数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：1．2．2 集合的运算(设计者：赵冠明)
文档属性
| 名称 | 数学（人教新课标B版）必修一 精品教学设计：1．2．2 集合的运算(设计者：赵冠明) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 8.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-28 07:58:46 | ||
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
示范教案
1．2.2 集合的运算
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，引入 ( http: / / www.21cnjy.com )集合间的运算，同时，结合相关内容介绍补集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．
值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用Venn图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用Venn图进行求补集的运算．
三维目标
1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义， ( http: / / www.21cnjy.com )掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高归纳的能力．
2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．
重点难点
教学重点：交集与并集，全集与补集的概念．
教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．
思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
引导学生通过观察、归纳、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．2-1-c-n-j-y
思路3.(1)①如下图甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？
②观察集合A与B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．
(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.【出处：21教育名师】
学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的运算．
推进新课
①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？
②用文字语言来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．
③用数学符号来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．
④试用Venn图表示A∪B＝C.
⑤请给出集合的并集定义．
⑥求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A与B与集合C之间有什么关系？
(ⅰ)A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；[21世纪教育网]
(ⅱ)A＝{x|x是国兴中学2007年9月 ( http: / / www.21cnjy.com )入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}．
⑦类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：先让学生思考或讨论问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来显示．
讨论结果：①集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集，记为A∪B＝C，读作A并B.
②所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
③C＝{x|x∈A，或x∈B}．
④如下图所示．
⑤一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.(ⅰ)A∩B＝C，(ⅱ)A∪B＝C.
⑦一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
用Venn图表示，如下图所示．
思路1
例1 设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B，A∩B.
活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法．根据集合并集、交集的含义，借助于Venn图写出．观察这两个集合中的元素，或用Venn图来表示，如下图所示．
解：A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}．
A∩B＝{4,5,6,8}∩{3,5,7,8}＝{5,8}．
点评：本题主要考查集合的并集和交集．用 ( http: / / www.21cnjy.com )列举法表示的集合，运算时常利用Venn图或直接观察得到结果．本题易错解为A∪B＝{3,4,5,5,6,7,8,8}．其原因是忽视了集合元素的互异性．解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.
变式训练1．集合M＝{1,2,3}，N＝{－1,5,6,7}，则M∪N＝________，M∩N＝________.答案：{－1,1,2,3,5,6,7} 2．集合P＝{1,2,3，m}，M＝{m2,3}，P∪M＝{1,2,3，m}，则m＝________.解析：由题意得m2＝1或2或m，解得m＝－1,1，，－，0.因m＝1不合题意，故舍去．答案：－1，，－，03．求下列每对集合的交集：(1)A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}；(2)C＝{1,3,5,7}，D＝{2,4,6,8}．解：(1)A∩B＝{1，－3}∩{－1，－3}＝{－3}；(2)C∩D＝4.已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，求Q∪Z.解：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝{x|x是有理数}＝Q.
[来源:21世纪教育网]
例2 设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B.
活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义．利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求．用数轴表示描述法表示的数集．
解：将A＝{x|－1＜x＜2}及B＝{x|1＜x＜3}在数轴上表示出来，如下图所示的阴影部分即为所求．
由图得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}，
A∩B＝{x|－1＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|1＜x＜2}．
点评：本类题主要考查集合的并集和交集．用描述法表示的数集，运算时常利用数轴来计算结果.
变式训练1．设A＝{x|2x－4＜2}，B＝{x|2x－4＞0}，求A∪B，A∩B.答案：A∪B＝R，A∩B＝{x|2＜x＜3}．2．设A＝{x|2x－4＝2}，B＝{x|2x－4＝0}，求A∪B，A∩B.答案：A∪B＝{3,2}，A∩B＝．3．设A＝{x|x是奇数}，B＝{x|x是偶数}，求A∩Z，B∩Z，A∩B.解：A∩Z＝{x|x是奇数}∩{x|x是整数}＝{x|x是奇数}＝A，B∩Z＝{x|x是偶数}∩{x|x是整数}＝{x|x是偶数}＝B，A∩B＝{x|x是奇数}∩{x|x是偶数}＝．4．已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，求A∩B.分析：集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A，B的交集即为方程组的解集．解：A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝{(x，y)|}＝{(1,2)}．5．已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B.解：A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}.
