8.4 第3课时 公式法 学习任务单 2023-2024学年沪科版数学七年级下册（含答案）
文档属性
| 名称 | 8.4 第3课时 公式法 学习任务单 2023-2024学年沪科版数学七年级下册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 21.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-07 15:27:17 | ||
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文档简介
8.4 第3课时 公式法
素养目标
1.能逆用完全平方公式和平方差公式进行因式分解.
2.能综合运用提公因式法与乘法公式进行因式分解.
3.知道将多项式进行分组,再进行因式分解.
◎重点:用乘法公式进行因式分解.
预习导学
知识点一 公式法
阅读教材本课时“例3”及其之前的内容,解决下列问题:
1.旧知回顾:乘法公式包括完全平方公式与平方差公式,
=a2+2ab+b2; =a2-2ab+b2; =a2-b2.
2.揭示概念:如上题所示,运用 (完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做 法.
3.讨论:满足什么条件的多项式可以用公式法进行因式分解
【答案】1.(a+b)2 (a-b)2 (a+b)(a-b)
2.公式 公式
3.能用完全平方公式进行因式分解的的多项式必须是二次三项式,其中两项的符号相同,并且这两项可以化为两个数(或整式)的平方的形式,另一项是这两个数(或整式)乘积的2倍,符号可正可负.能用平方差公式分解的多项式是必须是两项式,每一项都可以化成平方的形式,并且符号相反.
知识点二 提取公因式法和公式法的综合应用
阅读教材本课时“例4”,解决下列问题:
1.ab2-ac2有两项,不符合平方差公式的特点,但各项有公因式a,提取公因式后,得 ,括号内的多项式可用平方差公式继续分解,得到最后的结果为 .
2.3ax2+24axy+48ay2有三项,不符合完全平方公式的特点,但各项有公因式 ,提取公因式后,得 ,括号内的多项式可以用完全平方公式继续分解,得到最后结果为 .
【答案】1.a(b2-c2) a(b+c)(b-c)
2.3a 3a(x2+8xy+16y2) 3a(x+4y)2
知识点三 分组分解法
阅读教材本课时“例5”,解决下列问题:
1.讨论:(1)对于“例5(1)”, 在x2-y2+ax+ay中前两项可用 分解因式,其中一个因式是 ,后两项提取公因式a后,另一个因式也是 ,再利用提公因式法即可.
(2)在“例5(2)”中,对于多项式a2+2ab+b2-c2,前三项可用 分解因式,之后可以用 公式分解因式.
2.思考:观察一个多项式,如何决定其要不要分组分解
【答案】1.(1)平方差公式 (x+y) (x+y)
(2)完全平方公式 平方差
2.先观察是否能提取公因式,再看是否能用公式法分解因式;若前两者都不能直接进行,再考虑是否能通过分组之后,将各项分别提取公因式或用公式法.
【归纳总结】分组的目的是将多项式分为 可以用提公因式法或 分解因式的形式.
【答案】各项 公式法
对点自测
1.分解因式2x2-32的结果是 ( )
A.2(x2-16) B.2(x+8)(x-8)
C.2(x+4)(x-4) D.(2x+8)(2x-8)
2.下列多项式可以用分组分解法分解的是 ( )
A.x2-y2+2y-1 B.a-b+3ac-6bc
C.9a2-b2+4b+4 D.a2-2ab+b2+4
3.因式分解:4a2-9= .
4.分解因式:9x2+6x+1= .
【答案】1.C 2.A
3.(2a+3)(2a-3)
4.(3x+1)2
合作探究
任务驱动一 公式法
1.把下列各式分解因式:(1)9a2-49b2;
(2)4-12(x-y)+9(x-y)2.
【答案】1.解:(1)原式=(3a+7b)(3a-7b).
(2)原式=(2-3x+3y)2.
【方法归纳交流】判断是否可用平方差公式应注意:(1)必须是 式;(2)这两项都必须是 ;(3)这两项的符号 .
【答案】二项 完全平方 相反
任务驱动二 因式分解的一般步骤与要求
2.把下列各式分解因式:
(1)(x2-3)2+2(3-x2)+1;
(2)4xy2-4x2y-y3;
(3)2x5-8x3;
(4)x2-6xy+9y2-1.
【答案】2.解:(1)原式=(x2-3-1)2
=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.
(2)原式=-y(-4xy+4x2+y2)=-y(2x-y)2.
