数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：1．1．1 集合的概念
文档属性
| 名称 | 数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：1．1．1 集合的概念 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 20.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-28 07:55:43 | ||
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文档简介
示范教案
1．1.1 集合的概念
教学分析
集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中 ( http: / / www.21cnjy.com )数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，课本注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．
值得注意的问题：由于本小节的新概念、新符号 ( http: / / www.21cnjy.com )较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．
三维目标
1．通过实例了解集合及空集的概念，体会元素与集合的“属于”关系，树立用集合语言表示数学内容的意识．
2．了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识．
重点难点
教学重点：集合的基本概念．
教学难点：理解空集的概念．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.军训前学校通知：9月1日8点，高一年级学生到操场集合进行军训．试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合．
思路2.首先教师提出问题：在初中，我们已经 ( http: / / www.21cnjy.com )接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子．与此同时，教师对学生的活动给予评价．接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢？这就是我们这一堂课所要学习的内容．
推进新课
①请我们班的全体女生起立！接下来问：“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实，生活中有很多东西能 ( http: / / www.21cnjy.com )构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等．那么，大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢？请你给出集合的含义．
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成 ( http: / / www.21cnjy.com )的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b是高一(4)班的一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M，由实数3、1、2组成的集合记为N，这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？
讨论结果：①能．
②能．
③我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”．
④a是集合A的元素，b不是集合A的元素．学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于．
⑤能，是珠穆朗玛峰．
⑥不能．
⑦确定性．给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合的确定性．
⑧3个．
⑨互异性．一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的，这就是集合的互异性．
⑩集合M和N相同．这说明集合中的元 ( http: / / www.21cnjy.com )素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的．可以发现：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等的．
活动：先让学生阅读课本，教师指定学生展示结果．学生写出常用数集的记号后，教师强调：通常情况下，大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合，这是专用的集合表示符号，类似于110、119等专用电话号码一样．以后，我们会经常用到这些常见的数集，要求熟练掌握．
讨论结果：常见数集的专用符号．
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)；
N＋或N*：正整数集(非负整数集N内排除0的集合)；
Z：整数集(全体整数的集合)；
Q：有理数集(全体有理数的集合)；
R：实数集(全体实数的集合)．
活动：(1)方程x2＋1＝0没有实数解．
(2)空集记为?．
讨论结果：(1)不能．因为方程x2＋1＝0没有实数根．
(2)空集．
思路1
例1下列各组对象不能组成集合的是( )
A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数 D．函数y＝图象上所有的点
活动：学生先思考、讨论集合元素的性质，教师指导学生解此类选择题要逐项判断．判断一组对象能否构成集合，关键是看它是否满足集合元素的确定性．
选项A、C、D中的元素符合集合的确定性；而选项B中，难题没有标准，不符合集合元素的确定性，不能构成集合．
答案：B
点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质．当所指的对象非常明确时就能构成集合，若元素不明确，没有判断的标准就不能构成集合.
变式训练 下列条件能形成集合的是( )A．充分小的负数全体 B．爱好足球的人C．中国的富翁 D．方程x2＋1＝0的解答案：D
例2 已知集合A中仅有两个元素x和x2，则实数x的取值范围是__________．
解析：由集合的元素互异性知x≠x2，则x≠0且x≠1.
答案：x≠0且x≠1
点评：本题易错把答案写成x≠0或x≠1，其原因是没有区别“或”与“且”的含义，“且”表示同时成立，“或”表示至少有一个成立．x≠0或x≠1表示全体实数.
变式训练1．已知集合M中仅有两个元素4和x2，求实数x满足的条件．解：由题意得x2≠4，∴x≠±2.2．由2,2,4组成的集合A有__________个元素．答案：2
1．下列对象能否组成集合：
(1)数组1、3、5、7；
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点；
(3)满足3x－2＞x＋3的全体实数；
(4)所有直角三角形；
(5)美国NBA的著名篮球明星；
(6)所有绝对值等于6的数；
(7)所有绝对值小于3的整数；
(8)中国男子足球队中技术很差的队员；
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员．
答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合，(5)(8)不能组成集合．
2．用符号∈或?填空：
(1)1____N,0____N，－3____N,0.5____N，____N；
(2)1____Z,0____Z，－3____Z,0.5____Z，____Z；
(3)1____Q,0____Q，－3____Q,0.5____Q，____Q；
(4)1____R,0____R，－ 3____R,0.5____R，____R.
