(共54张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
学习目标 素养要求
1．理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义 直观想象
2．会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题 数学建模
3．掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 逻辑推理、数学运算
| 自 学 导 引 |
基线的概念与选择原则
1．定义
在测量上，根据测量的需要而确定的________叫做基线．
2．性质
在测量过程中，要根据实际需要选取合适的____________，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越______．
线段
基线长度
高
3．实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
名称 定义 图示
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
【预习自测】
李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
【提示】东南方向．
三角形的面积公式
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？
(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？
【提示】(1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．
(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．
| 课 堂 互 动 |
题型1 测量距离问题
海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
【答案】D
测量距离的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形
类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
方法 先测∠C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB
1．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________m．
【答案】60
题型2 测量高度问题
如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB为__________米．
【答案】200
测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，C的大小，AB＝a·tan C
类型 简图 计算方法
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及∠ACB与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
2．在200米高的山顶上测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为 ( )
【答案】A
测量角度问题的基本思想
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出实际问题的图形，并在图形中标有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
3．在一次抗洪抢险中，某救生艇的发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_________，大小为_________ km/h．
【解析】如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，
题型4 三角形的面积问题
易错警示 错用公式、解题方法不当致误
易错防范：如此复杂的算式，计算困难．其原因是公式不熟、方法不当．
| 素 养 达 成 |
1．正、余弦定理在实际测量中应用的一般步骤．
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况．(体现直观想象和数学建模核心素养)
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
1．(题型4)在△ABC中，a＝6，b＝4，C＝30°，则△ABC的面积是 ( )
A．6 B．12
【答案】A
2．(题型1)如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适宜选用的数据是 ( )
A．α，a，b
B．α，β，a
C．a，b，γ
D．α，β，b
【答案】C
3．(题型3)小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为 ( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α
【答案】C
【解析】如图，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α．故选C．
4．(题型2)如图，为测量河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是__________m．(共46张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
学习目标 素养要求
借助向量的运算，探索三角形边长和角度的关系，掌握正弦定理及其应用 逻辑推理
| 自 学 导 引 |
正弦定理
1．定理内容：设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则
__________________________________________．
2．正弦定理的常见变形
(1)sin A∶sin B∶sin C＝____________；
(3)a＝_________，b＝__________，c＝___________；
(4)sin A＝_______，sin B＝_______，sin C＝_______．
a∶b∶c
2R
2R sin A
2R sin B
2R sin C
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦定理只适用于锐角三角形． ( )
(2)在△ABC中，等式b sin A＝a sin B总能成立． ( )
(3)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B． ( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√
对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．现以已知a，b和A解三角形为例说明．
锐角 图形 关系式 解的个数
①a＝b sin A； ②a≥b ________
A
一解
A
锐角 图形 关系式 解的个数
b sin A＜a＜b ________
__________ 无解
两解
a＜b sin A
【预习自测】
在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形的解有多少个？
| 课 堂 互 动 |
题型1 正弦定理解三角形
方向1 已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
解：因为A＝45°，C＝30°，
所以B＝180°－(A＋C)＝105°．
利用正弦定理解三角形的策略
(1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤：①根据三角形内角和定理求出第三个角；②根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
(2)已知三角形两边及一边的对角，解三角形的步骤：①根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况；②先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三个角；③根据正弦定理求第三条边的长度．
题型2 三角形解的个数的判断
已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
判断三角形解的个数的方法
在△ABC中，以a，b，A为例．
(1)若a＝b sin A或a≥b，则三角形有一解．
(2)若b sin A＜a＜b，则三角形有两解．
(3)若a＜b sin A，则三角形无解．
【答案】C
题型3 利用正弦定理判断三角形形状
在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2．∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C，∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin (B－C)＝0．