(3)原式=2x3(x2-4)=2x3(x+2)(x-2).
(4)原式=(x-3y)2-1=(x-3y+1)(x-3y-1).
【方法归纳交流】一个多项式分解因式的一般步骤:一提二用三查,即先考虑提公因式,再考虑能否用公式,最后检查每个因式是否还能继续分解.
任务驱动三 分组分解法
3.分解因式:(1)1-a2-b2-2ab;
(2)2ac-6ad+bc-3bd.
【答案】3.解:(1)原式=1-(a2+b2+2ab)
=1-(a+b)2
=(1+a+b)(1-a-b).
(2)原式=(2ac-6ad)+(bc-3bd)
=2a(c-3d)+b(c-3d)
=(c-3d)(2a+b).
【方法归纳交流】分组分解法其实是通过对多项式进行适当的 ,把多项式转化为可以应用基本法分解的结构形式,使之具有 或者符合 的因式.
【答案】分组 公因式 公式特点
任务驱动四 因式分解的应用
4.试说明不论a,b为何值时,代数式a2b2-4ab+5的值一定是正数.
5.当a,b为何值时,多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值 请求出这个最小值.
【答案】4.解:因为a2b2-4ab+5=(a2b2-4ab+4)+1=(ab-2)2+1,由于不论a,b为何值,都有(ab-2)2≥0,所以(ab-2)2+1>0.因此不论a,b为何值时,代数式a2b2-4ab+5的值一定是正数.
5.解:原式=a2-4a+4+b2+6b+9+5=(a-2)2+(b+3)2+5,
故当a=2,b=-3时,a2+b2-4a+6b+18有最小值5.
素养小测
1.小妍将(2020x+2021)2展开后得到a1x2+b1x+c1;小磊将(2021x-2020)2展开后得到a2x2+b2x+c2,若两人计算过程无误,则c1-c2的值为 ( )
A.4041 B.2021 C.2020 D.1
2.已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c<0,则 ( )
A.b>0,b2-ac≤0 B.b<0,b2-ac≤0
C.b>0,b2-ac≥0 D.b<0,b2-ac≥0
3.因式分解:(1)xy2-x3= ;
(2)-a3-4a2-4a= ;
(3)x2-y2-2x-2y= .
【答案】1.A 2.D
3.(1)x(y+x)(y-x) (2)-a(a+2)2
(3)(x+y)(x-y-2)
素养目标
1.能逆用完全平方公式和平方差公式进行因式分解.
2.能综合运用提公因式法与乘法公式进行因式分解.
3.知道将多项式进行分组,再进行因式分解.
◎重点:用乘法公式进行因式分解.
预习导学
知识点一 公式法
阅读教材本课时“例3”及其之前的内容,解决下列问题:
1.旧知回顾:乘法公式包括完全平方公式与平方差公式,
=a2+2ab+b2; =a2-2ab+b2; =a2-b2.
2.揭示概念:如上题所示,运用 (完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做 法.
3.讨论:满足什么条件的多项式可以用公式法进行因式分解
【答案】1.(a+b)2 (a-b)2 (a+b)(a-b)
2.公式 公式
3.能用完全平方公式进行因式分解的的多项式必须是二次三项式,其中两项的符号相同,并且这两项可以化为两个数(或整式)的平方的形式,另一项是这两个数(或整式)乘积的2倍,符号可正可负.能用平方差公式分解的多项式是必须是两项式,每一项都可以化成平方的形式,并且符号相反.
知识点二 提取公因式法和公式法的综合应用
阅读教材本课时“例4”,解决下列问题:
1.ab2-ac2有两项,不符合平方差公式的特点,但各项有公因式a,提取公因式后,得 ,括号内的多项式可用平方差公式继续分解,得到最后的结果为 .
2.3ax2+24axy+48ay2有三项,不符合完全平方公式的特点,但各项有公因式 ,提取公因式后,得 ,括号内的多项式可以用完全平方公式继续分解,得到最后结果为 .
【答案】1.a(b2-c2) a(b+c)(b-c)
2.3a 3a(x2+8xy+16y2) 3a(x+4y)2
知识点三 分组分解法
阅读教材本课时“例5”,解决下列问题:
1.讨论:(1)对于“例5(1)”, 在x2-y2+ax+ay中前两项可用 分解因式,其中一个因式是 ,后两项提取公因式a后,另一个因式也是 ,再利用提公因式法即可.
