道垂线段的概念,会度量点到直线的距离.
◎重点:垂线中的两条基本事实.
预习导学
知识点一 认识垂线
阅读教材本课时“思考”部分到“操作”之前的内容,回答下列问题:
1.讨论:如图,在两条相交直线所形成的四个角中,若∠AOC=90°,则对顶角∠BOD=　 　,补角∠BOC=　 　,∠AOD=　 　.
2.揭示概念:两条直线AB和CD相交所成的4个角中,有一个角是　 　,就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线,记作　 　,交点O叫做　 　.
3.(1)如图,若∠BOC=90°,则AB　 　CD.
(2)如图,若AB⊥CD,则∠BOC=　 　.
【答案】1.90°　90°　90°
2.直角　AB⊥CD　垂足
3.(1)⊥　(2)90°
【学法指导】垂直是一种相互的关系,两条互相垂直的直线,其中任意一条直线都是另外一条线的垂线.
知识点二 垂线的基本事实
阅读教材“操作”部分的内容,回答下列问题:
1.操作:图1中直线a上有一点M,图2中直线a外有一点M,请用三角板或直尺过点M作直线a的垂线.
2.讨论:通过上面的操作,过一点画已知直线的垂线,你能画出几条 与点M的位置有关系吗
【答案】1.解:
2.一条,无关.
【归纳总结】(1)过一点　 　条直线与已知直线垂直.
(2)过一点用三角尺画垂线的方法可以简单概括如下:一放(直尺),二靠(线),三过(点),四画(线).
【答案】(1)有且只有一
知识点三 垂线段最短
阅读教材“观察”与“交流”的相关内容,回答下列问题:
1.观察:如图所示的是一条马路上的人行横道线,即斑马线的示意图.
(1)量一量:请用直尺测量线段AC、AB、AD的长度,最短的线段是　 　.
(2)讨论:在点A与直线CD上任意一点的连线中,有没有比线段AB更短的线段
2.揭示概念:(1)连接直线外一点与垂足形成的线段是　 　.
(2)垂线段的长度叫做　 .
【答案】1.(1)AB　(2)没有.
2.(1)垂线段　(2)点到直线的距离
【归纳总结】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
对点自测
1.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,若∠1=50°,则∠2的度数是 ( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
2.如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合(即O,M,N三点共线),其理由是 ( )
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内,过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.两点之间,线段最短
3.如图,AB,CD交于点O,OE⊥CD于点O.若∠AOC=25°,则∠BOE=　 　°;若OC=2cm,OE=1.5 cm,CE=　 　cm,则点E到直线CD的距离是　 　cm.
【答案】1.C　2.C　3.65　2.5　1.5
合作探究
任务驱动一 垂线的定义
1.如图,直线AB⊥CD,垂足为点O,射线OP在∠AOD的内部,且∠POA=4∠POD,则∠COP与∠BOP的度数比为　 　.
【答案】1.3∶2
[变式训练]如图,直线AB、CD、EF交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,若∠COG∶∠COE=1∶2,则∠DOF与∠BOG的度数比为　 　.
【答案】2∶5
任务驱动二 垂线的画法与基本事实
2.在图1中,过点B分别画两条直线的垂线;在图2中,过点B画AC的垂线,过点C画AB的垂线.
【答案】2.解:
【方法归纳交流】过一点画已知直线的垂线的步骤可简记为　 　.
【答案】一靠,二过,三画线
任务驱动三 垂线段最短
3.直线l上有A、B、C三点,直线l外有一点P,若PA=5 cm,PB=4 cm,PC=3 cm,则点P到直线l的距离 ( )
A.等于3 cm
B.小于3 cm
C.不大于3 cm
D.大于3 cm而小于4 cm
4.如图,P、Q分别是在公路l两旁的两个村庄,现要在公路上建一个购物中心,要使P村的人购物方便,购物中心该建在何处 画图表示,并说明理由.
【答案】3.C
4.解:如图,过点P作PE垂直于公路l,交公路于点E,由垂线段最短可得点E就是购物中心的位置.
[变式训练]对于上题,其余条件不变,若要使P、Q两村人到购物中心都方便,这个购物中心到两村的距离之和最短,则购物中心应建在何处 为什么
【答案】解:如图,连接PQ交直线于点F,则点F就是购物中心的位置.因为两点之间线段最短.
素养小测
1.如图,直线AB,CD相交于点O,下列条件中能说明AB⊥CD的有 ( )
①∠AOD=90°;②∠AOD=∠AOC;③∠AOC+∠BOC=180°;④∠AOC+∠BOD=180°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,OA⊥OB,∠BOC=50°,OD平分∠AOC,则∠BOD的度数是　 　.
3.已知∠1和∠2有公共顶点,且∠1的两边分别垂直于∠2的两边,若∠1=35°时,则∠2=　 　.
4.如图,点P在射线AC上,点Q在∠BAC内部.
(1)完成下列作图:
①过点Q作QD⊥AB,垂足为D;
②过点P作PE⊥AB,垂足为E;
③过点Q作QF⊥AC,垂足为F.
(2)根据所作图形填空:
①点Q到直线AB的距离是线段　 　的长度;
②点Q到直线AC的距离是线段　 　的长度;
③点P到直线AB的距离是线段　 　的长度.
5.已知∠AOC=144°,OD为∠AOC的平分线,射线OB⊥OA于O,部分图形如图所示.请补全图形,并求∠BOD的度数.
【答案】1.C　2.20°
3.35°或145°
4.解:(1)如图,
(2)QD;QF;PE.
5.解:因为OD为∠AOC的平分线,所以∠1=∠AOC=72°,又因为OB⊥OA,∠AOB=90°,
①如图1,当射线OB在∠AOC的内部时,∠BOD=∠AOB-∠1=18°;
②如图2,当射线OB在∠AOC的外部时,∠BOD=∠AOB+∠1=162°.
综上所述,∠BOD的度数为18°或162°.