数学月刊第一期

智商高低凭谁说
数学教师在给学生讲“智商高低问题”.
——国际上，有一个成立于1946年的“高智商俱乐部”，至今已接纳过十万个成员.先来欣赏他们的一道测试题.
——题目：数2、5、26之后的一个数是多少？
全场肃静，大家都在认真思考.　老师接着讲：
——有人寻找到了规律：5=22+1；26=52+1，后一个数是前一个数的平方加1，于是26之后的一个数是262+1=677.　智商高吧！
全场肃静，无人应答.老师接着讲：
——再看第二种解答.
2=9×12-24×1+17，
5=9×22-24×2+17，
26=9×32-24×3+17.
因此26后面的一个数可以是9×4-24×4+17=65.　智商高吧！
全场肃静，仍然无人应答.老师接着再讲：
——再看第三种解答.
智商高吧！
全班默然.老师继续说.
——还来看看第四种解答.
设数列的前三项为2，5，26，则其通项可以是：
所以，这道智力测验题的答案是：“数2，5，26之后的数不确定.”
他们的智商高吧！
还是无人应答.老师有点着急，点名向小提问：
——小，这些人的智商高吗？
小的回答，使老师感到惊讶：
——这些人有智商，但智商不太高. 因为本题只要求写数列的第四项，并没有要求通项公式!
——那你说一说，这个２６后面的数是什么？
——还可以是２６！
全班活跃，但老师听了有点纳闷：
——那第５个数呢？
——是５！
——我知道了，第６个数你将要写２!那么这个数列就成了只有６项的有穷数列了？
小不语，大补答：
——要写无穷数列，也很容易，第７个数再写２，后面再写５，再写２６，……！
全班掌声！老师自言自语地问：到底谁的智商高呢？
有人大喊——小，大的智商高!
……
其实，数列的第４个数，取任何一个数都行.　比如，从第４项开始，全部写０.
这不一定排除了通项公式，因为通项公式还可以分段来写，如本题的分段通项公式可以写成：a1=2,a2=5,a3=26,an+3=0.
考场茶座第2讲 函数方程是一组方法
数学思想不仅用来解释数学，思想一旦投入应用，必然形成具有操作性的法则.
常见的待定系数法，配方法，参数法等，都是函数方程思想的具体运用.
将函数方程用于图形，则形成了解析法、三角法等.
将函数方程用于不等式，则形成了比较法、放缩法等.
【例1】 .
【分析】 函数与方程用于证不等式，各有各的办法.
(1)不等式来自方程的倾斜；
（2）不等式来自函数的单调.
【解1】 （方程倾斜法）
由二项式展开式系数的和，得方程
（1）
将方程（1）的右边的中间项去掉，只留前2项和后2项，则方程倾斜成不等式
这就是求证的不等式.
【解2】 （函数单调性）
设函数 ①
得 f（3）=0，即23=2（3+1）
又
当x>3时，
函数为增函数
即
即n>3时， ②
综合①、②知不等式
2n≥2（n+1）成立（n≥3）.
【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1,，则a的范围为_______.
【解析】 由
又，则，
由此得到启示b+c与bc都可用a表示，
故b、c是关于x的一元二次方程的两根.
故.
解得
【点评】 当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决.
【例3】 数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；（II）求的通项公式．
【解析】 （I），，，
因为，，成等比数列，所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，所以．
【例4】 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
　【解析】　设椭圆方程为.
∵ e=，∴ c2=，
由a2=b2+c2得a=2b，　　
故所求椭圆方程就是　　
设M（x，y）是椭圆上任一点，则x2=4b2-4y2.
　　
　　∵ -b≤y≤b，
∴ 为求|PM|max，讨论与［－b，b］之间的关系即可确定.
若b≥，则当y=-时，|PM|max＝，
∴ b=1.
若0综上所述，b=1.
故所求椭圆方程为
∵ |PM|max=时，y=-，
∴　x=±，故椭圆上到Ｐ点距离等于的点有两个.
【点评】 本题是用待定系数法求椭圆的标准方程的，要求出a，b两个量，那么需构造a，b两个量的方程组，这是方程思想的运用；而本题中的一个重要条件是椭圆上的点与点Ｐ（０，）的最远距离是，这个条件的使用首先要构建这两点距离的目标函数，再求最大值，这是函数思想的运用.
对应训练
1. a∈R时，方程asinx+cosx=a+ （ ）
（A）至少有一解 （B）至多有一解 （C）一定有两解 （D）肯定无解
2. 设函数f（x）=x2+x+的定义域是[n，n+1]（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有________个整数．
3. 三棱锥S-ABC，SA=x，其余的所有棱长均为1，它的体积V；
（Ⅰ）求V=f（x）的解析表达式，并求此函数的定义域；
（Ⅱ）当x为何值时，V有最大值？并求此最大值．
对应答案
1.D方程可化为（其中φ满足），则
这样的实数x不存在，原方程无解．
2.2n+2 由于当x=n（n∈N）时，x2+x+，所以当x∈[n，n+1]内变化时，只须计算两个边界值的函数值之间相差的整数的个数．
∴
3. 如图．
（Ⅰ）取BC中点D，连SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC，
∴BC⊥平面SAD．
作DE⊥SA于E，由于SD=AD，则E是SA的中点，
∴的定义域是．
（Ⅱ）
等号在x2=3-x2时即x=时成立，
∴当x=时，体积V最大为1/8．
【点评】 求最大（或最小）值问题，设所求量为函数并求出其解析表达式，然后利用代数中有关的知识求得结果，并给出解答．
本题的几何解法为：设三棱锥S-ABC的高为h，因为底面△ABC的面积为定值，所以h大则体积也大．因为h≥SD，当h=SD=时，体积最大，此时．
同步讲台（2）
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- 1 -元月号海淀新题
1. 已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围.
2.二次函数f（x）=ax2+2bx+c中，a、b、c为整数，且f（0）、f（1）是奇数．
（Ⅰ）系数a是奇数还是偶数，并说明理由；
（Ⅱ）证明方程f（x）=0无整数解．
3.三角形ABC的三边a、b、c是整数，其周长为20，面积是，又三个内角A、B、C成等差数列．求三角形三边的长．
元月号海淀新题参考答案
1.∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]
原题转化为：>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）
当x＝2时，不等式不成立.
∴x≠2.令g(m)＝，m∈[，3]
问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：；
解得：x>2或x<－1
评析 首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键.
2.（Ⅰ）f（0）=c，f（1）=a+2b+c是奇数．
设c=2n+1，a+2b+c=2m+1（n，m∈Z）．
∴a+2b=2m+1-（2n+1）=2（m-n）是偶数．
∴a=2（m-n-b），m、n、b是整数．
∴a是偶数．
（Ⅱ）设方程f（x）=0有整数解为k（k∈Z），
即ak2+2bk+c=0．
∴c=-ak2-2bk=-k（ak+2b）．
∵a是偶数，ak是偶数，2b是偶数，
∴ak+2b是偶数，-k（ak+2b）也是偶数．
∴c是偶数，与已知f（0）=c是奇数矛盾，
∴方程f（x）=0无整数解．
说明：整数问题中的变数问题，中学一般用计算并辅以讨论的方法求解．
3.∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C．∵A+B+C=π，
由②得ac=40，代入③得b2=（a+c）2-3×40．
∴c=13a，代入ac=40得
a2-13a+40=0，则
∴三角形三边的长为a=5，b=7，c=8或a=8，b=7，c=5．
说明：几何中有关三角形的定理，全作为用方程思想解题时布列方程的思维工具.中学教学中，求未知量布列方程求解时，涉及的知识都起同样的作用.
九州同猜
①
②
③
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- 2 -田增伦 函数方程的递归解法
上节最后几个例题清楚地表明，对于由自然数的函数组成的方程，代换法是一个相当有效的方法. 但是，这种方法也会有失效的时候. 请看例1中由养兔问题而得到的函数方程：
如果分别令就得到
加在一起，得
仍然未能求得我们所需要的函数，即无法用n的代数式来表示.
这时候，使用一种叫递归法的方法，也许会获得成功.
我们知道，定义在自然数上的函数，当自变量n依次取1，2，3，…等值时，就形成一个数列
因而可以借助于数列对这种函数组成的函数方程加以研究.
给出一个数列，通常可有三种方法：一是用通项公式，一是用递推公式，一是用递归公式. 所谓通项公式，就是用自然数n的表达式来表示数列的“通项”的公式. 所谓递推公式，就是由含有数列前边的若干项的表达式来表示后边某一项的公式. 如果这种表达式中仅含数列前边的若干项（允许有常数系数），这个公式就叫递归公式.
例如自然数列，用通项公式来表示是
（51）
用递推公式来表示就是
（52）
用递归公式来表示又成为
（53）
又如自然数的平方组成的数列
它的这三个公式分别是
通项公式：
（54）
递推公式：
（55）
递归公式：
（56）
这里有几个关系值得注意：
第一，通项公式与其他两个公式的关系. 从函数方程的观点看来，递推、递归公式实际上都是函数方程，而通项公式则是它们的解. 这一点，从（51）～（53），（54）～（56）可以明显地看出来.
第二，递推公式与递归公式间的关系. 从定义上看，递归公式也是一种递推公式，二者是从属关系，或特殊与一般的关系. 不过为了叙述上的方便，我们把只含数列中的项（可以带有系数）的递推公式叫递归公式. 递归公式的一般形式是
（57）
这是用数列中连续k项的表达式来表示紧接着的后一项. 这里，是常数系数. 公式（57）更精确地称做是k阶递归公式.
一般来说，由递推公式能够推导出递归公式. 以（55）的递推公式为例.
因为
同样地有
后式减去前式，移项得
类似地有
后式减去前式，移项得
（58）
这是一个三阶递归公式.
第三，三个公式与数列的关系. 一旦给出通项公式，数列便被唯一地确定了. 但递推公式特别是递归公式却不然. 给出一个递归公式后，会有无穷多数列都满足这个递归公式. 这是因为，由k阶递归公式的数列，它的前k项无法由递归公式本身确定. 但当给出了这个数列的前k项的值后，递归公式就唯一地确定了数列. 我们把数列前k项的值叫初值条件. 同一个递归公式，由于初值条件不同，将得到不同的数列.
例如，递推公式（58）是一个三阶递归公式. 只有当初值条件取
时，才对应自然数的平方的数列. 事实上，
如果改变初值条件，比如取
时，不难算得：
数列就不再是自然数平方数列了.
一般说来，递归公式（57）
可以对应无穷多的数列，只要选取不同的初值条件，亦即对数列的前k项
给以不同的值就行了. 反过来说，有无穷多个数列满足递归公式（57）. 只有在初值条件给出后，数列才完全确定.
