(共30张PPT)
第七章 复 数
章末素养提升
| 体 系 构 建 |
| 核 心 归 纳 |
1．复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)中，应用复数相等的条件，必须先化成代数形式．
2．复数分类条件，其前提必须是代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．
3．复数运算的法则，不要死记硬背，加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2．
5．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量．
6．不全为实数的两个复数不能比较大小．
| 思 想 方 法 |
(一)数形结合思想
【思想方法解读】数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们的这种意义架起了联系复数与解析几何、平面几何的桥梁，使得复数问题和几何问题得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算、点的轨迹及模的最值问题等．
已知|z|＝1．
(1)求|z－(2＋2i)|的最值；
(2)求|z－i|·|z＋1|的最大值．
解：(1)|z－(2＋2i)|表示复平面内单位圆上的点到点(2，2)的距离，由图1可知：
1．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b．
(1)求实数a，b的值；
解：(1)将b代入题设方程，得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3．
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则(x－3)2＋(y－3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8．
(二)分类讨论思想
【思想方法解读】分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学思想，在高考中占有十分重要的地位．该思想在本章的很多知识中都有体现，常见的有：对复数分类的讨论、复数对应点的轨迹的讨论、一元二次方程根的讨论等．
当实数k分别为何值时，复数z＝k2－k－6＋(k2－3k－10)i是下列数？
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)零．
解：(1)z为实数的充要条件是z的虚部为0，
即k2－3k－10＝0，解得k＝－2或k＝5，
所以当k＝－2或k＝5时，z为实数．
2．当实数m取何值时，复数z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别满足下列条件？
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数；
(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
(三)转化思想
【思想方法解读】复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．
A．－15 B．－3
C．3 D．15
【答案】B
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2．
∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．
【答案】8
| 链 接 高 考 |
(2023年新高考Ⅱ)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，则在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点的坐标为(6，8)，位于第一象限．故选A．
【点评】本题利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
复数的几何意义
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【点评】本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，是基础题．
A．－i B．I C．0 D．1
【答案】A
复数的运算
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
(2023年甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】C
【点评】本题考查了复数的运算法则和复数相等的应用问题，是基础题．
(2023年乙卷)|2＋i2＋2i3|＝ ( )
复数的模
【答案】C
【点评】本题考查了复数的运算以及复数的模，属于基础题．
(2023年上海)已知复数z＝1－i(i为虚数单位)，则|1＋iz|＝__________．
【点评】本题考查复数的基本运算以及复数的模，属于基础题．
(2019年江苏)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__________．
【答案】2
【解析】∵(a＋2i)(1＋i)＝(a－2)＋(a＋2)i的实部为0，∴a－2＝0，即a＝2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
复数的概念
【答案】D
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．(共37张PPT)
第七章 复 数
7.3* 复数的三角表示
学习目标 素养要求
1．了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系 数学抽象
2．了解复数三角形式的乘、除运算及其几何意义 数学抽象、数学运算、直观想象
| 自 学 导 引 |
复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
模
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数的辐角是唯一的． ( )
(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式． ( )
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式． ( )
(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝_______________ ________________；
r1r2[cos (θ1＋θ2)
＋isin(θ1＋θ2)]
即两个复数相乘，积的模等于________________，积的辐角等于各复数的辐角的______．
两个复数相除，商的模等于__________的模除以________的模所得的商，商的辐角等于_________的辐角减去________的辐角所得的差．
各复数的模的积
和
被除数
除数
被除数
除数
【预习自测】
复数z＝1＋i的三角形式为z＝__________________．
| 课 堂 互 动 |
题型1 复数的代数形式与三角形式的互化
方向1 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式：
复数的代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限，求出辐角．
(3)求出复数的三角形式．
提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式的辐角不一定取主值．
方向2 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．
题型2 复数三角形式的乘、除运算
计算：
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)除法法则：模相除，辐角相减．
(3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
题型3 复数三角形式的乘、除运算的几何意义
| 素 养 达 成 |
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值．(体现数学运算核心素养)
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π．
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算．(体现数学运算核心素养)
【答案】A
【答案】B
3．(题型2)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝________．
【答案】i
【解析】原式＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)＝cos 90°＋isin 90°＝i．(共32张PPT)
第七章 复 数
7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算
学习目标 素养要求
1．掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算 数学运算
2．理解复数乘法的运算律 逻辑推理
| 自 学 导 引 |
复数代数形式的乘法法则
1．复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
交换律 z1z2＝________
结合律 (z1z2)z3＝___________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
【预习自测】
|z|2＝z2，正确吗？
【提示】不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．
复数代数形式的除法法则
【答案】1＋i
| 课 堂 互 动 |
题型1 复数代数形式的乘除运算
(2023年乳山月考)计算：
(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；
复数代数形式乘除运算的策略