思路2
例1 A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
活动：学生先思考集合中元素特征，明 ( http: / / www.21cnjy.com )确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果的寻求就容易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：因A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如下图所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝．
点评：本题主要考查集合的交集和并集 ( http: / / www.21cnjy.com )．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.
变式训练1．设A＝{x|x＝2n，n∈N＋}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N＋，因n∈N＋，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以AB.而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合 ( http: / / www.21cnjy.com )B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.3．设A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.解：因A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9，a＝10或a＝±3，当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；当a＝3时，a－1＝2不合题意；当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．故a＝10，此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．4．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于… ( )A．{x|－3＜x＜1} B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞－3} D．{x|x＜1}解析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．答案：A
例2 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
活动：明确集合A、B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A、B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解集，可以发现，BA，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A、B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A、B的关系，从数轴上分析求得a的值．
解：由题意得A＝{－4,0}．∵A∩B＝B，∴BA.∴B＝或B≠．
当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4、0，
即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4、0.
则有解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
点评：本题主要考查集合的运 ( http: / / www.21cnjy.com )算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
变式训练1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，求能使A?(A∩B)成立的所有a值的集合．解：由题意知A(A∩B)，即AB，A非空，得解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}．2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．分析：由A∪B＝A得BA，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．解：∵A∪B＝A，∴BA. 又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠．当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.当B≠时，观察下图：由数轴可得解得－2≤m≤3.综上所述，实数m的取值范围是m＜2或－2≤m≤3，即m≤3.
1．设a＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，
(1)求A∩B，A∪B.
(2)用适当的符号(、)填空：
(A∩B)________A，B________(A∩B)，(A∪B)________A，(A∪B)________B，(A∩B)________(A∪B)．21cnjy.com
解：(1)因A、B的公共元素为5、8，
则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．
又A、B两集合的元素为3、4、5、6、7、8，
故A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)(A∩B) A，B (A∩B)，(A∪B) A，(A∪B) B，(A∩B) (A∪B)．
2．设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，
故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．
3．设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立，故A、B两集合没有公共部分．
所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝．
4．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A、B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．
5．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．
6．已知M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.www.21-cn-jy.com
分析：M、N中元素是数，A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素．
解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，则A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}．21·世纪*教育网
7．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )
A．AC B．CA C．A≠C D．A＝
解析：思路一：∵(B∩C) B，(B∩C) C，A∪B＝B∩C，
∴(A∪B) B，(A∪B) C.∴ABC.∴AC.
思路二：取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B、D，
令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，
而此时A＝C，排除C.
答案：A
观察：(1)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系；
(2)当A＝时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系；
(3)当A＝B＝{1,2}时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系．21世纪教育网
由(1)(2)(3)你发现了什么结论？
活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A、B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A、B的关系．(1)(2)(3)中的集合A、B均满足AB，用Venn图表示，如下图所示，就可以发现A∩B、A∪B与集合A、B的关系．
解：A∩B＝AABA∪B＝B.
可用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：
A∪B＝B∪A，A (A∪B)，B (A∪B)；A∪A＝A，A∪＝A，ABA∪B＝B；
A∩B＝B∩A；(A∩B) A，(A∩B) B；A∩A＝A；A∩＝；ABA∩B＝A.
本节主要学习了：
1．集合的交集和并集．
2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
3．书面作业：课本习题1—2A 3、4、5.
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高 ( http: / / www.21cnjy.com )考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法． 21*cnjy*com
(设计者：尚大志)
第2课时
导入新课
问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x－3)(x－)＝0，其结果会相同吗？
②若集合A＝{x|0＜x＜2，x∈Z}，B＝{x|0＜x＜2，x∈R}，则集合A、B相等吗？
学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．21世纪教育网版权所有
推进新课
①用列举法表示下列集合：
A＝{x∈Z|(x－2)(x＋)(x－)＝0}；
B＝{x∈Q|(x－2)(x＋)(x－)＝0}；
C＝{x∈R|(x－2)(x＋)(x－)＝0}．
②问题①中三个集合相等吗？为什么？
③由此看，解方程时要注意什么？
④问题①，集合Z、Q、R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．
⑤已知全集U＝{1,2,3}，A＝{1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义．
⑦用Venn图表示UA.
