(共44张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
学习目标 素养要求
1．理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角 数学运算
2．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，并会计算平面向量的数量积 数学运算
3．了解平面向量的投影的概念及投影向量的意义 数学抽象
4．掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 数学运算、逻辑推理
| 自 学 导 引 |
平面向量的数量积的相关概念
1．向量的夹角
(0≤θ≤π)
夹角
2．两向量的垂直
如果a与b的夹角为______，我们说a与b_______，记作a⊥b．
3．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
垂直
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
投影
投影向量
投影向量
【预习自测】
已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝____________，a在b上的投影向量的模为____________．
向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？
【提示】数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．
向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝__________．
(2)a⊥b __________．
|a|cos θ
a·b＝0
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角． ( )
(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． ( )
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直． ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√
【解析】(1)当a与b的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|＜0，但180°不是钝角．
(2)若|a·b|＝|a||b|，则|cos θ|＝1，cos θ＝±1，θ＝180°或θ＝0°，则a∥b．
(3)由a⊥b a·b＝0知其正确性．
向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
【答案】(1)√ (2)√
【解析】(1)由数量积的结合律可知其正确性．
(2)由数量积的分配律可知其正确性．
a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
【提示】(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
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题型1 平面向量数量积的计算
(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量－a上的投影向量的模为 ( )
A．0 B．1
【答案】B
(2)已知|a|＝4，|b|＝5，当①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
解：①当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5×1＝20．若a与b反向，则θ＝180°，
所以a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20．
②当a⊥b时，θ＝90°，a·b＝|a||b|cos 90°＝0．
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．
(2)分别求|a|和|b|．
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略．
求向量的模的常见思路及方法
(2)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
【答案】C
【答案】B
求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤：
(2)注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
【答案】(1)B (2)－8或5
错解：设向量a＋λb与λa＋b的夹角为θ．
∵两向量的夹角为锐角，
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1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而a·(b·c)＝a·|b|·|c|cos〈b，c〉是一个与a共线的向量，两者一般不相等．
【答案】D
【答案】C
5．(题型1，2)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：
(1)c·d；
(2)|c＋2d|．(共34张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
学习目标 素养要求
1．掌握向量的数乘运算，理解向量数乘的几何意义，掌握向量数乘的运算律 数学抽象、数学运算
2．理解两向量共线的含义，会判断或证明两个向量共线 逻辑推理
3．了解向量线性运算性质及其几何意义 数学抽象
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向量的数乘运算
1．定义：规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________．
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．
向量
相同
相反
2．运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
3．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
【预习自测】
我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？
【提示】能．
共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa． ( )
(2)若b＝λa，则a与b共线． ( )
(3)若λa＝0，则a＝0． ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)×
【解析】(1)当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．
(2)由共线向量定理可知其正确．
(3)若λa＝0，则a＝0或λ＝0．
定理中把“a≠0”去掉可以吗？
【提示】定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．
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向量线性运算的基本方法
(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
2．设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝__________．
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法：
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
【答案】D
错解：如图，连接BE并延长，交CD于点G，连接AG．
正解：如图，取AB的中点P，连接EP，FP．
在△ABC中，EP是中位线，
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1．(题型1)(多选)下列各式计算正确的有 ( )
A．(－7)·6a＝－42a B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a D．4(2a＋b)＝8a＋4b
【答案】ACD
【解析】B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b．A，C，D均正确．
【答案】C
3．(题型2)(2023年天水月考)设e1与e2是不共线的向量，若ke1＋4e2与e1＋ke2共线且方向相反，则k的值是_______．
【答案】－2
4．(题型1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝__________．
【答案】4b－3a
【解析】由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a．(共33张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
学习目标 素养要求
1．理解相反向量的概念 数学抽象
2．掌握向量减法的运算法则及理解向量减法的几何意义 数学抽象、直观想象
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相反向量
定义 与向量a长度________，方向________的向量，叫做a的相反向量
性质 对于相反向量有：－(－a)＝a，a＋(－a)＝0
若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0
零向量的相反向量仍是零向量
相等
相反
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量． ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√
【解析】(1)相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．
(3)根据相反向量的定义可知其正确．
向量的减法
1．定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)．减去一个向量就等于加上这个向量的___________．
2．几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量(如图)．
相反向量
【答案】C
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题型1 向量的减法运算
【答案】D
向量减法运算的常用方法
向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
提醒：做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
题型2 向量减法的几何意义
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点、指向被减向量的终点的向量．
题型3 向量加减运算几何意义的应用
方向1 利用已知向量表示未知向量
【答案】4
利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤
(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量．
(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、减法进行运算．
(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题．
易错警示 对向量减法的几何意义掌握不熟练致误
若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )
错解：A，C，D
正解：B
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2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