(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致．在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
题型2 共轭复数的应用
【答案】A
解：(方法一)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i．
又因为(1－2i)z是实数，
所以b－2a＝0，即b＝2a．
所以a2＋b2＝5，
提醒：注意共轭复数在复平面内对应点的对称关系．
题型3 复数范围内方程的解
已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否为方程的根．
解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0．
(2)对方程x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得左边＝x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，所以方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
解决复数方程问题的方法
与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．
3．(多选)(2023年苏州期中)若关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一个根是1－2i，则下列说法中正确的有 ( )
A．a＝－2
B．b＝－5
C．a＋bi的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限
【答案】AD
易错警示 对复数的运算不熟练致误
A．1 B．－1
C．i D．－i
易错防范：计算出现错误，将i2＝1代入了计算．
| 素 养 达 成 |
1．复数代数形式的乘除运算．
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得结果，类似于以前学习的分母有理化．(体现数学运算核心素养)
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
1．(题型1)设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．－i B．i
C．－1 D．1
【答案】A
【答案】A
【答案】5
5．(题型3)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值．(共34张PPT)
第七章 复 数
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
学习目标 素养要求
1．掌握复数代数形式的加法、减法运算法则 数学运算
2．了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义 直观想象
| 自 学 导 引 |
复数代数形式的加减法
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝________________；
(2)z1－z2＝________________．
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝_________；
(2)(z1＋z2)＋z3＝______________．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
【预习自测】
类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
【提示】两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i．
复数加减法的几何意义
z1＋z2
z1－z2
【预习自测】
类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
【提示】|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是z，z0在复平面内的对应点Z，Z0的距离．
| 课 堂 互 动 |
题型1 复数加减法的运算
(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝__________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝__________．
复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
1．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．
题型2 复数加减运算的几何意义
(2)如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求：
题型3 复数的模的最值问题
(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是 ( )
【答案】A
【解析】如图，设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值．因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1．
复数模的最值问题解法
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示z的对应点在以z0对应的点为圆心，r为半径的圆上．
(3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
3．(1)若本例题(2)条件改为“若复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．
(2)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
(2)因为|z|＝1且z∈C，作图如图所示，
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离．
易错警示 对复数的模理解不透致误
错解：因为x(1＋i)＝1＋yi，所以x＋xi＝1＋yi，x＝1，y＝x＝1，|x＋yi|＝1＋1＝2．故选D．
易错防范：不理解复数的模的公式．
| 素 养 达 成 |
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．(体现数学运算核心素养)
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．(体现直观想象核心素养)
1．(题型1)a，b都是实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为 ( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
【答案】D
【解析】∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0．∴a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i．
2．(题型2)若复数z1与z2＝－3－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝ ( )
A．－3i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
【答案】B
【解析】∵复数z1与z2＝－3－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝－3－i(i为虚数单位)的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝－3＋i．故选B．
3．(题型3)若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
4．(题型3)若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为__________．
【答案】9π
【解析】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，3为半径的圆，故其面积为S＝9π．(共37张PPT)
第七章 复 数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
学习目标 素养要求
1．了解复平面的概念 数学抽象
2．理解复数的几何意义 直观想象
3．掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算
4．掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数 数学运算
| 自 学 导 引 |
复平面
【答案】实 虚
【预习自测】
有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
【提示】不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
复数的几何意义
【答案】一一对应 一一对应 Z(a，b)
【答案】B
复数的模
模
【预习自测】
已知复数z＝1＋2i，则|z|＝__________．
共轭复数
相反数
a－bi
| 课 堂 互 动 |
题型1 复数与复平面内的点的关系
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
1．(1)本例中条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
(2)本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
解：(1)点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，解得a＝5．
故a＝5时，点Z在x轴上．
题型2 复数的模及其应用
(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ ( )
【答案】B
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z．