活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．
讨论结果：①A＝{2}，B＝{2，－}，C＝{2，－，}．
②不相等，因为三个集合中的元素不相同．
③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．
④在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示．21教育网
⑤B＝{2,3}．
⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集.
集合A相对于全集U的补集记为UA，即UA＝{x|x∈U，且x?A}．
⑦如下图所示，阴影表示补集．
思路1
例1设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求UA，UB.
活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出UA，UB.www-2-1-cnjy-com
解：根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以UA＝{4,5,6,7,8}；UB＝{1,2,7,8}．
点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．【来源：21cnj*y.co*m】
常见结论：U(A∩B)＝(UA)∪(UB)；U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
变式训练1．已知U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}．求UA，A∩UA，A∪UA.解：UA＝{2,4,6}，A∩UA＝，A∪UA＝U.2．已知U＝{x|x是实数}，Q＝{x|x是有理数}，求UQ.解：UQ＝{x|x是无理数}．3．已知U＝R，A＝{x|x＞5}，求UA.解：UA＝{x|x≤5}.
例2 设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}．求A∩B，U(A∪B)．
活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A、B中公共元素组成的集合，U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．
解：根据三角形的分类可知A∩B＝，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.
变式训练1．已知集合A＝{x|3≤x＜8}，求RA.解：RA＝{x|x＜3或x≥8}．2．设S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，AB，SA.解：B∩C＝{x|正方形}，AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}， SA＝{x|x是梯形}．3．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足( IA)∩B＝{2}，(IB)∩A＝{4}，求实数a、b的值．答案：a＝，b＝－.4．设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋}，B＝{3,4,5,6}，则(UA)∩B等于…( )A．{4} B．{4,5,6}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}解析：∵U＝R，A＝{x|x≤2＋}，∴UA＝{x|x＞2＋}．而4、5、6都大于2＋，∴(UA)∩B＝{4,5,6}．答案：B
思路2
例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：
(1)UA，UB；
(2)(UA)∪(UB)，U(A∩B)，由此你发现了什么结论？
(3)(UA)∩(UB)，U(A∪B)，由此你发现了什么结论？
活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．在数轴上表示集合A，B.21教育名师原创作品
解：如下图所示，
(1)由图得UA＝{x|x＜－2或x＞4}，UB＝{x|x＜－3或x＞3}．
(2)由图得(UA)∪(UB)＝{x|x＜－2或x＞4}∪{x|x＜－3或x＞3}＝{x|x＜－2或x＞3}．
∵A∩B＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，
∴U(A∩B)＝U{x|－2≤x≤3}＝{x|x＜－2或x＞3}．
∴得出结论U(A∩B)＝(UA)∪(UB)．
(3)由图得(UA)∩(UB)＝{x|x＜－2或x＞4}∩{x|x＜－3或x＞3}＝{x|x＜－3或x＞4}．
∵A∪B＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，
∴U(A∪B)＝U{x|－3≤x≤4}＝{x|x＜－3或x＞4}．
∴得出结论U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
变式训练1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(UA)∪(UB)等于( )A．{1,6} B．{4,5}C．{1,2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}答案：D2．设集合I＝{x||x|＜3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(IB)等于( )A．{1} B．{1,2} C．{2} D．{0,1,2}答案：D
例2 设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩(UB)＝{3,5}，(UA)∩B＝{7,19}，(UA)∩(UB)＝{2,17}，求集合A、B.21·cn·jy·com
活动：学生回顾集合的运算的含义，明 ( http: / / www.21cnjy.com )确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A、B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A、B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．2·1·c·n·j·y
解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
由题意借助于Venn图，如下图所示，
∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
点评：本题主要考查集合的运算、Venn图 ( http: / / www.21cnjy.com )以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，这正体现了数形结合思想的优越性.【版权所有：21教育】