特别是，我们能够构造出首项为1，公比为q的等比数列，使它满足递归公式（57）：
事实上，只要公比满足方程
（58）
就可以了. 方程（58）两边同除以，得
. （59）
这就是说，公比q应当是方程（59）的根. 这样一来，一个等比数列，只要当它的公式q满足以k阶递归公式（57）的相当系数为系数的代数方程（59）时，它必能满足这个递归公式.
方程（59）叫递归公式（49）的特征方程.
还应当指出：
如果一个数列满足递归公式（57），那末给数列的各项乘以相同的常数，所得的新数列仍满足原递归公式（57）；
如果两个数列都满足同一个递归公式（57），那末它们对应项的和所组成的新数列仍满足原递归公式（57）；
由此又得到：如果两个数列都满足同一个递归公式（57），那末，给两数列的各项分别乘以常数（同一数列的各项要乘同一常数，但两数列所乘的常数可不必相同），再把对应项加起来，所成的数列仍满足原递归公式（57）.
上述这些性质都显而易见，证明也并不难.
应用所有这些结果，即可解某些定义在自然数上的函数方程了.
[例15] 解由例1的养兔问题而得的函数方程
（5）
解 对应的特征方程是
（60）
解这个方程，得
如前所述，数列
满足递归公式（5）. 这里A，B是待定的常数. 它们满足初值条件
解由方程（61），（62）组成的方程组，得
.
∴
就是
（63）
这就是说，第n个月，共有大兔对.
诚然，公式（63）是不便于实际计算的. 但利用下列近似数值和常用对数表，即可求得的近似值：
例如n=12时，1.6180312=321.992，（-0.61803）12=0.003，321.992－0.003=321.989. 321.989×0.44721≈1.44. 即一年后大兔有144对. 使用数学归纳法或其他方法，可以证明对任何n，都是正整数，但在用近似数计算时却只近似地得到整数.
[例16] 已知
（64）
且
（65）
求证
. （66）
证 函数方程（65）的特征方程是
∴
根据初值条件（64），设
求得
∴
有时候，特征方程具有虚数根. 试看下例.
[例17] 已知
求小数点后第n位的数字.
解 设小数点后的第n位数字是. 于是有初值条件
且
（67）
对应的特征方程是
∴
所以有
令B+C=A1，(-B+C)i=A2，就得
因而有
从中解出
最后得
（68）
例如，小数点后的第100位的数字是
特征方程还有出现重根的情形，例如自然数的平方组成的数列，这的三阶递归公式（56）
对应的特征方程是
即
（69）
显然这个方程有三重根q=1. 这时确定待定的系数就不能用前面的方法了.
我们这里不去讨论最一般的情形，只来研究一下特征方程的所有重根都相等这种很特殊的情形. 上述特征方程（69）就属于这种情形.
设有一个k阶递归公式
（70）
其中分别表示从k个不同元素中每次取k-1个，k个，…，0个元素的组合数. 递归公式（70）对应的特征方程是
（71）
它可以写成
可见是特征方程（71）的k重根：
可以验证（具体验证过程这里略去），下面的k个数列中的任何一个都满足递归公式（70）：
（72）
其中是特征方程（71）的k重根.
而且可以证明（证明过程这里也予略去），满足递归方程（70）的数列，它的通项
（73）
其中满足方程组
（74）
因此，要求，只要由特征方程求出重根，再由方程组（74）求出，最后代入（73）就可以了.
[例18] 求自然数列前n项的平方和：
（75）
解 显然有函数方程
（76）
把上边的递推形式化为递归形式：
（77）
对应的特征方程是
即
这个方程有4重根
根据方程组（74）得
由这个方程组解出：
代入（73），并注意，即得
练习与解答
练习8 已知 解函数方程
解 函数方程对应的特征方程是
解这个函数方程，得
由所给初值条件，解关于A，B的方程组
得
故所求的函数是
练习9 解练习5所给的函数方程：
已知
解 函数方程对应的特征方程是
∴
∴
所求的函数方程是
这个结果和原来的完全一致，只是解法更简练了.
练习10 设 且
求证：.
证 函数方程对应的特征方程是
∴
∴
练习11 已知数列满足条件
求数列的通项公式.
解 因有
∴
上列两式相减，得
即
解特征方程
得
此外，显然有
∴
∴
类列的通项
练习12 求前n个自然数的立方和：
解 显然满足函数方程：
把上边的递推形式化为递归形式：
对应的特征方程是
即
它有5重根
根据方程（74），得
解这个方程组，得
把，代入（73），求出
即
专家名著
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- 1 -罗增儒 数学解题学引论（13）
第三章 解题过程
人们寻找习题解答的活动叫做解题过程. 它通常包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤.把书写等同于解题过程既不符合事实，更没有反映出问题的本质. 有时候，一个精练而漂亮的书写恰好严严密密地掩盖着一个复杂而生动的思考.解题过程最本质的是积极的思维过活动，思维过程中最富于创造性的是提出问题.因此，解题过程是运用数学知识，调动数学能力，既不断提出问题又不断解决问题的思维过程.书写是其中的一个环节，虽然其重要性怎么强调都不算过分，但它毕竟是思维结果的纪录，还不是思维本身（参见2—3中解题过程的结构）.
我们认为，学会解题的有效途径是分析解题过程.有的学生总是停留在知识型的层次上，不能形成解题能力，其根本原因就在于他们既没有分析典型的例题，又没有分析自己的解题活动，没有从中整理出基础理论、基本思想和常用方法.相反，善于做解题过程分析的学生，很快就形成解题的一般能力，并且受益终生.
本章首先研究解题程序，然后对解题过程进行思维分析、结构分析和长度分析.后两章，将从更宽广的角度、运用更新的观点继续分析解题过程.
3—1 解题程序
每一道习题都有自己的解题过程，每一个过程都可以分成一些循序渐进的阶段，许多题目所共同经历的阶段经过规范化总结为一系列可操作的步骤，就形成解题程序.所以，解题程序就是经过规范化而成为可操作的解题过程.
规范化和可操作是解题程序的两个显著特征.规范化反映了一类习题的解题过程的合理性，可操作反映了实现解题目标的可能性，合理而又可能就是有程序，否则就没有程序.
解题过程是解题思想与解题行动的连接点，其实质是解题思想的最终形式.解题是人的有意识的活动，它必然要接受解题思想的指导，但是，要把思想转化为行动，思想必须先具体化为程序，如果某个思想根本就不能转化为程序，那它就不能表现出解题能力，至多只能是一些带上神秘色彩的个人行为.数学方法的本质正在于数学思想的程序化！上一章中各种解题观，都无一例外地设计了各自的解题程序，即波利亚的怎样解题表，弗里德曼的八步骤框图，和唐以荣的“一导一式”及“二导一式”.
有的解题分析或解题教学之所以太空、太玄，就是在解题思想与解题行动之间缺少解题程序，作者（或教师）可以“空中飞人”，而读者（或学生）却“如坠五里雾中”.程序是解题的必要形式，介绍解题程序也应该是解题教学的必要步骤.
解题程序依其适应范围而分成两类，一类是适应面较窄的微观解题程序，一类是适应面较宽的宏观解题程序.
名师讲座(13)
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- 1 -第5讲 函数方程是一项探究
函数思想就是用运动和变化的观点研究数学问题.即先构造函数，把给定问题转化为研究辅助函数的性质，从而得到所需解决问题的结论.
方程思想可将数学问题转化为方程或方程组问题.通过解方程（或方程组）或者运用方程的性质来研究问题，使问题得以解决.
函数与方程是密切相关的，是可以互相转化的，并在互通互补中形成了函数方程思想.
作为一种数学思想的函数方程，它不是固化的、封闭的，而是迁移的、发展的.高考中出现的所谓新题型、新情景考题，说到底，多是函数方程在前沿阵地上的“新展开”.这里的“前沿”是指高考命题在函数方程上的“新创意新款式”.
既然函数方程有“新问题”出现，因此，在函数方程备考中需要有新的探究.
【例１】已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
【分析】　题目研究函数问题，但不是前几年的“旧函数”；题目中研究切线，以前的切线最多只有两条，这里研究三条，也不是以前的“切线”.这是２００７年函数方程问题中的“前沿”问题，情景新，立意新，解题时不要企图寻找“旧套路”，要以发展、创新的心态进行探究.
【解析】　（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 ，
则
．
当变化时，变化情况如下表：
0
0 0
极大值 极小值
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
【点评】本题的创新很多，比如它把线性规划发展到了“曲线规划”，因为不等式（组）表示的是区域.　
超纲吗？不超纲！因为它是函数方程思想及由此形成的方法、技能可以达到的高度.这就是高考命题在知识与思想、在已知与未知的交接处开展创新的代表作.
【说明】 例1显示的“前沿”，还是“传统函数”的纵向前沿.如果想到横向前沿，则是与传统函数似乎毫不相干的新题型.2007年广东卷第6题应该是这种代表.
【例2】 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为（如表示身高（单位：cm）在内的学生人数）．
图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【分析】 本题与函数方程有什么关系呢？一定有.因为本题中有两个变量，一是人数，二是身高，既然要研究它们之间的关系，那就摆脱不了函数方程思想.情景新、款式新——新在形式上.
【解析】C S=，i<8.
【点评】 这是所谓的标准的答案，函数方程在哪里呢？在解题人的心中.
看惯了连续函数图象（曲线）的学生，可能对题设中的“矩形图象”看不惯.然而，它是名符其实的函数图象——这就是款式创新.
i<8是什么意思呢？它（实际上）是函数的定义域，只不过将定义域问题拐了一道弯——这也是款式创新.
【说明】 像2007年广东卷第6题的这种新题型，还没有成为高考试题的主流，我们不必在这里任意攀高，我们仍然要把主要精力放在传统题型的推陈出新上.
【例3】 设a,b∈R，且求a＋b的值.
【解析】由已知两式结构的相似性，联想到相应函数
令x-1=u，则是奇函数，且是增函数.这样，已知是
，
，
得，
则有
从而，所以.
【点评】 本例由已知式构造函数，再巧用奇偶性和单调性，解法奇妙.选取变元，构造函数关系来解决数学问题，这是运用函数思想解题的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能做到运用自如.