复数模的两个关注点
(1)复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．
(2)转化思想：利用模的定义将复数模的问题转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化的思想．
2．(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是 ( )
A．z1＞z2 B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
【答案】D
(2)已知复数z＝3＋ai(a∈R)，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
题型3 复数与复平面内向量的关系
在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C，求□ABCD的顶点D所对应的复数．
复数与向量的对应和转化
转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．
解决复数问题的主要思想方法：
①(转化思想)复数问题实数化；
②(数形结合思想)利用复数的几何意义数形结合解决；
③(整体化思想)利用复数的特征整体处理．
A．－1＋i B．1－i
C．5－5i D．5＋5i
【答案】C
易错警示 对复数的几何意义理解不深刻致误
已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
易错防范：没有理解复数的几何意义，不知道如何将复数与复平面内的点对应．
| 素 养 达 成 |
1．复数的几何意义．
这种对应关系架起了复数与平面直角坐标系之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．
1．(题型1)复数z＝－2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】z＝－2＋i对应点Z(－2，1)，位于第二象限．
2．(题型1)已知z＝(m－3)＋(m＋1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
【答案】B
【答案】C
4．(题型2)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是__________．
5．(题型1，3)在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．(共34张PPT)
第七章 复 数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
学习目标 素养要求
1．通过方程的解，认识复数，理解复数的代数表示 数学抽象
2．理解复数的分类，掌握复数相等的充要条件 数学抽象、数学运算
| 自 学 导 引 |
复数的概念
1．复数
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做______ ______．a叫做复数的________，b叫做复数的________．
(2)表示方法：复数通常用字母______表示，即__________(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
2．复数集
(1)定义：____________所成的集合叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母______表示，即____________________．
虚数
单位
实部
虚部
z
z＝a＋bi
全体复数
C
C＝{a＋bi|a，b∈R}
【预习自测】
为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数．那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
【提示】引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是____________．
a＝c且b＝d
【预习自测】
如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值分别为 ( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
【答案】A
复数的分类
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． ( )
(2)复数z＝bi是纯虚数． ( )
(3)若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
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题型1 复数的概念
(1)(多选)下列说法中，错误的有 ( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数
(2)给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】(1)ABD (2)C
【解析】(1)A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n；C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数；D错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．
(2)复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故③正确．所以有2个错误．
判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系．
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同．
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．
1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0．而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．
题型2 复数的分类
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面．当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化为代数形式．
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0，b≠0；④z＝0 a＝0且b＝0．
2．当实数k分别取何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)是下列数？
(1)实数； (2)虚数；
(3)纯虚数； (4)零．
解：依题意，得z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i．
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1．
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1．
题型3 复数相等的充要条件
(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于__________．
【答案】－3
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
3．已知i是虚数单位，若(3＋5i)x＋(2－i)y＝17－2i，x，y∈R，则x＋y＝ ( )
A．6 B．7
C．8 D．－7
【答案】C
易错警示 复数相等的条件应用致误
已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x＋1)＋i＝y＋(y－1)i，求x与y的值．
易错防范：误把等式两边看成复数的代数形式．
| 素 养 达 成 |
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同类别．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实部、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．(体现数学运算核心素养)
1．(题型2)复数(1＋i)a是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于 ( )
A．－1 B．1
C．0 D．2
【答案】C
【解析】∵复数(1＋i)a＝a＋ai是实数，∴a＝0．故选C．
2．(题型1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0．其中正确命题的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】①错误，例如z＝i，则z2＝－1；②错误，因为2i－1的虚部是2；③正确，因为2i＝0＋2i．
3．(题型3)已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为_______．
4．(题型2)若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为__________．
【答案】3
5．(题型2)当实数m分别取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)实数； (2)虚数；
(3)纯虚数； (4)0．
解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3；
由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3．
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
∴m＝5或m＝－3．
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3．