又∵－90°＜B－C＜90°，
∴B－C＝0．∴B＝C．
∴△ABC是等腰直角三角形．
判断三角形形状的策略
(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．
3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理，得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶4∶5，所以可设a＝3k，b＝4k，c＝5k，由于(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
题型4 正、余弦定理的综合应用
方向1 利用正、余弦定理解三角形
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c．
方向2 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
在△ABC中，求证：a2sin 2B＋b2sin 2A＝2ab sin C．
证明：(方法一，化为角的关系式)
a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos A sin B)＝8R2sin A sin B sin C＝2·2R sin A·2R sin B·sin C＝2ab sin C．
∴原式得证．
用正、余弦定理求解知识交汇问题的策略
(1)正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换．
(2)注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．
易错警示 不熟悉三角函数相关结论致误
∵sin A＞0，sin B＞0，
∴sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B．
∴2A＝2B，即A＝B．故△ABC是等腰三角形．
易错防范：由sin 2A＝sin 2B，得2A＝2B．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的诱导公式，三角变换生疏．
正解：易得sin 2A＝sin 2B．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴2A＝2B或2A＝π－2B．
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
| 素 养 达 成 |
2．应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件．
(1)在△ABC中，a＋b＞c，|a－b|＜c；A＞B sin A＞sin B，A＞B cos A＜cos B；a＞b A＞B；sin A＋sin B＞sin C．
1．(题型3)在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【答案】C
3．(题型2)在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有 ( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
【答案】A
【解析】由b＜a和大边对大角可知三角形的解的个数为1．
4．(题型4)在△ABC中，∠C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于__________．(共32张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
学习目标 素养要求
1．借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系 逻辑推理
2．掌握余弦定理及几种变形公式的应用 数学运算
| 自 学 导 引 |
余弦定理
其他两边的平方的和
夹角的余弦的积
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C
【预习自测】
在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？
【提示】不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．
余弦定理及其变形的应用
1．解三角形
一般地，把三角形的__________________和它们的______________叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．
三个角A，B，C
对边a，b，c
其他元素
2．利用余弦定理的变形判定角
在△ABC中，c2＝a2＋b2 C为________；c2＞a2＋b2 C为_______；c2＜a2＋b2 C为_______．
3．应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题
(1)已知三边，求________．
(2)已知________和它们的________，求第三边和其他两个角．
直角
钝角
锐角
三角
两边
夹角
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． ( )
(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． ( )
(3)在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)×
【解析】(1)余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形．
(3)当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边且唯一，因此△ABC唯一确定．
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题型1 已知两边与一角解三角形
【答案】(1)60 (2)4或5
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝，c＝3＋，解此三角形．
已知三边解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角．
(2)若已知三角形的三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
2．在△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则C＝ ( )
A．60° B．45°
C．135° D．45°或135°
【答案】D
题型3 利用余弦定理判断三角形形状
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，试判断△ABC的形状．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件进行判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，再通过三角变换得出关系进行判断．
3．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断△ABC的形状．
易错警示 解题漏条件致误
在不等边三角形ABC中，a为最大边，如果a2＜b2＋c2，求A的取值范围．
易错防范：错因是审题不细，解题漏条件．题设是a为最大边，而错解中只把a看作是三角形的普通一条边，造成解题错误．
| 素 养 达 成 |
1．余弦定理的特点．
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
2．要掌握的解题方法．
(1)已知三角形的两边与一角解三角形．
(2)已知三边解三角形．
(3)利用余弦定理判断三角形的形状．
利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．(体现数学运算核心素养)
【答案】D
【答案】C
3．(题型2)已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为 ( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
【答案】C
5．(题型3)在△ABC中，若b＝c cos A，试判断其形状．(共34张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
学习目标 素养要求
1．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 直观想象
2．体会向量在处理平面几何问题、力学问题中的作用，培养运用向量知识解决实际问题的能力 数学建模
| 自 学 导 引 |
向量方法在平面几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用________表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为___________．
(2)通过____________研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
向量
向量问题
向量运算