变式训练1. 设I为全集，M、N、P都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是( )A．M∩[(IN)∩P] B．M∩(N∪P)C．[(IM)∩(IN)]∩P D．M∩N∪(N∩P)解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B、D.思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内即在(IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(IN)∩P]．答案：A2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(UA)∩B＝{3,7}，(UB)∩A＝{2,8}，(UA)∩(UB)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.解析：借助Venn图，如下图，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A、B了．答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}
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1．设全集U＝R，A＝{x|2x＋1＞0}，试用文字语言表述UA的意义．
解：A＝{x|2x＋1＞0}即不等式2x＋1＞0的解集，UA中元素均不能使2x＋1＞0成立，即UA中元素应当满足2x＋1≤0.∴UA即不等式2x＋1≤0的解集．【来源：21·世纪·教育·网】
2．如下图所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．
解析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合S内；二是在集合M、P的公共部分内．因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M、P的交集的交集，即(US)∩(M∩P)．21*cnjy*com
答案：(US)∩(M∩P)
3．设集合A、B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(UA)∩(UB)＝{2}，(UA)∩B＝{1}，则A等于( )
A．{1,2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,4}
解析：如下图所示．
由于(UA)∩(UB)＝{2}，(UA)∩B＝{1}，则有UA＝{1,2}．
∴A＝{3,4}．
答案：C
4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6}，则U(S∪T)等于 …( )
A． B．{2,4,7,8}
C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8}
解析：直接观察(或画出Venn图)，得S∪T＝{1,3,5,6}，则U(S∪T)＝{2,4,7,8}．
答案：B
5．已知集合I＝{1,2,3,4}，A＝{1}，B＝{2,4}，则A∪(IB)等于( )
A．{1} B．{1,3} C．{3} D．{1,2,3}
解析：∵IB＝{1,3}，∴A∪(IB)＝{1}∪{1,3}＝{1,3}．
答案：B
问题：某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：
(1)至少解对其中一题者有多少人？
(2)两题均未解对者有多少人？
分析：先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决．
解：设全集为U，A＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，
则A∪C＝{解对甲题的学生}，
B∪C＝{解对乙题的学生}，
A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}，
U(A∪B∪C)＝{两题均未解对的学生}．
由已知，A∪C有34个人，C有20个人，
从而知A有14个人；B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人．
因此A∪B∪C有N1＝14＋8＋20＝42(人)，U(A∪B∪C)有N2＝50－42＝8(人)．
所以至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人．
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本节课学习了：
①全集和补集的概念和求法．
②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．
课本习题1—2A 9.
本节教学设计注重渗透数形结合的思想方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节也对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．
[备选例题]
例1 已知A＝{y|y＝x2－4x＋6 ( http: / / www.21cnjy.com )，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．
解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，A＝{y|y≥2，y∈N}，
又∵y＝－x2－2x＋7＝－(x＋1)2＋8≤8，∴B＝{y|y≤8，y∈N}．
故A∩B＝{y|2≤y≤8}＝{2,3,4,5,6,7,8}．
例2 设S＝{(x，y)|xy＞0}，T＝{(x，y)|x＞0且y＞0}，则( )
A．S∪T＝S B．S∪T＝T
C．S∩T＝S D．S∩T＝
解析：S＝{(x，y)|xy＞0}＝{(x，y)|x＞0且y＞0或x＜0且y＜0}，则T?S，所以S∪T＝S.
答案：A
例3 某城镇有1 000户居 ( http: / / www.21cnjy.com )民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户．
解析：设这1 000户居民组成集合U， ( http: / / www.21cnjy.com )其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如下图所示．有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．
答案：966
差集与补集
有两个集合A、B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C就叫做A与B的差集，记作A－B(或A\B)．
例如，A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e，f}，C＝A－B＝{a，b}．
也可以用维恩图表示，如下图甲所示(阴影部分表示差集)．
特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I－B，叫做B在I中的补集，记作.
