数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：1．2．1　集合之间的关系(设计者：王立青)

示范教案
1．2.1　集合之间的关系
教学分析　　　　　
课本从学生熟悉的集合出发，引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．
值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与的区别．
三维目标　　　　　
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．
2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．
重点难点　　　　　
教学重点：理解集合间包含与相等的含义．
教学难点：属于与包含之间的区别．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)____Q；(3)－1.5____R.
类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈；(2) ；(3)∈)
推进新课　　　　　
③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}.,你能发现两个集合间有什么共同特点吗？
(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？
(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？
(4)按升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然.试想一下，根据从楼顶向下看的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知AB，试用Venn图表示集合A和B的关系．
(7)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
活动：教师从以下方面引导学生：
(1)观察两个集合间元素的特点．教师给出定义：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA.规定：空集是任何一个集合的子集．
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果AB，但存在x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)实数中的“≤”类比集合中的．
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面内一条封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩(Venn)图．
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．
(6)分类讨论：当AB时，AB或A＝B.
(7)类比子集．
讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．可以发现：对于任意两个集合A、B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中，或集合B中的元素都在集合A中．
(2)例子①中AB，但有一个元素4∈B，且4A，而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同．
(3)若AB，且BA，则A＝B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．
(5)如图甲所示表示集合A，如图乙所示表示集合B.
(6)如下图所示．
(7)若AB，BC，则AC；若AB，BC，则AC.
思路1
例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．
分析：如何一个不漏地写出集合{1,2,3}的所有子集呢？我们采用下面的步骤：
(1)因为空集是所有集合的子集，所以首先写出；
(2)写出所有由一个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；
(3)写出所有由两个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；
(4)写出所有由三个元素构成的子集：{1,2,3}．
解：集合A的所有子集是：，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．
点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．
思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？
解：当n＝0时，即空集的子集为，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22……
集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.[]
变式训练　已知集合P＝{1,2}，那么满足QP的集合Q的个数是(　　)A．4　　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　　D．1解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，又集合QP，所以集合Q有4个．答案：A
例2 说出下列每对集合之间的关系：
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；
(2)P＝{x|x2＝1}，Q＝{x||x|＝1}；
(3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．
解：(1)BA；(2)P＝Q；(3)CD.
点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．
判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之间的关系，得：当集合A中的元素都属于集合B时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，当集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A、B互不包含.
变式训练　某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A、B、C均不是空集．(1)则下列包含关系哪些成立？AB，BA，AC，CA.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系．活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则AB成立，否则AB不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生以下两点：(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解： (1)包含关系成立的有：AB，AC.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示，如下图所示.
例3 判定下列集合A与B的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞5}；
(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．
解：(1)因为x是12的约数x是36的约数，所以AB；
(2)因为x＞5x＞3，所以BA；
(3)因为x是矩形x是有一个角为直角的平行四边形，所以A＝B.
点评：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则如果p(x) q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x) q(x).
变式训练本节练习A　4
思路2
例1 已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝________.
活动：先让学生思考BA的含义，根据BA，知集合B中的元素都属于集合A，集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为BA，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论．
解析：∵BA，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：1
点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．
讨论两集合之间关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.
变式训练　已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求实数a的取值范围．分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，则N＝?或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论．解：由题意得M＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠．当N＝时，关于x的方程ax＝1中无解，则有a＝0；当N≠时，关于x的方程ax＝1中有解，则a≠0，此时x＝.又∵NM，∴∈M.∴＞2.∴0＜a＜.综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜，即实数a的取值范围是{a|0≤a＜}.
例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数：，{a}，{a，b}，{a，b，c}．
(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？
活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．
解：(1) 的子集有：，即有1个子集；[]
{a}的子集有：、{a}，即{a}有2个子集；
{a，b}的子集有：、{a}、{b}、{a，b}，即{a，b}有4个子集；
{a，b，c}的子集有：、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．
(2)由(1)可得：当n＝0时，有1＝20个子集；
当n＝1时，集合M有2＝21个子集；
当n＝2时，集合M有4＝22个子集；
当n＝3时，集合M有8＝23个子集．
因此，含有n个元素的集合M有2n个子集．
点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.