对应训练
1. 定义在R上的奇函数f（x），a、b为任意正实数且a＜b，若x∈（a，b）时，恒有成立，则下列关系式中正确的是（ ）
（A）f（-3）＜f（-1） （B）f（-3）=f（-1）
（C）f（-3）＞f（-1） （D）以上都不正确
2. 方程7|x|-7-|x|=2的解集是________．
3. 已知集合M={z||z|=1且z是复数}．若z1，z2，z3，z4，z5，z6是集合M中的六个不同的元素，试证明这六个元素中至少有两个元素的和的模不小于．
对应答案
1. A 方程表示过两点（a，f（a））（b，f（b））的直线的方程．这条直线上横坐标为x的点的纵坐标y为：
∴函数f（x）的图象在x＞0时是向上凸的．即它是增函数（因为a＜b为任何正实数均成立)．则奇函数f（x）在x＜0时也是增函数．
∴f（-3）＜f（-1）．
2. 设7|x|=t≥70=1（据函数性质）
∴原方程化为t2-2t-1=0，
说明：我们设t=7|x|，实际上给定了两个变量t，x间的一个函数关系，就要运用函数的观点来分析其特征．
3. 如图答2-3-2，设六个复数对应的六个向量间的夹角分别是θ1，θ2，…，θ6，∴θ1+θ2+θ3+θ4+θ5+θ6=2π．
设θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6中最小的一个θk（k可能取值为1、2、3、4、5、6）．
∴6θk≤θ1+θ2+θ3+θ4+θ5+θ6=2π，θk=．
设θk是二向量的夹角．
，再向量加法的平行四边形法则得
说明：运用学过的复数知识，将复数计算与其对应的向量计算沟通，建立无定规的六个变量中某两个量的有关方程（或函数式）求解，这种数和形结合方法是数学中常用的思维方法之一．
同步讲台（5）
图1
图2
开始
输入
结束
否
是
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
人数/人
身高/cm
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- 1 -第1周测试（45分）
（1）函数的值域是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）非零复数z1、z2满足；若|z1|=k|z2|，则k的值是（ ）
（A）1 （B）2 （C） （D）无法确定
（3）有下面四人命题：
①奇函数f（x）一定有反函数
②偶函数一定没有反函数
③若函数f（x）的反函数是f-1（x），则方程f（x）=f-1（x）的解集必是有限集
④若奇函数f（x）的定义域是R，则f（0）=0
其中正确的命题是 （ ）
（A）①④ （B）②④ （C）③④ （D）④
（4）已知函数y=f（x）的图象如图2-3-1，那么f（x）= （ ）
（A） （B）x2-2|x|+1
（C） （D）|x2-1|
（5）函数的值域是________．
（6）函数f（x）=（x+a）3（其中a∈R），若对任何实数x恒有f（2-x）=-f（x+2）成立，则f（-3）+f（3）=________．
（7）长方形的长是a，宽是b；周长和面积都是此长方形2倍的长方形是否存在？作出结论，并说明理由．
（8）设有对数方程lg（ax）=2lg（x-1）
（Ⅰ）当a=2时，解该方程．
（Ⅱ）讨论当a在什么范围内取值时，该对数方程有解，并求出它的解．
第1周测试参考答案
B 当x∈R+时，x+≥2，等号在x=，即x2=1，x=1时成立．
但已知定义域x≥2，在所有可以取得的x中，2最接近理论值x=1．
∴x=2时，x+最小值为．
B 两个未知数只有一个方程，只能解出两个变量之间的关系式．
B 奇函数不一定有反函数，如：
偶函数由于y=f（x）=f（-x），一个y值对应两个x值，一定没有反函数．
若．有无限多x适合．
．
（4）C 所给图象是直线构成图形，其方程也应是一次方程（从解析几何知），否定答案中B、D（y=x2-2|x|+1，y=|x2-1|是二次曲线）；图形关于Y轴对称，是偶函数的图象（从代数函数论知），则可否定A（是非奇非偶函数）．
（5）求函数的值域就是解复杂的不等式，为得到不等关系，往往又多从方程下手．
原式变形为yex+y=ex-1，
∴ex（y-1）=-y-1，由于y≠1，
．
（6）将关系式f（2-x）=-f（x+2）化为方程式（2-x+a）3=-（x+2+a）3（2-x+a）3+（x+2+a）3=0，
∴（4+2a）[（2+a-x）2+（2+a+x）2-（2+a-x）（2+a+x）]=0．
（4+2a）[（2+a）2+3x2]=0，
∵a∈R,对任何x∈R上式成立，
∴（2+a）2+3x2≠0，只有4+2a=0，a=-2
∴f（x）=（x-2）3，f（3）=1，f（-3）=-125．
（7）设新长方形的长是A，宽是B，
消去A得：B2-2（a+b）B+2ab=0，
判别式△=4（a+b）2-8ab=4（a2+b2）＞0
∴B必然有解（A也必然有解），
∴这样的长方形是存在的．
说明：所给问题是几何图形的存在问题，所给的量（长方形的长、宽）可在R+中任意变化，只给定二个函数关系（2倍周长与面积），从几何上证明很难下手。但将其给定函数关系视作方程，只要将已知给的变量a、b视作已知，则得到含两个未知量A、B的方程组，此方程组有解，则长方形（所求）存在，此方程组无解，则长方形（所求）不存在．
我们学过的函数与方程的知识，只要熟练掌握、能恰当地与各类问题建立联系（模型关系），则可以解决许多问题．
（8）
（Ⅰ）当a=2时，lg（2x）=lg（x-1）2．
∴2x=（x-1）2，即x2-4x+1=0，
∴x=2±，
∵x＞1，则x=2+．
（Ⅱ）ax=（x-1）2，x2-（a+2）x+1=0，△=（a+2）2-4=a2+4a＞0（∵a＞0），
说明：中学所遇到的函数，多是给出等量关系的解析式来表达，因此也可将其视为多变元的方程式．二者的关系更是密不可分，研究问题时，可变换视角考虑，更严谨、更全面，有时可以找到更简捷的思路．
考虑复杂的含函数概念的方程（或不等式），应先从定义域下手（复杂问题也需考虑值域），确定研究的变量的总范围，再深入考虑特殊要求的细节的范围要求，这样思考，富有层次感，往往又能避免复杂的讨论．
周测月考（1）
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- 3 -第1讲 函数方程是一类新题
在考试大纲上，是找不到“函数方程”这个考点的！
从内容上看，在“函数考章”中有5个考点：（1）映射. 函数. 函数的单调性、奇偶性.（2）反函数.互为反函数的函数图像间的关系. （3）指数概念的扩充. 有理指数幂的运算性质. 指数函数. （4）对数. 对数的运算性质. 对数函数. （5）函数的应用.
从题型上看，常规分类是：选择题，填空题，解答题三类. 也不见函数方程的题型.
经常提到的数学思想：（1）函数方程思想，（2）数形结合思想，（3）分类讨论思想，（4）化归与转化思想等等，高考命题难道可按数学思想分类？
存在决定意识. 高考试题的客观存在，决定了人们在试题分类上认识的深化.
【例1】 （2006年陕西卷·12）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 （ ）
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
【分析】 这是个什么问题？人们往往用“新题型”三字将其归类，或说详细点，这是一种“信息加密问题”——有的还很满足这种分类. 殊不知,这种归类是一种“情境归类”或“形式分类”，没有归类到“数学内容”或“数学思想”的实质与高度上来.
从数学的角度审视“信息加密”，这是一个从集合A（明文）到集合B（密文）的映射问题. 因为集合A、B都是数集，所以加密问题是个“函数问题”，解密问题是对应的“反函数问题”.
【解析】本题是信息安全与密码问题. 欲求明文a，b，c，d，需建立关于a，b，c，d的四个方程.由于收到的密文是14，9，23，28时，由加密规则可得方程组
，解得，
此即为解密得到的明文，故选C．
【点评】 本题在考函数，在考哪一个具体函数？本题在考方程，在考哪一个具体方程？都不“具体”，本题是在考一种数学思想.
所谓“函数方程思想”，就是函数与方程的“统一思想” .
本题中，加密是“函数建模”，解密是“函数还原”，前者是明文到密文的函数式，后者是密文到明文的方程（组）.
初看解析，这似乎是一个单一的“方程问题”.那么试问：如果没有（背后的）函数，方程从何而来？
如果把“函数问题”看作原问题，那么“方程问题”则为原问题的逆问题. 如果函数与反函数是一个问题的两个方面，那么函数与方程这两个方面也统一在同一个整体之中.
【链接】 为了看清方程与函数的“平等地位”，我们可以从“加密函数式Ⅰ”中解出它的反函数式，即得“解密函数式Ⅱ”：
（Ⅰ） （Ⅱ）
当密文为=14，=9，=23，=28时，利用函数式（Ⅱ），可直接求得明文为a=6，b=4，c=1，d=7.
事实上，信息安全部门在制作“密码本”时，“加密本”与“解密本”是同时“出版”的. 说明了，这里的工作是把“函数问题”与“方程问题”视作对立的、一体的.
【启示】 高考命题，为什么“逆向问题”那么多？总在要你去待定、去假设、去探求？
因为命题人考虑到， 顺向考查只是一个单向，而逆向则是双向考查. 这就是高考命题“热中逆向问题”的原因.
逆向问题虽应从方程角度思考，但如果离开了正向的函数问题，则这个方程是盲目的、缺乏思想高度的. 正是在这一点上,须要研究“函数方程的互逆性和统一性”.
【例2】 （2007年安徽·21）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以Tn表示到第年末所累计的储备金总额．
（Ⅰ）写出Tn与的递推关系式；
（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．
【分析Ⅰ】Tn与都是数的集合，找它们的关系就是找函数关系，因此本题是一个求函数式的问题.
函数式是一个等式，求等式就是“布列方程”，因此求函数式是一个列方程的过程.
【解析Ⅰ】 第年末所累计的储备金总额
= 上年末储备金总额的（1+r）倍 + 当年交纳的储备金
用符号表示就是：
．
这就是所求的Tn与的递推关系式
【点评Ⅰ】 本题是用“布列方程求函数式”的典型. 第一步，用Tn – 1作“未知数”；第二步，用含未知数Tn – 1的代数式来表示其他“未知量”：Tn – 1(1+r)+an；第三步，用列代数式时没有用过的等量关系组织等式：.
这个等式就是所求的方程，即本题所求的函数式.
【分析Ⅱ】的意思是，数列Tn可写成数列An与数列An的和. 为此可考虑先求出数列Tn的通项公式.
【解析Ⅱ】 由递推式T1=a1，Tn= Tn – 1(1+r)+an得关于T1，T2，…，Tn的n元方程组：
消T1，得T2= a1 (1+r)+a2；
消T2，得T3= a1 (1+r)2+a2 (1+r)+a3；
……
消Tn – 1，得Tn= a1 (1+r)n – 1 +a2 (1+r) n – 2 +…+an – 1 (1+r)+an.