例如，I＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，＝I－B＝{4,5}．
也可以用维恩图表示，如上图乙所示(阴影部分表示补集)．
从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是 ( http: / / www.21cnjy.com )已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数．
(设计者：赵冠明)
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示范教案
1．2.2 集合的运算
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，引入 ( http: / / www.21cnjy.com )集合间的运算，同时，结合相关内容介绍补集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．
值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用Venn图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用Venn图进行求补集的运算．
三维目标
1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义， ( http: / / www.21cnjy.com )掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高归纳的能力．
2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．
重点难点
教学重点：交集与并集，全集与补集的概念．
教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．
思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
引导学生通过观察、归纳、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．2-1-c-n-j-y
思路3.(1)①如下图甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？
②观察集合A与B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．
(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.【出处：21教育名师】
学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的运算．
推进新课
①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？
②用文字语言来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．
③用数学符号来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．
④试用Venn图表示A∪B＝C.
⑤请给出集合的并集定义．
⑥求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A与B与集合C之间有什么关系？
(ⅰ)A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；[21世纪教育网]
(ⅱ)A＝{x|x是国兴中学2007年9月 ( http: / / www.21cnjy.com )入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}．
⑦类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：先让学生思考或讨论问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来显示．
讨论结果：①集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集，记为A∪B＝C，读作A并B.
②所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
③C＝{x|x∈A，或x∈B}．
④如下图所示．
⑤一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.(ⅰ)A∩B＝C，(ⅱ)A∪B＝C.
⑦一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
用Venn图表示，如下图所示．
思路1
例1 设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B，A∩B.
活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法．根据集合并集、交集的含义，借助于Venn图写出．观察这两个集合中的元素，或用Venn图来表示，如下图所示．
解：A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}．
A∩B＝{4,5,6,8}∩{3,5,7,8}＝{5,8}．
点评：本题主要考查集合的并集和交集．用 ( http: / / www.21cnjy.com )列举法表示的集合，运算时常利用Venn图或直接观察得到结果．本题易错解为A∪B＝{3,4,5,5,6,7,8,8}．其原因是忽视了集合元素的互异性．解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.
变式训练1．集合M＝{1,2,3}，N＝{－1,5,6,7}，则M∪N＝________，M∩N＝________.答案：{－1,1,2,3,5,6,7} 2．集合P＝{1,2,3，m}，M＝{m2,3}，P∪M＝{1,2,3，m}，则m＝________.解析：由题意得m2＝1或2或m，解得m＝－1,1，，－，0.因m＝1不合题意，故舍去．答案：－1，，－，03．求下列每对集合的交集：(1)A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}；(2)C＝{1,3,5,7}，D＝{2,4,6,8}．解：(1)A∩B＝{1，－3}∩{－1，－3}＝{－3}；(2)C∩D＝4.已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，求Q∪Z.解：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝{x|x是有理数}＝Q.
[来源:21世纪教育网]
例2 设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B.
活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义．利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求．用数轴表示描述法表示的数集．
解：将A＝{x|－1＜x＜2}及B＝{x|1＜x＜3}在数轴上表示出来，如下图所示的阴影部分即为所求．
由图得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}，
A∩B＝{x|－1＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|1＜x＜2}．
点评：本类题主要考查集合的并集和交集．用描述法表示的数集，运算时常利用数轴来计算结果.
变式训练1．设A＝{x|2x－4＜2}，B＝{x|2x－4＞0}，求A∪B，A∩B.答案：A∪B＝R，A∩B＝{x|2＜x＜3}．2．设A＝{x|2x－4＝2}，B＝{x|2x－4＝0}，求A∪B，A∩B.答案：A∪B＝{3,2}，A∩B＝．3．设A＝{x|x是奇数}，B＝{x|x是偶数}，求A∩Z，B∩Z，A∩B.解：A∩Z＝{x|x是奇数}∩{x|x是整数}＝{x|x是奇数}＝A，B∩Z＝{x|x是偶数}∩{x|x是整数}＝{x|x是偶数}＝B，A∩B＝{x|x是奇数}∩{x|x是偶数}＝．4．已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，求A∩B.分析：集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A，B的交集即为方程组的解集．解：A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝{(x，y)|}＝{(1,2)}．5．已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B.解：A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}.
