10.3.2 直角三角形全等的判定同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
基 础 练
知识点一 用 HL 判定直角三角形全等
1.如图,已知∠BCA =∠BDA=90°,BC= BD. 则证明△BAC≌△BAD的理由是 ( )
A. SAS B. ASA C. AAS D. HL
第1题图 第2 题图
2.如图,BE=CF,AE⊥BC 于点E,DF⊥BC 于点F,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是 ( )
A. AE=DF B.∠A=∠D C. AB=DC D.∠B=∠C
3.如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点 E,连接AE.若∠B=28°,则∠AEC= ( )
A.28° B.59° C.60° D.62°
第3题图 第4 题图
4.如图,AC=BC,AE⊥CD 于点E,AE=CD,BD⊥CD 于点D,AE=7,BD=2,则 DE的长是( )
A.2 B.5 C.7 D.9
5.已知,如图,在△ABC中, 点 D 是 AB的中点,DE⊥AC,垂足为点 E,，垂足为点 F，且 求证：是等腰三角形.
6.如图,已知 90°,AC= DF,AE= DB,BC 与 EF 交于点O.
(1)求证:Rt△ABC≌Rt△DEF;
(2)若∠A=51°,求∠BOF的度数.
知识点二 HL 在实际问题中的应用
7.如图, 有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF 相等, 两个滑 梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE的度数和为_____________，并证明你的结论.
提 升 练
8.如图,已知 BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,添加下列条件中的一个，就可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ( )
①∠B=∠C;②AB∥CD;③BE=CF;④AF=DE.
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④
第 8 题图 第 9 题图
9.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点 P,Q分别是线段AC 和射线 AX 上的动点,且 AB=PQ,当 AP=__________时△ABC与△APQ全等.
10.如图所示,CE⊥AB于点E,CD⊥AD 于点D,CD=CE,BE=FD.
(1)求证:BC=FC;
(2)若 AC=5,AD=4,求四边形 ABCF 的面积.
11.如图所示,△ABC的外角∠DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于点P, 于点D, 于点E.
(1)求证:
(2)若 求 AD的长.
12.如图1,E,F 分别为线段AC 上的两个动点，且于点E,BF于点F.若 BD 交AC于点 M.
(1)求证:
(2)当E，F两点移动到如图2 的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
1. D 2. C 3. B 4. B
5.证明:∵点D 是 AB 的中点,∴AD=BD,
在 Rt△AED和 Rt△BFD中,
∴Rt△AED≌Rt△BFD,∴∠A=∠B,
∴AC=BC,即△ABC是等腰三角形.
6.(1)证明:∵AE=DB,∴AE+EB=DB+EB,即AB=DE,
在 Rt△ACB 和 Rt△DFE中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2)解:∵∠C=90°,∠A=51°,∴∠ABC=90°-51°=39°,
由(1)知 Rt△ABC≌Rt△DEF,∴∠ABC=∠DEF.
∴∠DEF=39°,∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°.
7.解:90° 在 Rt△ABC和 Rt△DEF 中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),∴∠ABC=∠DEF,
∵∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.
8. D 9.5 或 10
10.(1)证明:∵CE⊥AB,CD⊥AD,∴∠CDF=∠CEB=90°,
在△CBE和△CFD中,
∴△CBE≌△CFD(SAS),∴BC=FC.
(2)解:在 Rt△ACD中,∵AC=5,AD=4,
∵AC=AC,CD=CE,∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL),∴S△ACD=S△ACE,
∵△CBE≌△CFD,∴S△CBE=S△CFD,
11.(1)证明:如图:连接 BP,CP,
∵点 P 在BC 的垂直平分线上，∴BP=CP,
∵AP 是∠DAC的平分线,PD⊥AB,PE⊥AC,∴DP=EP,
在 Rt△BDP 和 Rt△CEP中,
∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL),∴BD=CE.
(2)解:在 Rt△ADP 和 Rt△AEP 中,
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE,
∵AB=9cm,AC=15 cm,∴9+AD=15-AE,即9+AD=15-AD,解得 AD=3c m.
12.(1)证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°,
∵AB=CD,BF=DE,∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴EC=AF,∴AE=CF.
∵BF=DE,∵∠BMF=∠DME,∴△BMF≌△DME,∴MB=MD.
(2)解:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°,
∵AB=CD,BF=DE,∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴AF=CE,∴AE=CF.
在△BMF 和△DME 中,
∴△BMF≌△DME,∴MB=MD.
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