【插话】T1，T2，…，Tn – 1 已全部消去，Tn已经求出. 以下只是一个对Tn表达式化简的问题. 仍可按“函数方程问题”来处理.
【续解Ⅱ】 将上面Tn的表达式看作方程，将方程两边同乘以(1+r)得新方程，两方程联立
（2）–（1）得
rTn = a1(1+r)n+(a2+a1) (1+r)n – 1 +…+(an – a n – 1 )(1+r) – an
= a1(1+r)n+ d［(1+r)n – 1+(1+r)n – 2 +…+(1+r) ］ – an
．
即．
如果记，，
则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．
【点评Ⅱ】本题的第（Ⅰ）问是布列方程的问题，第（Ⅱ）问是方程组求解的问题.
把函数式Tn= Tn – 1(1+r)+an看作含T1、T2、…、Tn的n方程组，并用消元法从中解出Tn，是函数与方程的精彩转换.
【小结】 本题的知识载体是“特殊的”数列内容：等差数列与等比数列、由数列的递推式求数列的通项公式等等.
本题的思想则是“普遍的”函数方程思想. 本题以函数设问，用方程作答，函数与方程的视角随机换位，按其所需.
【例3】（2007年重庆卷第22题Ⅱ）如图1，（Ⅰ）（求得）椭圆的方程.
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，
使，证明
为定值，并求此定值.
【说明】 心里有什么，眼里就看到什么！对于本题——
心里有函数的人，首先看到了函数：|FP1|、|FP2|、|FP3|都是角α=∠xFP1的函数.
心里有方程的人，首先看到了方程：|FP1|cosα= x – c ( x是点P1的横坐标).
心里既有函数又有方程的人，不仅同时看到了本题中函数与方程，而且还看到了函数与方程的关系.
【解析】设（自变量）∠xFP1=α，于是有 ∠xFP2 =，∠xFP3 =.
设|FP1| = r1，由图2可得|FM| = r1cosα，
由e = 得 |P1Q| = 2r，于是有（方程）：
r1cosα+2r1 = 12 – 3 = 9，从而有（函数）：
r =，继而有（方程）：
同理有
于是有（函数方程的统一体）：
=
【小结】所谓“函数方程的普遍性”是指，当知识载体——如本题的椭圆载体一旦更换（成了例1的信息加密、例2的数列推递）之后，只要还是关于数集与数集、变量与变量间的“关系问题”，无不是函数方程的领域.
显然，函数方程所涉及的不是一个具体的知识内容，而是一种有指导性、带全局性的数学思想. 因此，高考中的“函数方程考题”是跨考点、跨板块、跨题型的、考查数学思想的深层试题.
对应训练
1. 已知，（a、b、c∈R），则有（ ）
(A) (B) (C) (D) ，
2. 二项式的展开式中常数项为 （用数字作答）.
3. 已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(Ⅰ)求tanA=2tanB;
(Ⅱ)设AB=3，求AB边上的高.
对应答案
1. 解析 法一：依题设有 a·5－b·＋c＝0
∴是实系数一元二次方程的一个实根；
∴△＝≥0 ∴ 故选(B)
法二：去分母，移项，两边平方得：
≥10ac＋2·5a·c＝20ac，∴ 故选(B)
点评 解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成.
2. 本题考查二项展开式的通项公式和幂运算.解题的切入点是正确写出通项公式，并正确化简.根据二项展开式的通项公式Tr+1=C得
Tr+1=C=C
=CC
=(-1)rC
要使Tr+1为常数项，只需(-1)rC中x的指数为0，即=0，解得r=4,代回通项公式，得常数项为 （-1）4C
在解答过程中正确运用二项展开式得通项公式是解题的关键，而通过方程=0得出r=4，则可得到常数项在展开式中的位置，进而求出常数项.
3. 分析 本题是一个三角函数的证明与计算问题.分析题目后发现,已知条件比较复杂,因此首要的任务是变换已知条件,使之出现含有sinA,cosA,sinB,cosB的解析式.
解析 由已知两个等式,得
sinAcosB+cosAsinB=,
sinAcosB-cosAsinB=.
研究这两个等式发现,左侧的两个解析式只相差一个符号.实际上,可把sinAcosB看成一个未知数,把cosAsinB看成另一个未知数,于是上面两式是关于这两个未知数的一个方程组,解这个方程组便可求出
sinAcosB=
到此便可以完成第(Ⅰ)问的证明,将上两式左右两边分别相除,便可得到tanAcotB=2,即tanA=2tanB.
在第(Ⅱ)问中,可画出图形帮助我们进行研究,如右图,从图中并借助已知条件不难发现,应该先求出tanA和tanB的值.
由sin(A+B)=及展开后得
为求出tanA和tanB的值,还应再有一个关于tanA、tanB的方程，
这个方程正是第（Ⅰ）问所证的结论：
tanA=2tanB.
解由这两个方程组成的方程组，求得
下面再解直角三角形，求CD就容易了.
由AB=3可解得CD=2+.
再回忆以上的分析和求解过程，我们不难发现方程思想贯穿了解答的全过程.第（Ⅰ）问的证明过程中，求解了一个二元一次方程组，既体现了方程的思想，又使用了换元法；第（Ⅱ）问的求解过程中，仍旧是列出一个二元方程组，然后再求出tanA和tanB的值，最后一步由AB求CD时，也是列出一个关于CD的方程，然后再求解.可以认为，本题是突出体现方程思想的一道绝妙好题，它也提示我们，对于三角求值、计算、证明问题，要把方程思想放在解决问题的首选.
同步讲台（1）
图1
图2
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- 1 -第3周测试（45分）
1.设，其中，如果当时，f(x)有意义，求a的取值范围.
2. 如果函数的最大值是4，最小值是－1，求实数a、b的值.
3. 已知，对于值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的范围.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出、、…，中哪一个最大，并说明理由.
第3周测试参考答案
1.解析：二次函数及图象、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的，许多问题都可以利用它们来解决，只要进行合理的转化就可以了.
可知，
即当时恒成立.
而都是减函数，
则在上是增函数.
故当x＝1时，g(x)取得最大值是，
从而得a的取值范围是.
评注：本例采用分离参数法，再构造函数，使不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，方向明确，解法简捷.在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种适当的解题途径.这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性.
2.解析：由y的最大值是4，知存在实数x使＝4，即方程有实根，故有
又由y的最大值是4，知对任意实数x恒有，
即恒成立，
故
从而有
同样由y的最小值是－1，可得
由，可解得.
评注：本例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认为是不等式的恒成立条件.由于对题设条件的理解深刻，所以构思新颖，证法严谨.
3.分析：我们习惯上把x当作自变量，构造函数，于是问题转化为：当时，恒成立，求x范围，但要解决这个问题要用到二次函数以及二次方程的区间根原理.相当复杂.而如果把m看作自变量，x视为参数，原不等式化为，构造函数为m的一次函数，在上恒大于0，这样就非常简单.
解：因为，
所以，
即
原不等式可化为恒成立，又
所以，令为m的一次函数，问题转化为在上恒大于0的问题.
则只需
解得或
即.
点评：注意到本题有两个变量x、m，且x本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为m的一次函数，大大简化了运算.在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，重新构造函数.
4.解析（1）由得：，
∵＝>0 ＝<0
∴（2）
∵d<0，是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x＝
∵周测月考（3）
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- 4 -第3讲 函数方程是一种思想
函数方程来源于函数和方程，一旦发展成为一种思想，则必然是跨越函数，也跨越方程的.
比如，函数方程思想在不等式中的体现，用函数的性质来表示函数，难道这性质仅仅限于方程表示，不等式如何？
如函数集合{f（x）|f（x）>0}，{g（x）|x>0}等等，其函数的性质分别用不等式f（x）>0和x>0来表示的，易知f（x）=ax和g（x）=logax分别为上述函数的一个解.
此时，我们用不着将“函数方程思想”说作“函数不等式思想”，因为函数方程已成一种“思想品牌”，它已经不限函数，不限于方程了.
【例1】 已知A+B+C=，求证sinAsinBsinC≤
【思考】 这是一道不等式的证明，与函数方程有什么关系呢？
有了，将不等式左边视作函数！
【解析】 设y=sinAsinBsinC
整理得到一个关于sinA的一元二次方程
因为方程有解，故其判别式
【点评】 原题中，既无函数，也无方程，解题中出现的函数和方程，完全来自于解题人的“思想”.函数方程思想跨越了函数，跨越了方程，本题跨入了不等式领域.
【例2】 设不等式对满足的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围.
【解析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论.然而，若变换一个角度以m为主元，记，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f（m）的值在区间[－2，2]内恒负时参数x应该满足的条件.
要使f（m）<0，只要使
即
从而解得.
【点评】 本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做.如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在.
【例3】 在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=,b+c=3,求b和c的值.
【解析】 （Ⅰ）由条件可得
又∵
∴
则
又，∴
（Ⅱ）由
∵
由
【点评】 本题的两问都体现出方程的思想，第（Ⅰ）问通过合理转化，得到关于cosA的一元二次方程；第（Ⅱ）问通过合理转化，得到关于b、c的二元二次方程组.
【例4】 已知实数a,b,c成等差数列，a+1,b+1,c+4成等比数列，且a+b+c=15.求a,b,c.
【解析】 由题意，得
由①②两式，解得b=5.
将c=10-a代入③，整理得
a2-13a+22=0,
解得a=2，或a=11.
故a=2，b=5,c=8或a=11,b=5,c=-1.
经验算，上述两组数符合题意.
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力.
求解本题的关键是根据等比中项、等差中项的性质列出方程，然后和题设给定的方程联立，组成三元二次方程组进行求解，方程的思想在其中发挥了重要作用.
对应训练
1．设f -1(x)是函数f (x) = log 2 (x+1)的反函数，若[1 + f -1 (a)][1 + f -1 (b)]=8，则f (a+b)的值为 （ ）
A．1 B.2 C.3 D.log 23
2. 关于x的方程sinx＋cosx＋＝0有实根，则实数的取值范围是_________．
3. △ABC的三边a，b，c满足b＝8－c，，试确定△ABC的形状.
4.证明不等式.
对应答案
1. B 易求得f -1(x)=2 x-1 ,由[1+f -1(a)][1+f -1(b)]=8,得2 a+b=8 .
2. 设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[,1]，所以答案：[,1]
3.因为b＋c＝8，，
所以b，c是方程的两实根，
即，所以a＝6.
从而得b＝c＝4，因此△ABC是等腰三角形.
【点评】 构建一元二次方程的模型解决数学问题，是一种行之有效的手段，其独特功能在于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得圆满解决.