思路2
例1 A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
活动：学生先思考集合中元素特征，明 ( http: / / www.21cnjy.com )确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果的寻求就容易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：因A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如下图所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝．
点评：本题主要考查集合的交集和并集 ( http: / / www.21cnjy.com )．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.
变式训练1．设A＝{x|x＝2n，n∈N＋}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N＋，因n∈N＋，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以AB.而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合 ( http: / / www.21cnjy.com )B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.3．设A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.解：因A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9，a＝10或a＝±3，当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；当a＝3时，a－1＝2不合题意；当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．故a＝10，此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．4．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于… ( )A．{x|－3＜x＜1} B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞－3} D．{x|x＜1}解析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．答案：A
例2 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
活动：明确集合A、B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A、B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解集，可以发现，BA，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A、B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A、B的关系，从数轴上分析求得a的值．
解：由题意得A＝{－4,0}．∵A∩B＝B，∴BA.∴B＝或B≠．
当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4、0，
即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4、0.
则有解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
点评：本题主要考查集合的运 ( http: / / www.21cnjy.com )算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
变式训练1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，求能使A?(A∩B)成立的所有a值的集合．解：由题意知A(A∩B)，即AB，A非空，得解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}．2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．分析：由A∪B＝A得BA，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．解：∵A∪B＝A，∴BA. 又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠．当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.当B≠时，观察下图：由数轴可得解得－2≤m≤3.综上所述，实数m的取值范围是m＜2或－2≤m≤3，即m≤3.
1．设a＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，
(1)求A∩B，A∪B.
(2)用适当的符号(、)填空：
(A∩B)________A，B________(A∩B)，(A∪B)________A，(A∪B)________B，(A∩B)________(A∪B)．21cnjy.com
解：(1)因A、B的公共元素为5、8，
则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．
又A、B两集合的元素为3、4、5、6、7、8，
故A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)(A∩B) A，B (A∩B)，(A∪B) A，(A∪B) B，(A∩B) (A∪B)．
2．设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，
故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．
3．设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立，故A、B两集合没有公共部分．
所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝．
4．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A、B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．
5．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．
6．已知M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.www.21-cn-jy.com
分析：M、N中元素是数，A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素．
解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，则A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}．21·世纪*教育网
7．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )
A．AC B．CA C．A≠C D．A＝
解析：思路一：∵(B∩C) B，(B∩C) C，A∪B＝B∩C，
∴(A∪B) B，(A∪B) C.∴ABC.∴AC.
思路二：取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B、D，
令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，
而此时A＝C，排除C.
答案：A
观察：(1)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系；
(2)当A＝时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系；
(3)当A＝B＝{1,2}时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系．21世纪教育网
由(1)(2)(3)你发现了什么结论？
活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A、B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A、B的关系．(1)(2)(3)中的集合A、B均满足AB，用Venn图表示，如下图所示，就可以发现A∩B、A∪B与集合A、B的关系．
解：A∩B＝AABA∪B＝B.
可用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：
A∪B＝B∪A，A (A∪B)，B (A∪B)；A∪A＝A，A∪＝A，ABA∪B＝B；
A∩B＝B∩A；(A∩B) A，(A∩B) B；A∩A＝A；A∩＝；ABA∩B＝A.
本节主要学习了：
1．集合的交集和并集．
2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
3．书面作业：课本习题1—2A 3、4、5.
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高 ( http: / / www.21cnjy.com )考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法． 21*cnjy*com
(设计者：尚大志)
第2课时
导入新课
问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x－3)(x－)＝0，其结果会相同吗？
②若集合A＝{x|0＜x＜2，x∈Z}，B＝{x|0＜x＜2，x∈R}，则集合A、B相等吗？
学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．21世纪教育网版权所有
推进新课
①用列举法表示下列集合：
A＝{x∈Z|(x－2)(x＋)(x－)＝0}；
B＝{x∈Q|(x－2)(x＋)(x－)＝0}；
C＝{x∈R|(x－2)(x＋)(x－)＝0}．
②问题①中三个集合相等吗？为什么？
③由此看，解方程时要注意什么？
④问题①，集合Z、Q、R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．
⑤已知全集U＝{1,2,3}，A＝{1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义．
⑦用Venn图表示UA.