变式训练　已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有… (　　)A．3个　　　　　　　　　B．4个C．5个 D．6个解析：对集合A所含元素的个数分类讨论．[]A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．答案：D
1．判断正误：
(1)空集没有子集．(　　)
(2)空集是任何一个集合的真子集．(　　)
(3)任一集合必有两个或两个以上子集．(　　)
(4)若BA，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.(　　)
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．
解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．
对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．
分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合元素，后找真子集．
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，
即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．
真子集有、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2}，共7个．
3．(1)下列命题正确的是(　　)
A．无限集的真子集是有限集
B．任何一个集合必定有两个子集
C．自然数集是整数集的真子集
D．{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为(　　)
①{1}∈{0,1,2}　②{1，－3}＝{－3,1}　③{0,1,2}{1,0,2}　④∈{0,1,2}　⑤∈{0}
A．5 B．2 C．3 D．4
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是(　　)
A．aM B．aM C．{a}∈M D．{a}M
解析：(1)该题要在四个选项中找到符合条件的选项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合的关系．
①应是{1}{0,1,2}，④应是{0,1,2}，⑤应是{0}．
故错误的有①④⑤.
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.
因3＜a＜4，故a是M的一个元素．
{a}是{x|3＜x＜4}的子集，那么{a}M.
答案：(1)C　(2)C　(3)D
4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系．
(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；
(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．
解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，
又x＝4n＝2·2n，
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．
故集合A、B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值．
解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，
当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立．
又当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝{－}，
要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.
综上所述，a＝0或a＝－或a＝.
点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足QP.
6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使APB，求满足条件的集合P.
解：由A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，
B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，
由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即P是B的非空子集，则满足条件的集合P为{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．
点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．
7．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使BA成立，需可得2≤m≤3.
综上所得实数m的取值范围为m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴A的非空真子集个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
②若B≠，则要满足条件有：或解之，得m＞4.
综上，有m＜2或m＞4.[]
点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用．
问题：已知AB，且AC，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
活动：学生思考AB，且AC所表达的含义．AB说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．
思路1：写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合，得满足条件的集合A；
思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．
解法一：因AB，AC，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足AB，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．
又满足AC的集合A有，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)．
其中同时满足AB，AC的有8个，即，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．
解法二：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8(个)．
点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．
本节课学习了：
①子集、真子集、Venn图等概念；
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；
③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．
课本本节练习B　2、3、4.
本节教学设计注重引导学生通过归纳来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过归纳得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．
[备选例题]
例1 下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？
分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故E＝{正方形}，即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．
例2 设集合A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，则满足BA的a的值共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：由已知得A＝{x||x|＝1或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵BA，∴B＝或B≠．当B＝时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠时，关于x的方程(a－2)x＝2的解为x＝∈A，
∴＝－2或＝－1或＝1或＝2.
解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个．
答案：D
例3 集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．16 B．8 C．7 D．4
解析：A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，则A的真子集有23－1＝7个．
答案：C
例4 已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
分析：先在数轴上表示集合A，然后化简集合B，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a的取值是否为1，要使集合B成为集合A的子集，集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上，从而确定字母a的分类标准．
解：当a＝1时，B＝{1}，所以B是A的子集；当1＜a≤3时，B也是A的子集；当a＜1或a＞3时，B不是A的子集．综上可知，当1≤a≤3时，B是A的子集．
由于集合B最多只有两个元素，而集合A有无数个元素，故不存在实数a，使B＝A.
点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键．
[思考]
(1)空集中没有元素，怎么还是集合？
(2)符号“∈”和“”有什么区别？
剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于＝0，x2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|＜0的解集是空集．
(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，Z；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1}{1,0}，{x|x＜0}．
(设计者：王立青)