4. 【探析】 由所证不等式很容易想到比商法，但a、b的正负无法确定，即使分类后，当a、b都为正数时，其商也无法与1比大小，思路受阻.再观察不等式两边形式类似，稍加变形即为，即可联想到函数，就只需证了，利用函数单调性，问题得以巧妙解决.
【解析】 令
在上，
则在上为增函数
则，即
所以.
【点评】 应用函数性质证明不等式，关键在于构造一个适当的函数，且能方便地判断函数的有关性质.
同步讲台（3）
①
②
③
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- 1 -数学月刊拜 命题内参 数学思想在2007年高考中深化
数学思想蕴涵在数学知识之中，它与数学知识的形成同步，与数学知识的发展伴行.
数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是数学知识的升华，是数学思维的内脏，是知识转化为能力的催化剂.
随着数学教学改革的不断深入，中学数学界对数学思想方法的认识也在与时俱进. 目前已达成共识的数学思想有：
函数与方程的思想.
数形结合的思想.
分类与整的思想.
化归与转化的思想.
特殊与一般的思想.
有限与无限的思想.
或然与必然的思想.
数学思想支持着数学思维. 数学逻辑思维有：
（1）分析与综合思维.
（2）归纳与演绎思维.
（3）比较与类比思维.
（4）具体与抽象思维等.
它们是数学学习中理解、思考、分析与解决问题的常用思维.
数学思想在操作中形成数学方法. 数学基本方法有：
（1）待定系数法.
（2）二次型的配方法.
（3）复合型的换元法.
（4）整零变换的割补法.
（5）符号变换的放缩法.
（6）对立变换的反证法等.
它们是数学的通法（一般方法）的主体.
数学思想、数学思维与数学方法三位一体的命题思想在2007年得以深化，无论是全国卷还是新课程的新高考卷.
以下以山东卷与全国卷的几道“小题”为例，说明这种命题立意的深刻性.
【例1】 （山东卷文科（21））设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；
当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
函数f ( x ) 的极值点由方程= 0的根以及根的两侧附近的符号来确定的.
显然，f ( x ) 的定义域为，.
当ab > 0时，应分两种情况讨论：
① a > 0，b > 0，② a < 0，b < 0.
易知，不论a > 0，b > 0，还是a < 0，b < 0，f (x) 在上都是单调函数，
所以当，函数没有极值点．
当时，也应分两种情况讨论：
①a > 0，b < 0，②a < 0，b > 0.
根据方程= 0的根及其根的附近的符号，易得
当a > 0，b < 0时，函数有且只有一个极小值点，
当a < 0，b > 0时，函数有且只有一个极大值点.
作为解题的完整过程，最后应将上述分类讨论的结果作相应的整合.
不难看出，在的条件下，a，b的符号有四种不同情况. 因此，恰当地进行分类讨论，是全面解答这类问题的必由之路，也是通性通法的根本所在.
撇开考查的具体知识，从思想方法的角度看，本题考查分类与整合思想的意图十分明显. 显然，此题的设计在强化数学思想与坚持通性通法相结合方面实现了完美的统一.
【例2】 （大纲版全国甲卷理科试题（6））
不等式的解集是
A. ( – 2，1) B. ( 2，+∞)
C. ( – 2，1)∪( 2，+∞) D. ( –∞，–2 )∪( 1，+∞)
此题按常规解法，应建立两个不等式组或然后分别解这两个不等式组，再取它们解集的并集即可. 或者把原不等式化成整式不等式，再用序轴标根法求解. 然而，上述两法都需要通过一定的计算才能做出判断.
若能注意到四个选项的结构特征，只需取特殊值x = 0，3，即可依次否定B、D、A，从而选C.
从解答选择题的角度看，本题既可以利用通性通法，将原不等式化成两个不等式组来求解，也可以提炼问题本身蕴涵着的特殊与一般的思想，利用特殊值否定法来解决.
显然，这一试题的设计，一方面体现了解法多样性的特点；另一方面，体现了对特殊与一般思想的着意考查.
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2月考试卷（一）120分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 ( http: / / www. / wxc / ) 已知函数f(x)=loga［–(2a)2］对任意x∈都有意义，则实数a的取值范围是 ( )
A ( http: / / www. / wxc / ) (0, B ( http: / / www. / wxc / ) (0,) C ( http: / / www. / wxc / ) ［,1 D ( http: / / www. / wxc / ) (,）
2 ( http: / / www. / wxc / ) 函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2–x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是 ( )
A ( http: / / www. / wxc / ) ［，+∞ B ( http: / / www. / wxc / ) (1, C ( http: / / www. / wxc / ) ［,+∞ D ( http: / / www. / wxc / ) (1,］
3．方程sin(x-)=实数解的个数是 （ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
4．设甲、乙两地的距离为a (a＞0) , 小王以骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为 （ ）
5．若函数f (x)=(1-m) x2-2mx-5是偶函数，则f (x) （ ）
A．先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减
6．设x∈R，如果a ＜lg(│x - 2│+│x + 8│)恒成立，那么 （ ）
A．a ≥1 B.a ＞1 C.0＜a ≤1 D.a ＜1
7．已知函数f(x)对任意x , y∈R都有f (x+y)= f (x)+f (y)，且f (2)=4 , 则f (-1)= （ ）
A．-2 B.1 C.0.5 D.2
8．已知函数y= f (2x)的图象，作y= f (1-2x)的图象时，应将y= f (2x)图象 （ ），
再作关于y轴的对称图形.
A．先向右平移1个单位 B.先向左平移1个单位
C．先向右平移个单位 D.先向左平移个单位
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上 .
9 ( http: / / www. / wxc / ) 关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是 ( http: / / www. / wxc / )
10 ( http: / / www. / wxc / ) 如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为 ( http: / / www. / wxc / )
11 .若函数的反函数y = f -1(x)的图象对称中心是（-1， 3），则实数a = .
12.已知集合A={(x , y) |y= x2+mx+2}, B ={(x ,y) |y = x+1且0＜x＜2}，如果A∩B≠φ，则实数m的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
13. 设f (x)是奇函数，g (x)是偶函数，并且f (x) - g (x) = x2 - x ，求f (x)和g (x)的表达式 .
14 ( http: / / www. / wxc / ) 设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R} ( http: / / www. / wxc / )
（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围 ( http: / / www. / wxc / )
15 ( http: / / www. / wxc / ) 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根 ( http: / / www. / wxc / )
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由 ( http: / / www. / wxc / )
16 ( http: / / www. / wxc / ) 已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］,…gn(x)=f［gn–1(x)］,…
（1）求证 ( http: / / www. / wxc / ) 如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；
（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；
（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，
且n≥2时，gn(x)＜0 ( http: / / www. / wxc / ) 试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0 ( http: / / www. / wxc / )
17 ( http: / / www. / wxc / ) 已知函数f(x)= (a＞0,x＞0) ( http: / / www. / wxc / )
（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；
（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围 ( http: / / www. / wxc / )
18.已知不等式对于大于的1的一切自然数n恒成立，试求参数a的取值范围 .
月考试卷（一）参考答案
1 ( http: / / www. / wxc / ) A 考查函数y1=和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1 ( http: / / www. / wxc / )
由题意得a=，再结合指数函数图象性质可得答案 ( http: / / www. / wxc / )
2 ( http: / / www. / wxc / ) C 由题意可得f(–x+1)=–f(x+1) ( http: / / www. / wxc / ) 令t=–x+1，则x=1–t，
故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x) ( http: / / www. / wxc / )
当x＞1,2–x＜1，
于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其递减区间为［，+∞) ( http: / / www. / wxc / )
3. C
4. D
5. B 由偶函数的定义f (-x)= f (x)得m = 0.
6. D
7. A 令x = y =0,得f (0)=0；又令x=y=1，得f (1)=2；
再令 x= -1 , y=1,得f (-1)+f (1)=f (0) =0 .
8. D
9 ( http: / / www. / wxc / ) ＜a＜10 显然有x＞3，原方程可化为
故有(10–a)·x=29,必有10–a＞0得a＜10
又x=＞3可得a＞ ( http: / / www. / wxc / )
10 ( http: / / www. / wxc / ) ±5 原式化为 ( http: / / www. / wxc / )
当＜–1,ymin=1+m=–4m=–5 ( http: / / www. / wxc / )
当–1≤≤1,ymin==–4m=±4不符 ( http: / / www. / wxc / )
当＞1，ymin=1–m=–4m=5 ( http: / / www. / wxc / )
11. 2 易知y=f (x)的图象对称中心是（3，-1）. 而由y=f (x)=- ,
得y+1= - .
这说明函数y= f (x)的图象对称中心是(a+1,-1)，故a+1=3 .
12. 由题意知方程x2+（m-1）x+1=0在（0，2）上有解，因此可考虑分离参数m，转化为求函数的值域问题 .
故m-1=,当x=1时取等号 .故m≤ -1 .
13.解：∵f (x)为奇函数，g (x)为偶函数， ∴f (-x)= -f (x) , g (-x)=g (x)
由已知得f(-x)-g(-x)=x2+x，从而-f(x)-g(x)=x2+x，即f（x）+g（x）=-x2-x
由
∴f (x)= -x , g (x)= -x2
14 ( http: / / www. / wxc / ) 解 ( http: / / www. / wxc / ) (1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2–4t+a ( http: / / www. / wxc / )
由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有
①f(t)=0有两等根时，Δ=016–4a=0a=4
验证 ( http: / / www. / wxc / ) t2–4t+4=0t=2∈(0,+∞)，这时x=1
②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0a＜0
③若f(0)=0，则a=0，此时4x–4·2x=02x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素
综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}
（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立 ( http: / / www. / wxc / ) 即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立 ( http: / / www. / wxc / ) 只须
＜x≤2
15 ( http: / / www. / wxc / ) 解 ( http: / / www. / wxc / ) （1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2 ( http: / / www. / wxc / )
由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f(x)=–x2+2x ( http: / / www. / wxc / )
（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤
而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1
∴n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数 ( http: / / www. / wxc / )
若满足题设条件的m,n存在，则
又m＜n≤,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］ ( http: / / www. / wxc / )
由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0 ( http: / / www. / wxc / )
16 ( http: / / www. / wxc / ) (1)证明 ( http: / / www. / wxc / ) 当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；
设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立，
则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0
即n=k+1时，命题成立 ( http: / / www. / wxc / )
∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0 ( http: / / www. / wxc / )
（2）解 ( http: / / www. / wxc / ) 由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0
由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0=
∴稳定不动点为0和 ( http: / / www. / wxc / )
(3)解 ( http: / / www. / wxc / ) ∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0x＜0或x＞1 ( http: / / www. / wxc / )
∴gn(x)＜0f［gn–1(x)］＜0gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1
要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1 ( http: / / www. / wxc / )
由g1(x)＜06x–6x2＜0x＜0或x＞1
由g1(x)＞06x–6x2＞1
故对于区间()和(1,+∞)内的任意实数x,
只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0 ( http: / / www. / wxc / )
17 ( http: / / www. / wxc / ) (1)证明 ( http: / / www. / wxc / ) 任取x1＞x2＞0,
f(x1)–f(x2)=
∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0,
∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数 ( http: / / www. / wxc / )
（2）解 ( http: / / www. / wxc / ) ∵≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴a≥在（0，+∞）上恒成立，
令
（当且仅当2x=即x=时取等号），
要使a≥在(0,+∞)上恒成立，则a≥ ( http: / / www. / wxc / )
故a的取值范围是［,+∞) ( http: / / www. / wxc / )
(3)解 ( http: / / www. / wxc / ) 由（1）f(x)在定义域上是增函数 ( http: / / www. / wxc / )
∴m=f(m),n=f(n)，即m2–m+1=0，n2–n+1=0
故方程x2–x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m·n=1，
故只需要Δ=()2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜ ( http: / / www. / wxc / )
18.解：构造函数 ，
.