活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．
讨论结果：①A＝{2}，B＝{2，－}，C＝{2，－，}．
②不相等，因为三个集合中的元素不相同．
③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．
④在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示．21教育网
⑤B＝{2,3}．
⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集.
集合A相对于全集U的补集记为UA，即UA＝{x|x∈U，且x?A}．
⑦如下图所示，阴影表示补集．
思路1
例1设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求UA，UB.
活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出UA，UB.www-2-1-cnjy-com
解：根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以UA＝{4,5,6,7,8}；UB＝{1,2,7,8}．
点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．【来源：21cnj*y.co*m】
常见结论：U(A∩B)＝(UA)∪(UB)；U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
变式训练1．已知U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}．求UA，A∩UA，A∪UA.解：UA＝{2,4,6}，A∩UA＝，A∪UA＝U.2．已知U＝{x|x是实数}，Q＝{x|x是有理数}，求UQ.解：UQ＝{x|x是无理数}．3．已知U＝R，A＝{x|x＞5}，求UA.解：UA＝{x|x≤5}.
例2 设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}．求A∩B，U(A∪B)．
活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A、B中公共元素组成的集合，U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．
解：根据三角形的分类可知A∩B＝，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.
变式训练1．已知集合A＝{x|3≤x＜8}，求RA.解：RA＝{x|x＜3或x≥8}．2．设S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，AB，SA.解：B∩C＝{x|正方形}，AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}， SA＝{x|x是梯形}．3．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足( IA)∩B＝{2}，(IB)∩A＝{4}，求实数a、b的值．答案：a＝，b＝－.4．设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋}，B＝{3,4,5,6}，则(UA)∩B等于…( )A．{4} B．{4,5,6}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}解析：∵U＝R，A＝{x|x≤2＋}，∴UA＝{x|x＞2＋}．而4、5、6都大于2＋，∴(UA)∩B＝{4,5,6}．答案：B
思路2
例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：
(1)UA，UB；
(2)(UA)∪(UB)，U(A∩B)，由此你发现了什么结论？
(3)(UA)∩(UB)，U(A∪B)，由此你发现了什么结论？
活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．在数轴上表示集合A，B.21教育名师原创作品
解：如下图所示，
(1)由图得UA＝{x|x＜－2或x＞4}，UB＝{x|x＜－3或x＞3}．
(2)由图得(UA)∪(UB)＝{x|x＜－2或x＞4}∪{x|x＜－3或x＞3}＝{x|x＜－2或x＞3}．
∵A∩B＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，
∴U(A∩B)＝U{x|－2≤x≤3}＝{x|x＜－2或x＞3}．
∴得出结论U(A∩B)＝(UA)∪(UB)．
(3)由图得(UA)∩(UB)＝{x|x＜－2或x＞4}∩{x|x＜－3或x＞3}＝{x|x＜－3或x＞4}．
∵A∪B＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，
∴U(A∪B)＝U{x|－3≤x≤4}＝{x|x＜－3或x＞4}．
∴得出结论U(A∪B)＝(UA)∩(UB).