答案：
(1)∈ ∈
(2)∈ ∈ ∈
(3)∈ ∈ ∈ ∈
(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈
3．判断正误：
(1)所有属于N的元素都属于N＋.( )
(2)所有属于N的元素都属于Z.( )
(3)所有不属于N＋的数都不属于Z.( )
(4)所有不属于Q的实数都属于R.( )
(5)不属于N的数不能使方程4x＝8成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
4．集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，求实数x满足的条件．
解：由题意，得即也就是
即满足x≠－1,0,3.
5．集合A中的元素由关于x的方程kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中仅有一个元素，求k的值．
解：由于A中元素是关于x的方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的解，
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设；
若k≠0，则方程为一元二次方程，
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素．
综上所述k＝0或k＝.
由实数构成的集合A满足条件，若a∈A，a≠1，则∈A.
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)A不可能是单元素集；
(3)A中至少有三个不同的元素．
证明：(1)∵2∈A，∴＝－1∈A，＝∈A.∴必有－1，∈A.
(2)a∈A，则∈A，而a≠，所以A不是单元素集．
(3)a∈A，则∈A，又＝1－∈A，显然a≠≠1－，所以A中至少有三个元素．
本节学习了集合的概念、性质．
课本本节练习A 1、2、3.
本节课是集合的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．
[备选例题]
例1下列各选项中的对象可构成一个集合的是( )
A．与1非常接近的实数 B．我校学生中的女生
C．中国漂亮的工艺品 D．本班视力比较差的学生
解析：所给对象能否构成集合，应该是完全确定的，要有一个衡量的“标准”，不能似是而非，模棱两可．
因为A、C、D中的对象都没有一个确定的标准衡量，则都不能构成集合．
答案：B
例2 关于x的方程ax2＋x－1＝0的解组成的集合是A，当集合A中至多含有一个元素时，求实数a满足的条件．
解：当a＝0时，x＝1，则a＝0符合题意；
当a≠0时，关于x的一元二次方程没有实数根或有两个相等的实数根，则Δ＝1＋4a≤0，所以a≤－.
综上所得，a满足的条件是a＝0或a≤－.
1．1.1 集合的概念
教学分析
集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中 ( http: / / www.21cnjy.com )数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，课本注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．
值得注意的问题：由于本小节的新概念、新符号 ( http: / / www.21cnjy.com )较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．
三维目标
1．通过实例了解集合及空集的概念，体会元素与集合的“属于”关系，树立用集合语言表示数学内容的意识．
2．了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识．
重点难点
教学重点：集合的基本概念．
教学难点：理解空集的概念．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.军训前学校通知：9月1日8点，高一年级学生到操场集合进行军训．试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合．
思路2.首先教师提出问题：在初中，我们已经 ( http: / / www.21cnjy.com )接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子．与此同时，教师对学生的活动给予评价．接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢？这就是我们这一堂课所要学习的内容．
推进新课
①请我们班的全体女生起立！接下来问：“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？
③其实，生活中有很多东西能 ( http: / / www.21cnjy.com )构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等．那么，大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢？请你给出集合的含义．
④如果用A表示高一(3)班全体学生组成 ( http: / / www.21cnjy.com )的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b是高一(4)班的一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M，由实数3、1、2组成的集合记为N，这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等，你发现集合有什么结论？
讨论结果：①能．
②能．
③我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”．
④a是集合A的元素，b不是集合A的元素．学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于．
⑤能，是珠穆朗玛峰．
⑥不能．
⑦确定性．给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合的确定性．
⑧3个．
⑨互异性．一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的，这就是集合的互异性．
⑩集合M和N相同．这说明集合中的元 ( http: / / www.21cnjy.com )素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的．可以发现：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合是相等的．
活动：先让学生阅读课本，教师指定学生展示结果．学生写出常用数集的记号后，教师强调：通常情况下，大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合，这是专用的集合表示符号，类似于110、119等专用电话号码一样．以后，我们会经常用到这些常见的数集，要求熟练掌握．
讨论结果：常见数集的专用符号．
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)；
N＋或N*：正整数集(非负整数集N内排除0的集合)；
Z：整数集(全体整数的集合)；
Q：有理数集(全体有理数的集合)；
R：实数集(全体实数的集合)．
活动：(1)方程x2＋1＝0没有实数解．
(2)空集记为?．
讨论结果：(1)不能．因为方程x2＋1＝0没有实数根．
(2)空集．
思路1
例1下列各组对象不能组成集合的是( )
A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数 D．函数y＝图象上所有的点
活动：学生先思考、讨论集合元素的性质，教师指导学生解此类选择题要逐项判断．判断一组对象能否构成集合，关键是看它是否满足集合元素的确定性．
选项A、C、D中的元素符合集合的确定性；而选项B中，难题没有标准，不符合集合元素的确定性，不能构成集合．
答案：B
点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质．当所指的对象非常明确时就能构成集合，若元素不明确，没有判断的标准就不能构成集合.
