新人教A版必修第二册2024春高中数学第七章 复数 章末检测（含解析）

第七章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z＝3－5i，则1－2i－z等于(　　)
A．z－1 B．z＋1
C．2－3i D．－2＋3i
2．(2023年永州三模)若复数z满足－3i＝z，则复数z的虚部为(　　)
A． B．－
C．i D．－i
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2023年陇南一模)已知a，b∈R，a＋i与3＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)
A．10－6i B．10＋6i
C．8－6i D．8＋6i
5．(2023年安徽三模)已知复数z满足iz＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
7．z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A．2－i B．2＋i
C．－2－i D．－2＋i
8．复数＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－i D．＋i
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为(　　)
A．(－2，0) B．(3，1)
C．(0，4) D．(－1，－5)
10．已知复数z＝2＋i，则下列命题中正确的有(　　)
A．|z|＝ B．＝2－i
C．z的虚部为i D．在复平面上的对应点在第二象限
11．(2023年杞县期中)下列关于复数z＝的四个命题，其中为真命题的有(　　)
A．|z|＝ B．z2＝2i
C．z的共轭复数为－1＋i D．z是关于x的方程x2－2x＋2＝0的一个根
12．(2023年青岛模拟)已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2＜b＜2，b∈R)的两根，则下列说法中正确的有(　　)
A．＝z2 B．∈R
C．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，则z＝z＝1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z＝，i为虚数单位，则z的共轭复数＝__________．
14．(2023年天津二模)已知i是虚数单位，若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为__________．
15．(2023年武汉月考)在复平面内，把与复数3－i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为________(用代数形式表示)．
16．设z的共轭复数是 ，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝__________，＝__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(2023年广州天河区期中)已知复数z＝(1＋ai)(1＋i)＋2＋4i(a∈R)．
(1)若z在复平面中所对应的点在直线x－y＝0上，求a的值；
(2)求|z＋2|的取值范围．
18．(12分)(2023年温州期中)已知复数z＝(1－i)2＋，其中i为虚数单位．
(1)求z及|z|；
(2)若z2＋a＋b＝6＋7i，求实数a，b的值．
19．(12分)实数m取什么数值时，复数z＝＋(m2－1)i分别是下列数？
(1)实数；(2)纯虚数．
20．(12分)已知复数z满足(z－2)(1＋i)＝1－i．
(1)求复数z；(2)求|(3＋i)z|．
21．(12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i．
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
22．(12分)(2023年合肥月考)已知θ为三角形的一个内角，复数z＝cos θ＋isin θ，且满足|z＋1|＝1．
(1)求1＋z＋z2；
(2)设z，－2，1＋z＋z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
第七章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z＝3－5i，则1－2i－z等于(　　)
A．z－1 B．z＋1
C．2－3i D．－2＋3i
【答案】D
【解析】1－2i－z＝1－2i－(3－5i)＝－2＋3i．
2．(2023年永州三模)若复数z满足－3i＝z，则复数z的虚部为(　　)
A． B．－
C．i D．－i
【答案】B
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi．∵－3i＝z，∴a－bi－3i＝a＋bi，即－b－3＝b，解得b＝－．故选B．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i．若(a＋bi)2＝2i，则a＝b＝－1或a＝b＝1．故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．故选A．
4．(2023年陇南一模)已知a，b∈R，a＋i与3＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)
A．10－6i B．10＋6i
C．8－6i D．8＋6i
【答案】C
【解析】a＋i与3＋bi互为共轭复数，则a＝3，b＝－1，故(a＋bi)2＝(3－i)2＝8－6i．故选C．
5．(2023年安徽三模)已知复数z满足iz＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵iz＝＝＝＋i，∴－i2z＝1－i，即z＝1－i．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，所在的象限为第四象限．故选D．
6．已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】A
【解析】∵复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得m＜－1．∴实数m的取值范围是(－∞，－1)．故选A．
7．z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A．2－i B．2＋i
C．－2－i D．－2＋i
【答案】C
【解析】∵z＝＝＝＝－2＋i，∴＝－2－i．故选C．
8．复数＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－i D．＋i
【答案】C
