人教A版 高中数学 选修二4.2.2等差数列的前n项和公式 课件（共80张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版 高中数学 选修二4.2.2等差数列的前n项和公式 课件（共80张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 13.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-06 19:40:59 | ||
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文档简介
(共80张PPT)
4.2等差数列
4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）
二、等差数列前n项和公式
CONTENTS
目录
三、公式应用
一、导入
四、巩固训练
五、小结
一、导入
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，1777年4月30日–1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家。
高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉。
一、导入
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+…+100＝？
高斯的算法：
一、导入
高斯的算法实际上解决了求等差数列
①
前100项的和的问题.
思考：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前 项和的方法吗？
一、导入
可以发现，高斯在计算中利用了
这一特殊关系.
即:
性质：在等差数列中，若，且,则.
一、导入
将上述方法推广到一般，可以得到：
当是偶数时，有
一、导入
当为奇数时，有
一、导入
所以，对任意正整数，都有
二、等差数列的前n项和公式
思考：我们发现，在求前 个正整数的和时，要对 分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
对公式 作变形，可得
它相当于两个 相加，而结果变成个相加.
二、等差数列的前n项和公式
受此启发，我们得到下面的方法：
将上述两式相加
二、等差数列的前n项和公式
所以
可得
二、等差数列的前n项和公式
探究：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列{ }的前 项和吗？
二、等差数列的前n项和公式
可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，
再将两式相加，得到个相同的数相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和.
倒序相加法
二、等差数列的前n项和公式
对于等差数列，因为
我们用两种方式表示：
， ②
. ③
②+③得
二、等差数列的前n项和公式
由此得到等差数列的前项和公式：
二、等差数列的前n项和公式
把等差数列的通项公式代入以上公式
可得
二、等差数列的前n项和公式
思考: 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
三、公式应用
例6 已知数列是等差数列.
（1）若；
（2）若，求；
（3）若，，
三、公式应用
我该如何选用公式呢
（1）可以直接利用公式求和；
（2）可以先利用的值求出，再利用公式求和； （3）已知公式中的，解方程即可求得.
三、公式应用
解：（1）因为，根据公式，可得
（2）因为，所以.根据公式，可得×＝.
三、公式应用
（3）把，，代入，得×.
整理，得
解得
（舍去）.
所以
三、公式应用
归纳
(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量 这五个量可以“知三求二”．
(2) 等差数列的常用性质：
若，则，常与求和公式结合使用．
三、公式应用
例7 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
三、公式应用
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
解：已知=310, =1220,
把它们代入公
得
解方程组，得
三、公式应用
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)只有在等差数列中S1等于a1.( )
(2)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.( )
(3)不存在这样的n的值,使公差为正数的等差数列前n项和Sn等于0.( )
×
√
×
四、巩固训练
1、在等差数列{an}中：
(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9= .
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= .
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d= .
四、巩固训练
答案 (1)81 (2)15 (3)-171
解析： (1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.
(2)设等差数列{an}的公差为d,
四、巩固训练
解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,
即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
四、巩固训练
2、
(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5=( )
A.15 B.20 C.25 D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
A.12 B.13 C.14 D.15
(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n= .
四、巩固训练
答案 (1)C (2)B (3)10或11
四、巩固训练
四、巩固训练
3、若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
四、巩固训练
解 ：当n=1时,S1=a1=-1;
当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,
经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故 an=4n-5.
因为 an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,
所以数列{an}是等差数列.
四、巩固训练
4、若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
四、巩固训练
解 ∵Sn=2n2-3n-1,①
当n=1时,S1=a1=2-3-1=-2;
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,②
①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5,
经检验,当n=1时,a1=4×1-5=-1≠-2,
故an=
∵a2-a1=3,a3-a2=4,即a2-a1≠a3-a2,
∴数列{an}不是等差数列,易知数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列.
四、巩固训练
5、疫苗是解决病毒传染的关键,为了早日生产某种病毒疫苗,某研究所计划建设n个实验室,从第1到第n实验室的建设费用依次构成等差数列,已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元,第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元,现在总共有建设费用438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
C
四、巩固训练
五、小结
求等差数列前n项和方法：倒序相加
等差数列前n项和公式：
Thanks
4.2等差数列
4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）
二、导入
CONTENTS
目录
三、探究
一、复习
四、函数特征
五、巩固训练
六、小结
一、复习
求等差数列前n项和方法：倒序相加
等差数列前n项和公式：
二、导入
例8：某校新建一个报告厅，要求容容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？
二、导入
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{}，其前n项和为.根据题意，数列{}是一个公差为2的等差数列，且.