(2)在“例5(2)”中,对于多项式a2+2ab+b2-c2,前三项可用 分解因式,之后可以用 公式分解因式.
2.思考:观察一个多项式,如何决定其要不要分组分解
【答案】1.(1)平方差公式 (x+y) (x+y)
(2)完全平方公式 平方差
2.先观察是否能提取公因式,再看是否能用公式法分解因式;若前两者都不能直接进行,再考虑是否能通过分组之后,将各项分别提取公因式或用公式法.
【归纳总结】分组的目的是将多项式分为 可以用提公因式法或 分解因式的形式.
【答案】各项 公式法
对点自测
1.分解因式2x2-32的结果是 ( )
A.2(x2-16) B.2(x+8)(x-8)
C.2(x+4)(x-4) D.(2x+8)(2x-8)
2.下列多项式可以用分组分解法分解的是 ( )
A.x2-y2+2y-1 B.a-b+3ac-6bc
C.9a2-b2+4b+4 D.a2-2ab+b2+4
3.因式分解:4a2-9= .
4.分解因式:9x2+6x+1= .
【答案】1.C 2.A
3.(2a+3)(2a-3)
4.(3x+1)2
合作探究
任务驱动一 公式法
1.把下列各式分解因式:(1)9a2-49b2;
(2)4-12(x-y)+9(x-y)2.
【答案】1.解:(1)原式=(3a+7b)(3a-7b).
(2)原式=(2-3x+3y)2.
【方法归纳交流】判断是否可用平方差公式应注意:(1)必须是 式;(2)这两项都必须是 ;(3)这两项的符号 .
【答案】二项 完全平方 相反
任务驱动二 因式分解的一般步骤与要求
2.把下列各式分解因式:
(1)(x2-3)2+2(3-x2)+1;
(2)4xy2-4x2y-y3;
(3)2x5-8x3;
(4)x2-6xy+9y2-1.
【答案】2.解:(1)原式=(x2-3-1)2
=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.
(2)原式=-y(-4xy+4x2+y2)=-y(2x-y)2.
(3)原式=2x3(x2-4)=2x3(x+2)(x-2).
(4)原式=(x-3y)2-1=(x-3y+1)(x-3y-1).
【方法归纳交流】一个多项式分解因式的一般步骤:一提二用三查,即先考虑提公因式,再考虑能否用公式,最后检查每个因式是否还能继续分解.
任务驱动三 分组分解法
3.分解因式:(1)1-a2-b2-2ab;
(2)2ac-6ad+bc-3bd.
【答案】3.解:(1)原式=1-(a2+b2+2ab)
=1-(a+b)2
=(1+a+b)(1-a-b).
(2)原式=(2ac-6ad)+(bc-3bd)
=2a(c-3d)+b(c-3d)
=(c-3d)(2a+b).
【方法归纳交流】分组分解法其实是通过对多项式进行适当的 ,把多项式转化为可以应用基本法分解的结构形式,使之具有 或者符合 的因式.
【答案】分组 公因式 公式特点
任务驱动四 因式分解的应用
4.试说明不论a,b为何值时,代数式a2b2-4ab+5的值一定是正数.
5.当a,b为何值时,多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值 请求出这个最小值.
【答案】4.解:因为a2b2-4ab+5=(a2b2-4ab+4)+1=(ab-2)2+1,由于不论a,b为何值,都有(ab-2)2≥0,所以(ab-2)2+1>0.因此不论a,b为何值时,代数式a2b2-4ab+5的值一定是正数.
5.解:原式=a2-4a+4+b2+6b+9+5=(a-2)2+(b+3)2+5,
故当a=2,b=-3时,a2+b2-4a+6b+18有最小值5.
素养小测
1.小妍将(2020x+2021)2展开后得到a1x2+b1x+c1;小磊将(2021x-2020)2展开后得到a2x2+b2x+c2,若两人计算过程无误,则c1-c2的值为 ( )
A.4041 B.2021 C.2020 D.1
2.已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c<0,则 ( )
A.b>0,b2-ac≤0 B.b<0,b2-ac≤0
C.b>0,b2-ac≥0 D.b<0,b2-ac≥0
3.因式分解:(1)xy2-x3= ;
(2)-a3-4a2-4a= ;
(3)x2-y2-2x-2y= .
【答案】1.A 2.D
3.(1)x(y+x)(y-x) (2)-a(a+2)2
(3)(x+y)(x-y-2)