新人教A版必修第二册2024春高中数学第六章 平面向量及其应用 章末检测（含解析）

第六章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知＝(3，0)，那么||等于(　　)
A．2 B．3
C．(1，2) D．5
2．若＝(－1，2)，＝(1，－1)，则＝(　　)
A．(－2，3) B．(0，1)
C．(－1，2) D．(2，－3)
3．(2023年信阳模拟)在△ABC中，＝，则＝(　　)
A．－ B．＋
C．2＋2 D．2－
4．(2023年绍兴二模)已知非零向量a，b满足|a|＝1，〈a，b〉＝，|a－2b|＝1，则|b|＝(　　)
A． B．1
C． D．2
5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，则sin (B＋C)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
6．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，若|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围为(　　)
A． B．
C．[2，3] D．[1，3]
7．(2023年邯郸二模)向量m，n满足m·n＝5，且m＝(－1，3)，则n在m上的投影向量为(　　)
A． B．
C． D．
8．(2023年重庆模拟)如图，边长为2的正三角形ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则·的取值范围为(　　)
A．[2，2] B．[2，4]
C．[2，5] D．[4，3]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件
D．在△ABC中，＝
10．(2023年扬州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的有(　　)
A．若tan A＋tan B＋tan C＜0，则△ABC为钝角三角形
B．A＝，a＝，b＝4，则此三角形有两解
C．若＝，则△ABC为等腰直角三角形
D．若a＞b，则cos A＜cos B
11．(2023年承德期中)已知非零向量a，b满足|a－4b|＝2，则下列结论正确的有(　　)
A．若a，b共线，则|a|＋4|b|＝2 B．若a⊥b，则a2＋16b2＝4
C．若a2＋16b2＝6，则|a＋4b|＝4 D．a·b≥－
12．已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则下列结论正确的有(　　)
A．e1，e2的夹角是 B．e1，e2的夹角是或
C．|e1＋e2|＝1或 D．|e1＋e2|＝1或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2023年河南模拟)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则k＝__________．
14．(2023年宝鸡三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c＝4，且满足cos C＝sin C，2sin ＝c－2cos A，则边a等于__________．
15．如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西－α方向，且cos α＝，则B，C之间的距离是__________千米．
16．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则λ＝__________，AD的长为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥．
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
18．(12分)(2023年安徽期中)已知向量a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，在①(ta＋b)⊥(a＋tb)；②|ta＋b|＝|a＋tb|这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：
(1)若__________，求实数t的值；
(2)若向量c＝(x，y)，且c＝－ya＋(1－x)b，求|c|．
19．(12分)(2023年呼和浩特模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC外接圆的半径为1，且b sin B＋c sin C＝sin A．
(1)求角A；
(2)若AC＝，AD是△ABC的内角平分线，求AD的长度．
20．(12分)如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
21．(12分)(2023年永州三模)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且c·cos A＋c·sin A＝a＋b．
(1)求C的值；
(2)若AB边上的点M满足＝2，c＝3，CM＝，求△ABC的周长．
22．(12分)已知函数f(x)＝sin x cos x－cos 2x－．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，D为边AB上一点，CD＝2，B为锐角，且f(B)＝0，求∠BDC的正弦值．
第六章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知＝(3，0)，那么||等于(　　)
A．2 B．3
C．(1，2) D．5
【答案】B
【解析】∵＝(3，0)，∴||＝＝3．故选B．
2．若＝(－1，2)，＝(1，－1)，则＝(　　)
A．(－2，3) B．(0，1)
C．(－1，2) D．(2，－3)
【答案】D
【解析】＝(－1，2)，＝(1，－1)，所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．
3．(2023年信阳模拟)在△ABC中，＝，则＝(　　)
A．－ B．＋
C．2＋2 D．2－
【答案】B
【解析】如图，在△ABC中，∵＝，∴D为BC的中点．由向量加法的平行四边形法则可得＝＋．故选B．
4．(2023年绍兴二模)已知非零向量a，b满足|a|＝1，〈a，b〉＝，|a－2b|＝1，则|b|＝(　　)
A． B．1
C． D．2
【答案】A
【解析】∵|a|＝1，〈a，b〉＝，|a－2b|＝1，∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－2|b|＋4|b|2＝1，且|b|≠0，解得|b|＝．故选A．