由 得
因此，第1排应安排21个座位。
三、探究
例9：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
三、探究
分析：
由和,可以证明是递减数列，且存在正整数,使得当时， ，递减，这样就把求的最大值转化为求的所有正数项的和。
三、探究
分析：
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数，当= 时函数值。当 时，关于的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的,
三、探究
解法1：由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是递减数列.
得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12，可知：
当n＜6时，an＞0；
当n＝6时，an＝0；
当n＞6时，an＜0.
所以
S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
也就是说，当n＝5或6时，Sn 最大.
因为 =30,所以Sn 的最大值为30.
三、探究
解法2：
由a1＝10，d＝－2，
因为
所以，当n 取与 最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30.
四、函数特征
归纳：等差数列前n项和的函数特征
1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝________________.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次表达式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，
即等差数列的前n项和Sn是二次函数y＝x2＋x(x∈R)的x＝n的函数值，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一群孤立的点．
四、函数特征
2．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有_最大_值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有_最小_值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
四、函数特征
(2)，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有__最小_值；当d<0时，Sn有__最大__值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
4、在等差数列{an}中．
(1)若a4＝2，求S7；
(2) 若S5＝3，S10＝7，求S15；
五、巩固训练
(1)S7＝×7×(a1＋a7)＝ ×7×2a4＝7a4＝7×2＝14.
(2)数列S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即3，7－3，S15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S15－7，解得S15＝12.
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
8、在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
归纳：求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
五、巩固训练
五、巩固训练
9、某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
10、已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－30n.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求Sn的最小值及对应的n值.
五、巩固训练
(1)∵Sn＝n2－30n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝－29.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31.
∵n＝1也适合，∴an＝2n－31，n∈N*.
五、巩固训练
(2)法一：
Sn＝n2－30n＝2－225
∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.
法二：
∵an＝2n－31，∴a115时，an>0.
∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.
六、小结
等差数列前n项和的函数性质
，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有__最小_值；当d<0时，Sn有__最大__值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
六、小结
2.用判断
当a1>0，d<0时，Sn有_最大_值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有_最小_值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
Thanks
4.2等差数列
4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）
二、等差数列前n项和公式
CONTENTS
目录
三、公式应用
一、导入
四、巩固训练
五、小结
一、导入
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，1777年4月30日–1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家。
高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉。
一、导入
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+…+100＝？
高斯的算法：
一、导入
高斯的算法实际上解决了求等差数列
①
前100项的和的问题.
思考：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前 项和的方法吗？
一、导入
可以发现，高斯在计算中利用了
这一特殊关系.
即:
性质：在等差数列中，若，且,则.
一、导入
将上述方法推广到一般，可以得到：
当是偶数时，有
一、导入
当为奇数时，有
一、导入
所以，对任意正整数，都有
二、等差数列的前n项和公式
思考：我们发现，在求前 个正整数的和时，要对 分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
对公式 作变形，可得
它相当于两个 相加，而结果变成个相加.
二、等差数列的前n项和公式
受此启发，我们得到下面的方法：
将上述两式相加
二、等差数列的前n项和公式
所以
可得
二、等差数列的前n项和公式
探究：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列{ }的前 项和吗？
二、等差数列的前n项和公式
可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，
再将两式相加，得到个相同的数相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和.
倒序相加法
二、等差数列的前n项和公式
对于等差数列，因为
我们用两种方式表示：
， ②
. ③
②+③得
二、等差数列的前n项和公式
由此得到等差数列的前项和公式：
二、等差数列的前n项和公式
把等差数列的通项公式代入以上公式
可得
二、等差数列的前n项和公式
思考: 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
三、公式应用
例6 已知数列是等差数列.
（1）若；
（2）若，求；
（3）若，，
三、公式应用
我该如何选用公式呢
（1）可以直接利用公式求和；
（2）可以先利用的值求出，再利用公式求和； （3）已知公式中的，解方程即可求得.
三、公式应用
解：（1）因为，根据公式，可得
（2）因为，所以.根据公式，可得×＝.
三、公式应用
（3）把，，代入，得×.
整理，得
解得
（舍去）.