【解析】因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以由周期性可知＝＝＝＝－i．故选C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为(　　)
A．(－2，0) B．(3，1)
C．(0，4) D．(－1，－5)
【答案】BCD
【解析】易知选项A，B，C，D中的点对应的复数分别为－2，3＋i，4i，－1－5i，因此B，C，D中的点对应的复数为虚数．
10．已知复数z＝2＋i，则下列命题中正确的有(　　)
A．|z|＝ B．＝2－i
C．z的虚部为i D．在复平面上的对应点在第二象限
【答案】AB
【解析】复数z＝2＋i，则|z|＝，故A正确；＝2－i，故B正确；z的虚部为1，故C错误；在复平面上对应点的坐标为(2，－1)，在第四象限，故D错误．故选AB．
11．(2023年杞县期中)下列关于复数z＝的四个命题，其中为真命题的有(　　)
A．|z|＝ B．z2＝2i
C．z的共轭复数为－1＋i D．z是关于x的方程x2－2x＋2＝0的一个根
【答案】ABD
【解析】因为z＝＝＝1＋i，所以|z|＝，故A正确；因为z2＝(1＋i)2＝2i，故B正确；因为z的共轭复数为1－i，故C错误；因为方程x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＝0，所以方程x2－2x＋2＝0的根为1±i，故D正确．故选ABD．
12．(2023年青岛模拟)已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2＜b＜2，b∈R)的两根，则下列说法中正确的有(　　)
A．＝z2 B．∈R
C．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，则z＝z＝1
【答案】ACD
【解析】Δ＝b2－4＜0，∴x＝，不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i，∴＝z2，故A正确；|z1|＝|z2|＝＝1，故C正确；z1z2＝1，∴＝＝z＝－i，当b≠0时， R，故B错误；b＝1时，z1＝－＋i，z2＝－－i，∴z＝－－i＝z2＝，z＝z1＝，z＝z1z2＝1，同理z＝1，故D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z＝，i为虚数单位，则z的共轭复数＝__________．
【答案】－i
【解析】(方法一)z＝＝＝i，所以z的共轭复数为－i．
(方法二)z＝＝＝＝i，所以z的共轭复数为－i．
14．(2023年天津二模)已知i是虚数单位，若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为__________．
【答案】
【解析】(3－4i)z＝|4＋3i|＝＝5，则z＝＝＝＋i，其虚部为．
15．(2023年武汉月考)在复平面内，把与复数3－i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为________(用代数形式表示)．
【答案】－2i
【解析】复数3－i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为(3－i)·＝(3－i)＝－2i．
16．设z的共轭复数是 ，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝__________，＝__________．
【答案】2　±i
【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则 ＝x－yi．由z＋＝4，z·＝8，得得解得∴|z|＝2．∴＝＝＝±i．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(2023年广州天河区期中)已知复数z＝(1＋ai)(1＋i)＋2＋4i(a∈R)．
(1)若z在复平面中所对应的点在直线x－y＝0上，求a的值；
(2)求|z＋2|的取值范围．
解：(1)z＝(1＋ai)(1＋i)＋2＋4i＝(3－a)＋(a＋5)i，
所以z在复平面中所对应的点的坐标为(3－a，a＋5)．
因为z在复平面中所对应的点在直线x－y＝0上，所以3－a－(a＋5)＝0，解得a＝－1．
(2)|z＋2|＝|(5－a)＋(a＋5)i|＝＝≥5，故|z＋2|的取值范围是[5，＋∞)．
18．(12分)(2023年温州期中)已知复数z＝(1－i)2＋，其中i为虚数单位．
(1)求z及|z|；
(2)若z2＋a＋b＝6＋7i，求实数a，b的值．
解：(1)∵复数z＝(1－i)2＋＝－2i＋＝3＋i，∴|z|＝＝．
(2)∵z2＋a＋b＝6＋7i，即8＋6i＋a(3－i)＋b＝6＋7i，∴解得
19．(12分)实数m取什么数值时，复数z＝＋(m2－1)i分别是下列数？
(1)实数；(2)纯虚数．
解：(1)由m2－1＝0且m＋1≠0，得m＝1，∴当m＝1时，z是实数．
(2)由解得m＝－2．∴当m＝－2时，z是纯虚数．
20．(12分)已知复数z满足(z－2)(1＋i)＝1－i．
(1)求复数z；(2)求|(3＋i)z|．
解：(1)由(z－2)(1＋i)＝1－i，得z＝＋2＝＋2＝2－i．
(2)由z＝2－i，得|(3＋i)z|＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝＝5．
21．(12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i．
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：(1)∵(1＋2i)＝4＋3i，∴＝＝＝＝2－i．∴z＝2＋i．
(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i．
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，∴解得－1＜a＜1．
∴实数a的取值范围为(－1，1)．
22．(12分)(2023年合肥月考)已知θ为三角形的一个内角，复数z＝cos θ＋isin θ，且满足|z＋1|＝1．
(1)求1＋z＋z2；
(2)设z，－2，1＋z＋z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)∵z＋1＝(cos θ＋1)＋isin θ，且|z＋1|＝1，∴(cos θ＋1)2＋sin2θ＝2＋2cosθ＝1．
∴cos θ＝－，且θ∈(0，π)．∴sin θ＝，z＝－＋i，z2＝－－i＝－－i．
∴1＋z＋z2＝1－＋i－－i＝0．
(2)z＝－＋i，－2＝－2＝1＋i，1＋z＋z2＝0，
在复平面上对应的点分别为A，B(1，)，C(0，0)，∴CA＝1，CB＝2，AB＝．
∴CA2＋AB2＝CB2，即△ABC为直角三角形且∠A＝．∴S△ABC＝·AB·CA＝．