5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，则sin (B＋C)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，则sin (B＋C)＝sin A＝．
6．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，若|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围为(　　)
A． B．
C．[2，3] D．[1，3]
【答案】D
【解析】∵已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，|c－a－b|＝1＝|c－(a＋b)|≥|c|－|a＋b|，∴|c|≤1＋|a＋b|．又|a＋b|＝＝＝＝2，∴|c|≤3．再根据|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥|a＋b|－|c|，可得|c|≥|a＋b|－1＝2－1＝1，故有1≤|c|≤3．故选D．
7．(2023年邯郸二模)向量m，n满足m·n＝5，且m＝(－1，3)，则n在m上的投影向量为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为m＝(－1，3)，所以|m|＝．又因为m·n＝5，所以n在m上的投影向量为·＝·＝(－1，3)＝．故选C．
8．(2023年重庆模拟)如图，边长为2的正三角形ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则·的取值范围为(　　)
A．[2，2] B．[2，4]
C．[2，5] D．[4，3]
【答案】C
【解析】如图，当点P在点C处时，·最小，此时·＝|AB|·|AE|＝||·||cos ＝2×2×＝2．过圆心O作OP∥AB交圆弧于点P，连接AP，此时·最大，过点O作OG⊥AB于点G，PF⊥AB的延长线于点F，则·＝|AB||AF|＝|AB|(|AG|＋|GF|)＝2×＝5，所以·的取值范围为[2，5]．故选C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件
D．在△ABC中，＝
【答案】ACD
【解析】对于A，由正弦定理，＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝sin A∶sin B∶sin C，故正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sin A＞sin B a＞b A＞B，因此A＞B是sin A＞sin B的充要条件，正确；对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故正确．故选ACD．
10．(2023年扬州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的有(　　)
A．若tan A＋tan B＋tan C＜0，则△ABC为钝角三角形
B．A＝，a＝，b＝4，则此三角形有两解
C．若＝，则△ABC为等腰直角三角形
D．若a＞b，则cos A＜cos B
【答案】ABD
【解析】对于A，∵tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)，∴tan A＋tan B＝－tan C(1－tan A tan B)，∴tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，∵tan A＋tan B＋tan C＜0，∴tan A tan B tan C＜0，∴tan A，tan B，tan C只有一个小于0，∴△ABC是钝角三角形，故A正确；对于B，∵A＝，a＝，b＝4，∴b sin A＝2＜a＝＜b＝4，∴此三角形有两解正确，故B正确；对于C，∵＝，∴a cos A＝b cos B，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，a＞b A＞B cos A＜cos B，故D正确．故选ABD．
11．(2023年承德期中)已知非零向量a，b满足|a－4b|＝2，则下列结论正确的有(　　)
A．若a，b共线，则|a|＋4|b|＝2 B．若a⊥b，则a2＋16b2＝4
C．若a2＋16b2＝6，则|a＋4b|＝4 D．a·b≥－
【答案】BD
【解析】对于A，由4＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2，4＝(|a|＋4|b|)2＝|a|2＋8|a|·|b|＋16|b|2，所以当a，b同向时，－8a·b＝－8|a|·|b|，此时|a|＋4|b|≠2，故A错误；对于B，若a⊥b，则a·b＝0，由|a－4b|＝2，两边平方得a2－8a·b＋16b2＝a2＋16b2＝4，故B正确；对于C，由|a－4b|2＋|a＋4b|2＝2(a2＋16a2)＝12，则|a＋4b|2＝8，即|a＋4b|＝2，故C错误；对于D，由4＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2≥8|a|·|b|－8a·b≥－16a·b，得a·b≥－，故D正确．故选BD．
12．已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则下列结论正确的有(　　)
A．e1，e2的夹角是 B．e1，e2的夹角是或
C．|e1＋e2|＝1或 D．|e1＋e2|＝1或
【答案】BC
【解析】∵e1，e2是两个单位向量，且|e1＋λe2|的最小值为，∴(e1＋λe2)2的最小值为．设e1，e2的夹角为θ，(e1＋λe2)2＝λ2＋2λcos θ＋1＝(λ＋cos θ)2＋1－cos2θ，∴1－cos2θ＝，则e1与e2的夹角为或．∴|e1＋e2|2＝1或3，则|e1＋e2|＝1或．故选BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2023年河南模拟)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则k＝__________．
【答案】－9
【解析】因为a∥b，所以 λ∈R，使得b＝λa成立，即ke1＋6e2＝3λe1－2λe2．因为e1，e2不共线，所以?k＝3λ，
6＝－2λ，?解得
14．(2023年宝鸡三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c＝4，且满足cos C＝sin C，2sin ＝c－2cos A，则边a等于__________．
【答案】2
【解析】∵cos C＝sin C，C∈(0，π)，即cos C≠0，∴tan C＝1，解得C＝．∵2sin ＝c－2cos A，即2sin (B＋C)＝2sin A＝c－2cos A．∵c＝4，∴2sin A＋2cos A＝4，即sin ＝1．∵A∈，∴A＋∈，∴A＋＝，解得A＝．在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝，解得a＝2．