变式训练 下列条件能形成集合的是( )A．充分小的负数全体 B．爱好足球的人C．中国的富翁 D．方程x2＋1＝0的解答案：D
例2 已知集合A中仅有两个元素x和x2，则实数x的取值范围是__________．
解析：由集合的元素互异性知x≠x2，则x≠0且x≠1.
答案：x≠0且x≠1
点评：本题易错把答案写成x≠0或x≠1，其原因是没有区别“或”与“且”的含义，“且”表示同时成立，“或”表示至少有一个成立．x≠0或x≠1表示全体实数.
变式训练1．已知集合M中仅有两个元素4和x2，求实数x满足的条件．解：由题意得x2≠4，∴x≠±2.2．由2,2,4组成的集合A有__________个元素．答案：2
1．下列对象能否组成集合：
(1)数组1、3、5、7；
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点；
(3)满足3x－2＞x＋3的全体实数；
(4)所有直角三角形；
(5)美国NBA的著名篮球明星；
(6)所有绝对值等于6的数；
(7)所有绝对值小于3的整数；
(8)中国男子足球队中技术很差的队员；
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员．
答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合，(5)(8)不能组成集合．
2．用符号∈或?填空：
(1)1____N,0____N，－3____N,0.5____N，____N；
(2)1____Z,0____Z，－3____Z,0.5____Z，____Z；
(3)1____Q,0____Q，－3____Q,0.5____Q，____Q；
(4)1____R,0____R，－ 3____R,0.5____R，____R.
答案：
(1)∈ ∈
(2)∈ ∈ ∈
(3)∈ ∈ ∈ ∈
(4)∈ ∈ ∈ ∈ ∈
3．判断正误：
(1)所有属于N的元素都属于N＋.( )
(2)所有属于N的元素都属于Z.( )
(3)所有不属于N＋的数都不属于Z.( )
(4)所有不属于Q的实数都属于R.( )
(5)不属于N的数不能使方程4x＝8成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
4．集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，求实数x满足的条件．
解：由题意，得即也就是
即满足x≠－1,0,3.
5．集合A中的元素由关于x的方程kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中仅有一个元素，求k的值．
解：由于A中元素是关于x的方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的解，
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设；
若k≠0，则方程为一元二次方程，
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素．
综上所述k＝0或k＝.
由实数构成的集合A满足条件，若a∈A，a≠1，则∈A.
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)A不可能是单元素集；
(3)A中至少有三个不同的元素．
证明：(1)∵2∈A，∴＝－1∈A，＝∈A.∴必有－1，∈A.
(2)a∈A，则∈A，而a≠，所以A不是单元素集．
(3)a∈A，则∈A，又＝1－∈A，显然a≠≠1－，所以A中至少有三个元素．
本节学习了集合的概念、性质．
课本本节练习A 1、2、3.
本节课是集合的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．
[备选例题]
例1下列各选项中的对象可构成一个集合的是( )
A．与1非常接近的实数 B．我校学生中的女生
C．中国漂亮的工艺品 D．本班视力比较差的学生
解析：所给对象能否构成集合，应该是完全确定的，要有一个衡量的“标准”，不能似是而非，模棱两可．
因为A、C、D中的对象都没有一个确定的标准衡量，则都不能构成集合．
答案：B
例2 关于x的方程ax2＋x－1＝0的解组成的集合是A，当集合A中至多含有一个元素时，求实数a满足的条件．
解：当a＝0时，x＝1，则a＝0符合题意；
当a≠0时，关于x的一元二次方程没有实数根或有两个相等的实数根，则Δ＝1＋4a≤0，所以a≤－.
综上所得，a满足的条件是a＝0或a≤－.