由此可知，关于n (n＞1，n∈N+)的函数f (n)在上是单调递增函数，又n是大于1的自然数，故 .
要使对于大于1的一切自然数n恒成立，必须有 .
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- 3 -阅卷现场 试题答点与评分标准
备考按“考点”复习，考场按“答点”解题.
所谓答点，对客观题来讲，就是简单答案；但对主观题讲，却是解与答的几个“分点”.
因为主观题按“分点”计分，而阅卷人又在按分点判分. 因此研究主观题的答点本身又成为一种“学问”.
先看阅卷现场的一件趣事.
【例1】 已知双曲线的方程为x2 – y2 = 1.
（Ⅰ）求双曲线的离心率. （Ⅱ）（略）.
【解(Ⅰ)】 由双曲线方程x2 – y2=1. 易知
实半轴a = 1，虚半轴b = 1，
所以双曲线的半焦距c =.
【趣事】 不知什么原因，该考生写到此处，就没有下文. 可能之一，是该生看错了问题，把c看成了e. 也可能是该生想错了，因为本题的答案也正好是e =.
不管是哪种原因，但从答卷上看，本题的结果应该是没有解答出来.
有趣的是，阅卷人就此小题给了满分4分.
【讨论】 怎么解释上述趣事. 可能有二：
（1）阅卷人将c也看成了e；（2）阅卷人根本没看到这个c.
但有一点可以肯定，阅卷人一定看清楚了. 因为本题答案e = c =. 这个就是本题（Ⅰ）的答点.
【例2】 设函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
【说明】 本题是2007年海南——宁夏卷的第19题，本题满分12分：第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分. 12分的意思，说明本题答案分细之后有12个答点.
【解(Ⅰ)】易得的定义域为 （答点1）
（答点2）
令= 0，得x1 = - 1，x2 = （答点3）
当时，；当时，；
当时，． （答点4、5）
从而，分别在区间，上是增函数，在区间上是减函数． （答点6）
【解(Ⅱ)】 根据（Ⅰ）中对单调性的判断可知，
在区间的最小值为．（答点7、8、9）
又易得 ，而
所以在区间的最大值为 ．
（答点10、11、12）
【说明】 在阅卷现场，阅卷人的实际操作是，拿着这（14个）答点在考生的答案上找关键字、词、句（数字、符号、结论等），并非在从头到尾地“欣赏”考生的“大块文章”.第5周测试（45分）
1．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的不等式，当时恒成立，则实数a的取值范围 .
4．已知抛物线与倾斜角为的直线l交于A、B两点，直线OA、OB的斜率之和为1. 矩形CDEF的顶点E、F在直线l上，C、D在抛物线上，且位于直线l的左侧，示矩形CDEF的面积的最大值.
5．若关于x的方程有且只有一个实数根，试求k的取值范围.
6. 设，函数的定义域为，记函数的最大值为.
（1）求.
（2）试求满足的所有实数a.
第5周测试参考答案
1．A 由知函数定义域为，故得. 所以=1. 故选A.
2． A 我们来考查和的大小. 由于、 都是周期函数，且最小正周期分别为、. 所以，只需考虑的情形.
当时，恒成立，此时，
当时，由于，而、，所以，只需比较的大小即可. 由
知，于是利用余弦函数在[0，π]上单调递减，可得. 也即. 综上，恒成立. 故. 选A.
3． 设，则，原不等式化为，，等价于大于在[1，3]上的最大值，可得
4．∵直线l的倾斜角为，∴可设直线l的方程为. 由得，即，当即时，直线l与抛物线交于两点，其中y1，y2是上述二次方程的两个实根，.
∵∴. 将代入得，即，∴，直线l的方程为
设C、D所在直线的方程为，由得
易知. 又C、D位于直线l的左侧，∴
设，则
则.
两条平行直线CD与l的距离为，从而
当且仅当即时，矩形CDEF的面积取得最大值.
思路点拨 最值问题是一类经常遇到的解析几何综合性问题，在高考中曾经多次出现. 求解此问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使得问题得以解决.
5．设，我们来研究函数f (x)的单调性.
①当k=0时，，∴f (x)的单调增区间为，单调减区间.②当k>0时，，于是；∴当k>0时，f(x)的单调增区间为（-∞，0），，单调减区间为.
③当k<0时，，；
∴当k<0时，f (x)的单调增区间为，单调递减区间为
接下来，我们来根据题设和函数f (x)的性质来求k的取值范围.
①当k=0时，由得，，不合题意；
②当时，题设等价于函数f (x)的极小值为正，即，即，结合，知k的取值范围为.
所以，实数k的取值范围为.
思路点拨 本题以三次方程为载体，考查学生运用函数研究方程的方法，在研究函数的性质时，涉及到了导数. 其间涉及到了函数方程、数形结合、分类讨论的思想方法.
6. （1）注意到直线是抛物线的对称轴，且a<0，分以下几种情况讨论.
①若，即
②若，即则
③若，即，则
综上有.
（2）当时，由函数单调性的定义不难得知g(a)在上单调递增，于是易知其图象如图所示. 则等价于
，解之得.
所以，a的取值范围为.
思路点拨 本题以二次函数、分段函数为载体（理科试题还涉及到了三角函数），综合考查函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论的思想以及不等式观点. 上述解答在处理最后一小题时，抓住了函数的特殊性，从而使得问题得到了大大的简化.
周测月考（5）
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- 5 -第4周测试（45分）
1.设双曲线的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P，Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e= .
2.关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为 .
3. 关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是 .
4.已知集合A={x|x2－ax+a2－19=0}，集合B={x|log2(x2－5x+8)=1}，集合C={x|m=1,m≠0，|m|≠1}满足A∩B, A∩C=，求实数a的值.
5.已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(Ⅰ)求tanA=2tanB;
(Ⅱ)设AB=3，求AB边上的高.
6.有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11.
（1）求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式;
（2）若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据.
第4周测试参考答案
1.本题中由双曲线的对称性可得|PM|=|MQ|，又由△PQF是直角三角形得到|MF|=|MP|，通过这个等量关系可以得到a=b,即=1，代入求离心率的公式，得到e=.
解 如右图所示，右准线方程l:x=,渐近线方程y=x,则有
由题意|MF|=|MP|，即=
整理得
因为c2-a2=b2，将其代入上式得
a=b
所以
2. (–∞,–1)∪(2,+∞) 设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.
等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.
3. ＜a＜10 显然有x＞3，原方程可化为
故有(10–a)·x=29,必有10–a＞0得a＜10
又x=＞3可得a＞.
4.解：由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，
由A∩B，A∩C=，可知3∈A，2A。
将x=3代入集合A的条件得：a2－3a－10=0 ∴a=－2或a=5
当a=－2时，A={x|x2+2x－15=0}={－5,3},符合已知条件。
当a=5时,A={x|x2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A∩C”=，故舍去.
综上得：a=－2.
5.解 本题是一个三角函数的证明与计算问题.分析题目后发现,已知条件比较复杂,因此首要的任务是变换已知条件,使之出现含有sinA,cosA,sinB,cosB的解析式.
由已知两个等式,得
sinAcosB+cosAsinB=,
sinAcosB-cosAsinB=.
研究这两个等式发现,左侧的两个解析式只相差一个符号.实际上,可把sinAcosB看成一个未知数,把cosAsinB看成另一个未知数,于是上面两式是关于这两个未知数的一个方程组,解这个方程组便可求出
sinAcosB=
到此便可以完成第(Ⅰ)问的证明,将上两式左右两边分别相除,便可得到tanAcotB=2,即tanA=2tanB.
在第(Ⅱ)问中,可画出图形帮助我们进行研究,如右图,从图中并借助已知条件不难发现,应该先求出tanA和tanB的值.
由sin(A+B)=及展开后得
为求出tanA和tanB的值,还应再有一个关于tanA、tanB的方程，
这个方程正是第（Ⅰ）问所证的结论：
tanA=2tanB.
解由这两个方程组成的方程组，求得
下面再解直角三角形，求CD就容易了.
由AB=3可解得CD=2+.
再回忆以上的分析和求解过程，我们不难发现方程思想贯穿了解答的全过程.第（Ⅰ）问的证明过程中，求解了一个二元一次方程组，既体现了方程的思想，又使用了换元法；第（Ⅱ）问的求解过程中，仍旧是列出一个二元方程组，然后再求出tanA和tanB的值，最后一步由AB求CD时，也是列出一个关于CD的方程，然后再求解.可以认为，本题是突出体现方程思想的一道绝妙好题，它也提示我们，对于三角求值、计算、证明问题，要把方程思想放在解决问题的首选.
6.解：（1） 依条件得：由得：，又由得：
（2）由于是正整数，故 ，，故当=10时, ，，, 此时，,,,,,,,.
周测月考（4）
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- 4 -月月钟声
元月备考 从知识到思想（一）
——从平均不等式谈起
元旦钟声一响，新的一年开始. 一轮复习结束，二轮复习开始. 二轮复习不是一轮的重复，而是对一轮的提升. 要把一轮的数学知识提升到二轮的数学思想上来.
以平均不等式为例.
一轮复习. 重在不等式的形式与内容，最多也只能“从知识到方法”.
二轮复习，则要求完成知识——方法——思想的统一提高.
一、函数方程思想
平均不等式扎根于函数方程之中.