变式训练1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(UA)∪(UB)等于( )A．{1,6} B．{4,5}C．{1,2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}答案：D2．设集合I＝{x||x|＜3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(IB)等于( )A．{1} B．{1,2} C．{2} D．{0,1,2}答案：D
例2 设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩(UB)＝{3,5}，(UA)∩B＝{7,19}，(UA)∩(UB)＝{2,17}，求集合A、B.21·cn·jy·com
活动：学生回顾集合的运算的含义，明 ( http: / / www.21cnjy.com )确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A、B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A、B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．2·1·c·n·j·y
解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
由题意借助于Venn图，如下图所示，
∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
点评：本题主要考查集合的运算、Venn图 ( http: / / www.21cnjy.com )以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，这正体现了数形结合思想的优越性.【版权所有：21教育】
变式训练1. 设I为全集，M、N、P都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是( )A．M∩[(IN)∩P] B．M∩(N∪P)C．[(IM)∩(IN)]∩P D．M∩N∪(N∩P)解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B、D.思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内即在(IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(IN)∩P]．答案：A2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(UA)∩B＝{3,7}，(UB)∩A＝{2,8}，(UA)∩(UB)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.解析：借助Venn图，如下图，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A、B了．答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}
21世纪教育网
1．设全集U＝R，A＝{x|2x＋1＞0}，试用文字语言表述UA的意义．
解：A＝{x|2x＋1＞0}即不等式2x＋1＞0的解集，UA中元素均不能使2x＋1＞0成立，即UA中元素应当满足2x＋1≤0.∴UA即不等式2x＋1≤0的解集．【来源：21·世纪·教育·网】
2．如下图所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．
解析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合S内；二是在集合M、P的公共部分内．因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M、P的交集的交集，即(US)∩(M∩P)．21*cnjy*com
答案：(US)∩(M∩P)
3．设集合A、B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(UA)∩(UB)＝{2}，(UA)∩B＝{1}，则A等于( )
A．{1,2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,4}
解析：如下图所示．
由于(UA)∩(UB)＝{2}，(UA)∩B＝{1}，则有UA＝{1,2}．
∴A＝{3,4}．
答案：C
4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6}，则U(S∪T)等于 …( )
A． B．{2,4,7,8}
C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8}
解析：直接观察(或画出Venn图)，得S∪T＝{1,3,5,6}，则U(S∪T)＝{2,4,7,8}．
答案：B
5．已知集合I＝{1,2,3,4}，A＝{1}，B＝{2,4}，则A∪(IB)等于( )
A．{1} B．{1,3} C．{3} D．{1,2,3}
解析：∵IB＝{1,3}，∴A∪(IB)＝{1}∪{1,3}＝{1,3}．
答案：B
问题：某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：
(1)至少解对其中一题者有多少人？
(2)两题均未解对者有多少人？
分析：先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决．
解：设全集为U，A＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，
则A∪C＝{解对甲题的学生}，
B∪C＝{解对乙题的学生}，
A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}，
U(A∪B∪C)＝{两题均未解对的学生}．
由已知，A∪C有34个人，C有20个人，
从而知A有14个人；B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人．
因此A∪B∪C有N1＝14＋8＋20＝42(人)，U(A∪B∪C)有N2＝50－42＝8(人)．
所以至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人．
21世纪教育网
本节课学习了：
①全集和补集的概念和求法．
②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．
课本习题1—2A 9.
本节教学设计注重渗透数形结合的思想方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节也对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．
[备选例题]
例1 已知A＝{y|y＝x2－4x＋6 ( http: / / www.21cnjy.com )，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．
解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，A＝{y|y≥2，y∈N}，
又∵y＝－x2－2x＋7＝－(x＋1)2＋8≤8，∴B＝{y|y≤8，y∈N}．
故A∩B＝{y|2≤y≤8}＝{2,3,4,5,6,7,8}．
例2 设S＝{(x，y)|xy＞0}，T＝{(x，y)|x＞0且y＞0}，则( )
A．S∪T＝S B．S∪T＝T
C．S∩T＝S D．S∩T＝
解析：S＝{(x，y)|xy＞0}＝{(x，y)|x＞0且y＞0或x＜0且y＜0}，则T?S，所以S∪T＝S.
答案：A
例3 某城镇有1 000户居 ( http: / / www.21cnjy.com )民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户．
解析：设这1 000户居民组成集合U， ( http: / / www.21cnjy.com )其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如下图所示．有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．
答案：966
差集与补集
有两个集合A、B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C就叫做A与B的差集，记作A－B(或A\B)．
例如，A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e，f}，C＝A－B＝{a，b}．
也可以用维恩图表示，如下图甲所示(阴影部分表示差集)．
特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I－B，叫做B在I中的补集，记作.
例如，I＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，＝I－B＝{4,5}．
也可以用维恩图表示，如上图乙所示(阴影部分表示补集)．
从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是 ( http: / / www.21cnjy.com )已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数．
(设计者：赵冠明)
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