1．(题型1)若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是 ( )
A．a∥b B．|a|＝|b|
C．|a|≠|b| D．b＝－a
【答案】C
【解析】∵长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，∴选项C错误．
【答案】B
【答案】2
5．(题型2)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．(共35张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
学习目标 素养要求
1．掌握向量加法运算及运算规则，理解向量加法的几何意义 数学抽象
2．掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题 直观想象
3．掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算 数学抽象、数学运算
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向量的加法
1．定义：求两个向量____________叫做向量的加法．
2．运算法则
和的运算
3．规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a．
4．向量的三角形不等式：
对任意两个向量a，b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|．
当a，b同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；
当a，b反向时有|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
【预习自测】
三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？
【提示】三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
向量加法的运算律
1．交换律：a＋b＝b＋a．
2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【预习自测】
已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】D
【解析】由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a＋b＋c相等．
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题型1 向量的加法法则
A．矩形 B．正方形
C．平行四边形 D．菱形
(2)如图1，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图2中提供的向量行走，则这些向量的排列顺序为____________．
【答案】(1)C (2)a，e，d，c，b
作向量和时法则的选取策略
(1)三角形法则可推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
提醒：利用平行四边形法则时，要注意两向量必须在同一起点，否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量，然后作平行四边形．
题型3 向量加法的实际应用
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计)．
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
3．如图，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和．
易错警示 对不等式|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立条件理解不清致误
若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则 ( )
A．a，b同向共线
B．a，b反向共线
C．a，b同向共线且|b|＞|a|
D．a，b反向共线且|b|＞|a|
错解：B
易错防范：错解只考虑了向量的方向，但没有注意到其模的大小关系． 弄清a＋b的方向以及模与向量a，b的方向、模之间的关系：(1)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|．(2)当a与b反向共线时，若|a|＞|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|＜|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|，则a＋b＝0．
正解：由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|＞|a|．故选D．
| 素 养 达 成 |
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相连”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不能写成0．(体现直观想象核心素养)
【答案】B
【答案】B
【答案】ABC
【解析】A，B，C项满足运算律及运算法则，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等．
5．(题型3)若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，求：
(1)|a＋b|；
(2)指出向量a＋b的方向．(共40张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
学习目标 素养要求
1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念 数学抽象
2．理解平面向量的几何表示和基本要素 数学抽象
3．理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 数学抽象、逻辑推理
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向量的定义及表示
1．定义：既有________，又有________的量叫做向量．
2．表示
(1)有向线段：具有________的线段．它包含三个要素：________、方向、长度．
大小
方向
方向
起点
(2)向量的表示：
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量就是有向线段． ( )
(3)力、速度和质量都是向量． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段．
(2)向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
(3)质量不是向量．
(1)向量可以比较大小吗？
(2)有向线段就是向量吗？
【提示】(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
向量的有关概念
1个单位长度
相同或相反
平行
相等
相同
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b都是单位向量，则a＝b． ( )
(2)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同． ( )
(3)零向量的大小为0，没有方向． ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)×
【解析】(1)a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同．
(2)若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，当起点相同时，终点必相同．
(3)任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．
| 课 堂 互 动 |
题型1 向量的有关概念
(1)下列各量中是向量的是 ( )
A．时间 B．加速度
C．面积 D．长度
(2)给出下列命题：
①零向量没有方向；
③若单位向量的起点相同，则终点相同．
其中真命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．0
【答案】(1)B (2)A
解决与向量概念有关问题的关键
(1)共线向量的方向相同或相反，长度没有限制．
(2)相等向量的方向相同且长度相等．
(3)单位向量方向没有限制，但长度都是一个单位长度．
(4)零向量的方向没有限制，长度是0，规定零向量与任一向量共线．
1．汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以 50 km/h的速度向南行驶2 h，则有下列说法：
①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．
其中正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】向量不能比较大小，速度、位移是向量．数量可以比较大小．所以只有③正确．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量长度相等的向量，再确定哪些是同向的向量．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．注意不要漏掉以表示已知向量的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：在与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
2．(多选)如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形．下列命题正确的有 ( )
【答案】ABC
题型3 向量的表示及应用
一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
解：(1)作出向量如图所示．
(2)∵D在A北偏东30°方向上，B在C南偏西30°方向上，∴AD∥BC．
又∵AD＝BC＝2，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝DC＝6．
∵C在D北偏东60°方向上，
∴B在A北偏东60°方向6千米处．
(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答．
(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点．
3．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
易错警示 忽略了零向量的特殊性致误
给出下列命题：
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点
必相同；
④若m，n都是单位向量，则m＝n．
其中不正确命题的序号是____________．
错解：④
易错防范：解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．
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1．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．(体现逻辑推理核心素养)
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
【答案】C
2．(题型2)下列命题中正确的是 ( )
A．若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b
B．若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|
【答案】B
【解析】两个向量相等需同向等长，反之也成立，而A，C中a，b可能反向，故A，C错误，B正确；D中两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．
【答案】B
【答案】①
【解析】
序号 正误 原因
① √
② × 0是一个向量，而0是一个数量
③ × 向量不能比较大小
④ × 单位向量的模均为1，但方向不确定