所以
三、公式应用
归纳
(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量 这五个量可以“知三求二”．
(2) 等差数列的常用性质：
若，则，常与求和公式结合使用．
三、公式应用
例7 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
三、公式应用
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
解：已知=310, =1220,
把它们代入公
得
解方程组，得
三、公式应用
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)只有在等差数列中S1等于a1.( )
(2)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.( )
(3)不存在这样的n的值,使公差为正数的等差数列前n项和Sn等于0.( )
×
√
×
四、巩固训练
1、在等差数列{an}中：
(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9= .
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= .
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d= .
四、巩固训练
答案 (1)81 (2)15 (3)-171
解析： (1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.
(2)设等差数列{an}的公差为d,
四、巩固训练
解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,
即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
四、巩固训练
2、
(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5=( )
A.15 B.20 C.25 D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
A.12 B.13 C.14 D.15
(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n= .
四、巩固训练
答案 (1)C (2)B (3)10或11
四、巩固训练
四、巩固训练
3、若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
四、巩固训练
解 ：当n=1时,S1=a1=-1;
当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,
经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故 an=4n-5.
因为 an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,
所以数列{an}是等差数列.
四、巩固训练
4、若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
四、巩固训练
解 ∵Sn=2n2-3n-1,①
当n=1时,S1=a1=2-3-1=-2;
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,②
①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5,
经检验,当n=1时,a1=4×1-5=-1≠-2,
故an=
∵a2-a1=3,a3-a2=4,即a2-a1≠a3-a2,
∴数列{an}不是等差数列,易知数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列.
四、巩固训练
5、疫苗是解决病毒传染的关键,为了早日生产某种病毒疫苗,某研究所计划建设n个实验室,从第1到第n实验室的建设费用依次构成等差数列,已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元,第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元,现在总共有建设费用438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
C
四、巩固训练
五、小结
求等差数列前n项和方法：倒序相加
等差数列前n项和公式：
Thanks
4.2等差数列
4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时）
二、导入
CONTENTS
目录
三、探究
一、复习
四、函数特征
五、巩固训练
六、小结
一、复习
求等差数列前n项和方法：倒序相加
等差数列前n项和公式：
二、导入
例8：某校新建一个报告厅，要求容容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？
二、导入
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{}，其前n项和为.根据题意，数列{}是一个公差为2的等差数列，且.
由 得
因此，第1排应安排21个座位。
三、探究
例9：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
三、探究
分析：
由和,可以证明是递减数列，且存在正整数,使得当时， ，递减，这样就把求的最大值转化为求的所有正数项的和。
三、探究
分析：
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数，当= 时函数值。当 时，关于的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的,
三、探究
解法1：由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是递减数列.
得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12，可知：
当n＜6时，an＞0；
当n＝6时，an＝0；
当n＞6时，an＜0.
所以
S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
也就是说，当n＝5或6时，Sn 最大.
因为 =30,所以Sn 的最大值为30.
三、探究
解法2：
由a1＝10，d＝－2，
因为
所以，当n 取与 最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30.
四、函数特征
归纳：等差数列前n项和的函数特征
1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝________________.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次表达式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，
即等差数列的前n项和Sn是二次函数y＝x2＋x(x∈R)的x＝n的函数值，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一群孤立的点．
四、函数特征
2．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有_最大_值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有_最小_值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
四、函数特征
(2)，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有__最小_值；当d<0时，Sn有__最大__值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
4、在等差数列{an}中．
(1)若a4＝2，求S7；
(2) 若S5＝3，S10＝7，求S15；
五、巩固训练
(1)S7＝×7×(a1＋a7)＝ ×7×2a4＝7a4＝7×2＝14.
(2)数列S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即3，7－3，S15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S15－7，解得S15＝12.
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
8、在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
归纳：求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
五、巩固训练
五、巩固训练
9、某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
五、巩固训练
五、巩固训练
五、巩固训练
10、已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－30n.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求Sn的最小值及对应的n值.
五、巩固训练
(1)∵Sn＝n2－30n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝－29.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31.
∵n＝1也适合，∴an＝2n－31，n∈N*.
五、巩固训练
(2)法一：
Sn＝n2－30n＝2－225
∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.
法二：
∵an＝2n－31，∴a1
∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.
六、小结
等差数列前n项和的函数性质
，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有__最小_值；当d<0时，Sn有__最大__值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
六、小结
2.用判断
当a1>0，d<0时，Sn有_最大_值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有_最小_值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
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