由二次函数的零值问题得到二次方程
.
这个方程有实根的条件是 b≥4c.
这就是所谓的“根的判别式”. 它是个不等式，这个不等式与我们讨论的平均不等式是什么关系呢？从某种角度上看，它就是平均不等式的“始祖”.
在判别式b2≥4c中，令,,则有
(1)
当时，由(1)得
(2)
式(2)就是我们要讨论的平均不等式. 它居然出自二次函数与二次方程 (的判别式).
【例1】函数的图象与x轴有公共点，求m的取值范围.
【说明】这是我们非常熟悉的问题，用判别式法求实根存在时的参数m的值.
如果考虑到平均不等式中“平均”二字的意义，直接利用不等式中等号成立的条件a=b，可使得解后更加直接.
【解析】由.
当时，得最大值1×1=1.
故得
【点评】 若搬用判别式法，也得到同一结果. 这里直抓平均不等式等号成立的条件，是对判别式法的活化，简便到了可用心算得到结果. 这就是数学思想对数学方法的提升作用.
二、数形结合思想
数的精确，形的直观，数形结合是精确与直观的结合. 平均不等式是数的关系式，对应到形上，一定有直观的图形，或者说“平均不等式有图解”.
可以图解为：圆的半径长不小于对应的半垂径长（下图左）.
可以图解为：两正方形面积和的平均值不小于对应的矩形面积ab（下图右）.
平均不等式可以解释抛物线的几何性质：抛物线任意一条弦都在所对应的弧的上方. 即抛物线是“下凹”的. 这就是该平均不等式的直观性.
【例2】已知函数
(I) 求证函数平均的不等式
(II) 指出该平均不等式的图象性质.
【解 (I)】
即得函数平均不等式
等号成立的条件是
【解 (II)】是自变量的平均值，是对应的函数值的平均值.
解释的图象：自变量平均值在图象上对应点的位置，落在函数平均值对应点的上方. 因此，对数曲线上凸的.
【说明】同样可以证明，对数曲线是下凹的. 而指数曲线和都是下凹的.
【点评】函数的凸凹性考了多年. “超纲”的说法因拘泥于知识考点. 其实，平均不等式的数形结合能灵活地解决这类问题，并不需更高的知识（如二阶导数等）.
三、平均对称思想
既然平均不等式能与众多的数学思想交汇沟通，那么平均不等式本身一定蕴含着丰富而深刻的数学思想. 如何探索这种思想，我们还可以回到二次函数与二次方程.
二次函数何时得到最值？答案是当时，函数有最小值
这里是x1，x2的“平均数”，正好是抛物线的“对称轴”.
如果说，平均不等式从这里产生，那么“平均对称思想”也从这里发凡.
【例3】A，B，C为△ABC的三个内角，试求cosA+cosB+cosC的最大值.
【猜想】按“平均对称思想”， 的最大值应出现在A=B=C=的时候，最大值应为
【解析】
则有关于sin的一元二次方程
方程有实根的条件是
等号成立的条件是
故 的最大值为. 即三角形为正三角形时.
【点评】这里的“平均”从二元发展到了三元，即A=B=C=. 这里的“对称”也从二元发展到了三元，既不是轴对称，也不是中心对称，而是A，B，C轮流易位后问题不变，称作A，B，C的循环对称.
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4元月号黄冈新题
1．方程的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若关于x的方程有正数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的不等式对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.已知三次方程恰有三个相异实根，求实数m的范围.
5.定义在自然数集N上的函数f（n），满足下列条件：f（1）=0，pf（n）-qf（n-1）=1．（其中p＞q＞0，n∈N，n≥2）
（Ⅰ）计算f（2）、f（3）、f（4），猜测f（n）的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）计算．
元月号黄冈新题参考答案
1．A 考虑函数，定义域为，或. 当x=-1时，；当，显然f (x)为增函数，故有. 所以原方程的解为-1.
2．C 题设即为其中，A为函数的值域. 由知. 所以，.
3．D 显然题设即为，其中为函数的最小值，由绝对值的几何意义可知，y表示在数轴上2x对应的点到-2和4的距离之和. 由此即知=6. 所以，
4.解：令
则
令，得
为使与x轴交于不同的三个点.
只须
即.
点评：方程函数互相转化，为得到方程根的情况，用函数图象特点，特别用导数法求得极值点，用限制极值的方法使图象穿x轴三次，问题解决.利用函数图象交点个数及交点位置，使方程满足其根的某限制条件，是最常见的方程与函数统一的思想，借助图象特点，能直观又准确地看到方程根的情况.
5. （Ⅰ）f（2）=，
证明：①n=2时，f（2）=，
∴n=2时，公式是正确的．
②设n=k时，公式正确，，
∵pf（k+1）-qf（k）=1，
∴f（k+1）=．
∴n=k+1时，公式也正确．
由①、②可知对任何n≤2，公式正确．
（Ⅱ）f（n）=
∵p＞q＞0，0＜＜1，
说明：对有规律的变化量（函数）间的关系，可将抽象取值具体结果，然后解主程求出确定关系，随取值变化来观察其相互间的依存规律，这种归纳思想，是人类认识事物的一种重要方法，在研究抽象变量相互间依存关系的规律时，经常使用（如函数的描点法作图，函数的边界值估计等）．
九州同猜
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- 2 -第2周测试（45分）
（1）函数f（x-2）=，则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）既奇又偶函数
（2）设有三个函数，第一个函数是y=f（x），它的反函数y=f-1（x）是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于原点对称，那么第三个函数是（ ）
（A）y=-f（x） （B）y=f-1（-x）
（C）y=-f-1（x） （D）y=-f-1（-x）
（3）等比数列{an}，公比q≠1．若a1a2a3……a30=330．则a2a5a8……a29的值是（ ）
（A）35 （B）310 （C）315 （D）320
（4）a∈R，参数方程（θ是参数）的曲线是________．
（5）若曲线（y+1）2=x+1上总存在两个对称于直线y=ax的不同的点，求a的值的范围．
（6）如图2-3-2，MN为一条平直的海岸线，一条船在海中的A处，它距海岸最近的点为B，A、B间的距离是2km．船上人划船的速度为每小时4km，他在岸上步行的速度为每小时5km．此人欲以最短的时间赶到距B点6kM的海岸边C处，那么他登岸的D点与B点的距离是多少km？
第2周测试答案
（1）A 设t=x-2，x＞2时，t＞0；x＜2时，t＜0．则函数为，经过这种变换，其图象关于原点对称，判断是奇函数．本题说明，在复合函数关系的情况下，不好判断自变量对函数的直接关系．
（2）D 关于对称问题解决的基本方法是解析几何中求动点轨迹方程的方法．
设第三个函数图象上任意一点是P（x，y），则P点关于原点的对称点Q（x0，y0）在第二个函数y=f-1（x）上．
（关于原点对称点的坐标关系方程式）
（点在曲线上其坐标满足曲线方程）
消去x0，y0得：．
（3）B 设所求a2·a5·a8·…·a29=x，
则a1·a4·a7·…·a28=，a3a6a9·…·a30=x·q10，
∴a1·a2·a3·…·a30=·x·x·q10=x3=330，
∴x=310，即a2a5a8…a29=310．
通过设未知数，运用数列知识（等比数列定义：an+1=an·9）转化为普通的方程问题求解．可以这样说：一般情况下，在存在变量（或未知量）问题中，所学的各种知识都能帮助我们来布列方程或函数关系式，再用相应知识解题．
（4）参数方程是函数式，化普通方程时，必须考虑函数的定义域与值域．
∵cos2θ∈[-1，1]，则-1≤x=cos2θ≤1．∵cos2θ=1-2sin2θ，x=1-2·（a≠0时）
当a=0时，则y=0（-1≤x≤1）．
（5）设曲线（y+1）2=x+1上关于直线y=ax对称的两点为（Ax1，y1），B（x2，y2）．
则由对称的几何定义知：直线y=ax是线段AB的垂直平分线．
当a=0时，y=ax是X轴，平行于抛物线（y+1）2=x+1的轴，不可能有解．
∴a≠0，直线AB的方程是，
①②必有两不同的解．
∴由②得x=-ay+am，代入①得
y2+（a+2）y-am=0．
∵△=（a+2）2+4am＞0．
∴y1+y2=-（a+2），
设线段AB的中点M（x0，y0），它在y=ax上，也在x=-ay+am上；
说明：中学数学中的对称问题，一般均用解析法求解．将所求问题的几何特征，化为代数的方程式，运用代数中的函数与方程有关的理论，进行推理或运算求解．
（6）①由A沿水路直接到C用时为t1，则t1=（小时）
②由A到B再到C用时t2，
（小时）．
③由A到D再到C，设|BD|=xkm．
．
设，整理得：
9x2-160ux-400u2+100=0
=162×102u2-4×9×102（1-4u2）≥0
解得：u≥0．3．代入方程解得x=1．5km，
t3=0．3+1．2=1．5（小时）．
∴距B点1．5km处的D点上岸再到C用时1．5小时为最短时间．
说明：随D点位置不同（D、C重合，D、B重合，D在BC中间），有三种不同的走法，应对各种走法计算所需时间进行比较，确定答案，这样处理问题，更有实际意义．
周测月考（2）
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- 2 -第4讲 函数方程是一串策略
函数也好，方程也好，研究的都是变数与变数的依赖关系.
如函数和方程研究的都是变数x和y的关系.
然而，在研究形式上，它们又有区别.
（1）函数中的x、y有主、从关系，而方程中的x、y是平等关系；
（2）函数中x、y是映射关系，而方程中的x、y可以是“多对多”的对应关系.
由此看来，函数式是特殊的方程形式，而方程式是扩大的函数式.
因此，函数和方程可以互通互补.
比如，求y对x的函数式y=f（x），有时一次到位不太容易，我们可以考虑对x、y组织方程式F（x，y）=0，再从方程中解出函数y=f（x）.这称作“方程先撒网，函数后捕鱼”的解题策略.
其实，函数解析式、数列通项公式以及求和公式的探索，经常在使用这种策略.
以下，我们先品味一下，等比数列前n项和公式是怎样“先撒网，后捕鱼”的.
【例1】 等比数列的首项为a，公比为.求它的前n项和.
【分析】 目标是求对n的函数式，=f (n)，无法一步到位，可考虑组织关于的方程（撒网）.
【解1】 设， 得 ①
方程①两边同乘以不为0的1-.
即 ②
从方程②中解出
这就是所求的前n项和公式.
【点评】 将组织到等式①中（方程撒网），变换等式①，消去中间项，而得方程②，再从方程②解出的表达式（函数捕鱼）.