15．如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西－α方向，且cos α＝，则B，C之间的距离是__________千米．
【答案】12
【解析】依题意，AC＝2，sin ∠BAC＝sin ＝cos α＝，sin B＝sin ＝cos 2α＝2cos2α－1＝．在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝＝12，则B与C之间的距离是12千米．
16．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则λ＝__________，AD的长为__________．
【答案】　3
【解析】∵B，D，C三点共线，∴＋λ＝1，解得λ＝．如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝．∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，∴四边形AMDN是菱形．
∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，∴AD＝3．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥．
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
解：因为＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3，3＋m＋n)．
(1)因为∥，所以＝λ，即解得n＝－3．
(2)因为＝＋＝(2，3＋m)，＝＋＝(4，m－3)，
又因为⊥，所以·＝0，即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1．
18．(12分)(2023年安徽期中)已知向量a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，在①(ta＋b)⊥(a＋tb)；②|ta＋b|＝|a＋tb|这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：
(1)若__________，求实数t的值；
(2)若向量c＝(x，y)，且c＝－ya＋(1－x)b，求|c|．
解：(1)若选择条件①，由ta＋b＝(－t，1－t)，a＋tb＝(－1，t－1)，且(ta＋b)⊥(a＋tb)，
得(ta＋b)·(a＋tb)＝t－(t－1)2＝0，解得t＝．
若选择条件②，由ta＋b＝(－t，1－t)，a＋tb＝(－1，t－1)，且|ta＋b|＝|a＋tb|，
得t2＋(1－t)2＝1＋(t－1)2，解得t＝±1．
(2)c＝－ya＋(1－x)b＝(y，y)＋(0，1－x)＝(y，1－x＋y)，且c＝(x，y)，
∴解得∴c＝(1，1)，∴|c|＝．
19．(12分)(2023年呼和浩特模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC外接圆的半径为1，且b sin B＋c sin C＝sin A．
(1)求角A；
(2)若AC＝，AD是△ABC的内角平分线，求AD的长度．
解：(1)b sin B＋c sin C＝sin A，则b2＋c2＝a，即b2＋c2－a2＝ab sin C，则由余弦定理可得2bc cos A＝ab sin C，所以sin C cos A＝sin A sin C．
因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＝sin A，即tan A＝．
又因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)由正弦定理可得＝＝2，解得a＝，sin B＝，b＜a，故B为锐角，B＝．
在△ABC中，C＝π－－＝．由于AD是△ABC的内角平分线，故∠CAD＝，∠ADC＝π－－＝，故AD＝AC＝．
20．(12分)如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
(1)解：延长AD到点G，使＝，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以＝a＋b，＝＝a＋b，＝＝a＋b，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝b－a，＝－＝b－a．
(2)证明：由(1)可知＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．
21．(12分)(2023年永州三模)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且c·cos A＋c·sin A＝a＋b．
(1)求C的值；
(2)若AB边上的点M满足＝2，c＝3，CM＝，求△ABC的周长．
解：(1)由正弦定理，得sin C cos A＋sin C sin A＝sin A＋sin B．在△ABC中，B＝π－(A＋C)，故sin C cos A＋sin C sin A＝sin A＋sin (A＋C)，
即sin C cos A＋sin C sin A＝sin A＋sin A cos C＋cos A sin C．
因为A∈(0，π)，sin A≠0，所以sin C－cos C＝1，即sin ＝．而C∈(0，π)，
故C－∈，所以C－＝，所以C＝．
(2)因为＝2，c＝3，所以BM＝2，AM＝1．
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，则9＝a2＋b2－ab．①
因为CM＝，由于＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
故2＝2＋2＋·，则63＝a2＋4b2＋2ab．②
①×7＝②，即7a2＋7b2－7ab＝a2＋4b2＋2ab，即2a2－3ab＋b2＝0，
亦即(2a－b)(a－b)＝0，则a＝b或a＝．
当a＝b时，代入①得a＝3，b＝3，周长L＝a＋b＋c＝9；
当a＝时，代入①得a＝，b＝2，周长L＝a＋b＋c＝3＋3．
22．(12分)已知函数f(x)＝sin x cos x－cos 2x－．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，D为边AB上一点，CD＝2，B为锐角，且f(B)＝0，求∠BDC的正弦值．
解：(1)f(x)＝sin x cos x－cos 2x－＝sin 2x－cos 2x－＝sin －，要求函数f(x)的单调递减区间，
令2x－∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由于f(B)＝0，即sin －＝0，解得B＝或B＝(舍去)．
由B＝，在△BCD中，＝，
所以sin ∠BDC＝×＝．