【解2】设 ①
方程①两边同乘以不为０的得： ②
联立①、②，解得：
【点评】所谓“错位相减法”求和，实为上述“列方程，解函数”策略的一种变式.
【解3】
即得：
解得：
【点评】 所谓“回归消中法”求和，也是“列方程, 解函数”的一种变式.
【感悟】 列方程解函数的优势表现在方程变形的灵活性上.
方程两边是平等的，变形可在等号两边同时进行，而函数式两边是不平等的，函数式的变形只在等号的右边进行，显然前者路宽，后者路窄.
特别是在变量多，关系交叉的问题中，列方程还可发展到列方程组，此时的变换空间就显得更为开阔.
【例2】 （2007年甲卷题12）
设F为抛物线y2 = 4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若= 0，则
（A）9 （B）6 （C）4 （D）3
【分析】 题设是方程y2 = 4x和= 0，题问是函数？
由于A，B，C都在抛物线y2 = 4x上，故它们都可用x,y表示出来，如A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），因此，题设中的方程是关于x，y的方程，但题问中的函数可不是y对x的简单函数, 而是三条焦半径长度的和S对x,y的二元函数
S=
因为x,y由方程y2=4x控制，因此二元函数可化简为一元函数S=g（x），其实，已有焦半径函数式 |FA|=.
【解析】 由=0及A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），F（1，0），得方程
故有
=
答案为B.
【点评】本题得解，是函数与方程互通互补的结果.
一由方程y2=4x与距离公式联立，解得焦半径函数式|FA|=.
二由方程=0，再得自变量的和的值x1+x2+x3=3.
随后，用焦半径函数式将二元函数（距离公式是x,y的二元函数）化为一元函数（捕鱼）
|FA|+|FB|+|FC|=g（x）
最后由x=3时g(3)=6.
从中看到，求函数式不易一步到位时，则由“方程先撒网”——用“平等关系”组织等式，继而是解方程——“方程收网”，可得到我们需要的表达式（或具体数值）.
最后，变“平等关系”为“主从关系”得到需要的函数式——“函数后捕鱼”.
【例3】 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．
【分析Ⅰ】 对于第（Ⅰ）问，欲证明·为定值，当然想到与点F、A、B、M的坐标有关.注意到F的坐标可求，因此可设出A、B两点的坐标，由＝λ，得出A、B的坐标关系式，再通过抛物线作过A、B两点的两条切线方程，求出交点M的坐标（用A、B两点的坐标表示），然后运用两平面向量数量积的坐标运算推证·为定值.
【解析Ⅰ】由已知条件，得F（0，1），λ＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．由＝λ，
即得　　（－x1，1－y）＝λ（x2，y2－1），
①
注意到y1＝x12，y2＝x22
可得y1＝λ，y2＝， x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，（*）
另一方面，通过对y＝x2求导，得抛物线在A两点处切线的斜率分别是，进一步得抛物线在A、B两点的切线方程分别是
y＝x1（x－x1）＋y1，y＝x2（x－x2）＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
将这两方程联立，得 ②
结合（*）式，解得两条切线的交点M的坐标为（，）＝（，－1）．
再由平面向量数量积的坐标运算即可证得·=0（定值）．
【点评Ⅰ】 上述解法中，我们没有具体求解方程组①（方程撒网），而是通过方程组①得出关系式（*）（捕鱼），它为通过解方程组②，获得点M（，－1）进而推证·=0（定值）创造了条件，这是方程思想深层次的体现.
【分析Ⅱ】 求△ABM的面积S的最小值问题，解决问题的首选策略是列出面积函数的解析式,再用求函数最小值的方法来求解.
【解析Ⅱ】由（Ⅰ）中所得结论·=0知，在△ABM中，FM⊥AB．
注意到|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以
|AB|=|AF|+|BF|=
又|FM|＝＝
＝
＝
＝＋．
于是　　S＝|AB||FM|＝ （＋）3，
这样，我们得到了△ABM的面积S关于的函数解析式,下面只需用求函数最小值的方法来求的最小值即可.
由均值不等式，得 ＋≥2，当且仅当λ＝1时取等号.
由此知S≥4，即S取得最小值4．
【点评Ⅱ】 显然，求解第（Ⅱ）问的核心步骤是△ABM的面积S关于的函数解析式的建立，其中|AB|是由二元变成了一元，而|FM|也由二元变成一元，这一过程充分体现了函数思想的价值.
对应训练
1．如果函数f（x）＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f（2＋t）＝f（2－t），那么 f（1），f（2），f（4）的大小关系是 （ ）
（A）f（2）（C）f（2）2. 设不等式2x－1>m（x－1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立．则x的取值范围为___________．
3.为了更好的了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置，从海洋放归点A处，如图（1）所示，把它放回大海，并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动），然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测，已知AB＝15km，观测站B的观测半径为5km.
观测时刻t（分钟） 跟踪观测点到放归点的距离a（km） 鲸位于跟踪观测点正北方向的距离b（km）
10 1 0.999
20 2 1.413
30 3 1.732
40 4 2.001
（1）据表中信息：①计算出鲸沿海岸线方向运动的速度；②试写出a、b近似地满足的关系式并
画出鲸的运动路线草图；
（2）若鲸继续以（1）－②运动的路线运动，试预测，该鲸经过多长时间（从放归时开设计时）可进入前方观测站B的观测范围？并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻.（注：≈6.40；精确到1分钟）
对应答案
1.A
2. 问题可变成关于m的一次不等式：（x－1）m－（2x－1）<0在[-2,2] 恒成立，设
f（m）＝（x－1）m－（2x－1）,
则
解得x∈（,）
3.解析（1）由表中的信息可知：
①鲸沿海岸线方向运动的速度为：（km/分钟）
②a、b近似地满足的关系式为：运动路线如图
（2）以A为原点，海岸线AB为x轴建立直角坐标系，设鲸所在
位置点P（x，y），由①、②得：，又B（15，0），
依题意：观测站B的观测范围是：
≤5 （y≥0） 又
∴≤25 解得：11.30≤x≤17.70
由①得：∴该鲸经过t＝＝113分钟可进入前方观测站B的观测范围
持续时间：＝64分钟
∴该鲸与B站的距离d＝＝
当d最小时为最佳观测时刻，这时x＝＝14.5，t＝145分钟.
同步讲台（4）
海岸
西
东
图1
A
B
A
B
y
x
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- 1 -函数方程 模特法展现抽象性
一、用方程表示的函数
函数方程的一种解释是：用方程表示的函数. 例如，f（x）是奇函数时，可用方程来表示f（x）的这种性质：
f（-x）=－f（x）
显然，方程的解不只一个，f(x)=x，x3,sinx等等都是，方程的这些解便形成了奇函数集合：
{f(x)|f(-x)=-f(x)}
【例1】 f（x）定义在R上，且对任意的x∈R，都有f（2+x）=－f（2－x）.
试求f（2）的值.
【分析】 求函数值的一般方法就是利用函数的解析式.本函数的解析式可求吗？没有f（x）的解析式时，f（2）可求吗？
【解析】 在函数方程f（2+x）=－f（2－x）中，令x=0,得
f（2）=－f（2）.
2f（2）=0f（2）=0.
【讨论】 在不知f（x）解析式的情况下，居然求出了它的一个函数值.把问题换一下，如求
f（3）=
同样可令x=1，或x=－1，得到的都是f（3）=－ f（1）.
但无法求出f（3）, f（1）的值为到底为多少.
【解释】 函数方程f（2+x）=－f（2－x）的解——具体的函数f（x）的表达式应该很多.
f（2）=0说明具有这种性质的所有的函数都过定点(2,0).
而f（3）的值则由具体的函数而定，当然不管是哪个具体函数，都有性质
f（3）=－f（1）.
二、用模特突破抽象
用方程表示的函数是一类函数的集合，无目的去求这类函数的解析式既未必必要，也未必可能.
为研究这类函数性质，有时我们只需要找到这个函数集合中的某个简单的、具体的元素（函数）就够了.
【例2】 已知函数f（x+1）是偶函数,则函数f（3x）的对称轴是 （ ）
A.-1 B.1 C. D.
【分析】 这就是用函数方程表示的函数集合f(x).函数方程隐藏在文字中，把它显示出来就是：
f(-x+1)=f(x+1)
【解析】 我们找到了函数集合中的一个元素（具体函数），即是f（x）=|x-1|,则有
f（x+1）=|x|,f(3x)=|3x-1|=
所以f(3x)的对称轴为，故答案为D.
【讨论】 函数共性普及到每个具体函数之中. 已知函数f（x+1）是偶函数,易知其对称轴是x=1，我们找到的模特（具体函数）满足了这个共性，即f(x)=|x-1|的对称轴是x=1,并用它求出了f(3x)的对称轴.
易知f(x)=(x-1)2的对称轴也是x=1, 它也是这类函数集合中的一个元素，因此，用它作模特解题也是一样的.设f（x）= (x-1)2，则有
f（3x）=（3x -1）2 = 9（x -）2,这个函数的对称轴也是x=.
【点评】 方程表示的函数，难在抽象性上，因为找不到实感而觉得玄虚.解决的办法是让“抽象还原到形象”，用具体模特作集合函数的代表.
由于模特没有个性，所以它代表的共性可靠.
三、抽象函数寻找模特
抽象函数的模特按如下的条件去寻找.
(1)它有抽象函数（集合）的共性；
（2）它是我们熟悉的具体函数；
（3）它必需有简单的形式.
【例3】 已知函数f(x)满足方程f（4-x）=f（2-x）,且f（0）=1.则f（100）= .
【分析】 我们不苛求找到f（x）的解析式，但希望找到f（x）与另一个函数式（如g（x））的关系式.
【解析】 在f（4-x）= f（2-x）中将-x用x替代则得到
f（x）= f（x+2）
这是一个以T=2为周期的函数，又f（0）=1.
故可构造一个具体的函数为
f（x）=cos()
故有 f（100）=cos
【反思】 本解找到的模特函数f（x）=cos 符合上述三个条件:
(1)它有共性f(x)=f(x+2)；
（2）它是我们熟悉的余弦函数；
（3）它的形式简单.如以下图象所示的函数，虽然也有共性，但在表达上复杂：
【点评】 方程表达的函数是函数的共性，因此用函数方程能解决的问题，一定是函数的共性问题.如例3，幸好我们所求的函数值f(100)属函数共性问题，如果是求f(99)则成为个性问题，个性问题是不能用模特函数来解决的.如本题，用模特函数f(x)=cos求得的f(99)=-1,而用图象所示的模特函数求得的f(99)=0.
疑难何在
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