【预习自测】
解决向量在解析几何中的应用问题关键是什么？
【提示】解题关键是把问题转化为相应的向量问题，通过向量的运算得以解决．
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
(3)动量mv是向量的_______运算．
(4)功是______与________________的数量积．
数乘
力F
所产生的位移s
【预习自测】
力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是__________．
【答案】－11
【解析】由题意知W＝F·s＝(－1)×3＋(－2)×4＝－11．
| 课 堂 互 动 |
【答案】C
(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，F(6，4)，E(3，0)．
用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】(1)D (2)C
题型2 向量在物理中的应用
方向1 利用向量解决速度、位移问题
解：设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞机的飞行速度为vb，则va＝vb＋v0，且va，vb，v0可构成三角形(如图所示)，
方向2 利用向量解决力与做功问题
一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m．其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
解：如图所示，以O为原点，正东方向为x轴的正方向、正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，
利用向量解决物理问题的思路及注意点
(1)向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象．
(2)在用向量法解决物理问题时，应作出相应图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路．
(3)注意：①如何把物理问题转化为数学问题，也就是将物理之间的关系抽象成数学模型；②如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝_______J．
【答案】300
【解析】W＝F·s＝|F||s|·cos 〈F，s〉＝6×100×cos 60°＝300(J)．
错解：A，B，D
易错防范：对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等．
| 素 养 达 成 |
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基底表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．(体现数学运算和直观想象核心素养)
2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①(转化)把物理问题转化为数学问题；②(建模)建立以向量为主体的数学模型；③(求解)求出数学模型的相关解；④(回归)回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
【答案】C
2．(题型2)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 ( )
A．6 B．2
【答案】C
3．(题型2)已知作用在点A的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为 ( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
【答案】A
4．(题型2)一条河宽为8 000 m，一船从A出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为__________h．
【答案】0.5(共40张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标 素养要求
1．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两平面向量的夹角 数学运算
2．能用坐标表示平面向量垂直的条件 数学运算、逻辑推理
| 自 学 导 引 |
两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
数量积 两个向量的数量积等于________________________，
即：a·b＝_____________
向量垂直 a⊥b _________________
它们对应坐标的乘积的和
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
【预习自测】
已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，则a·b的值是__________．
【答案】10
【解析】a·b＝(－1)×2＋3×4＝10．
(1)向量数量积的坐标表示公式适用于任何两个向量吗？
(2)向量数量积的坐标表示公式的作用是什么？
【提示】(1)适用．无论是零向量，还是非零向量，均可使用向量数量积的坐标表示公式．
(2)向量数量积的坐标表示公式简化了数量积的计算．
向量的模与两向量夹角的坐标表示
【预习自测】
(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝______．
(2)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．
【预习自测】
(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝______．
| 课 堂 互 动 |
题型1 平面向量数量积的坐标运算
方向1 数量积的坐标运算
(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝ ( )
A．12 B．0
C．－3 D．－11
(2)已知向量a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)·c＝0，则k的值为__________．
【答案】(1)C (2)6
【解析】(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3．
(2)由题意得a－2b＝(－2－2k，7)，(a－2b)·c＝(－2－2k，7)·(1，2)＝－2－2k＋14＝0，解得k＝6．
【答案】5
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基底表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．
1．(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
【答案】(1)B (2)3
【解析】(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．
题型2 与平面向量模有关的问题
(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于 ( )
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°．
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，
即两向量的夹角为120°－α．
3．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定系数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
易错警示 用坐标表示时忽视两向量夹角的范围致误
已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)．若〈a，b〉为锐角，求x的取值范围．
错解：若〈a，b〉为锐角，则a·b＞0且a，b不同向．
a·b＝x＋2＞0，∴x＞－2．
易错防范：利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向的情况．
| 素 养 达 成 |
1．(题型1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则 k＝ ( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
【答案】D
【解析】2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．
2．(题型2，3)已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 ( )
A．0 B．1
C．－2 D．2
【答案】D
【解析】2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2．
3．(题型2)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝__________．
【答案】－2
【解析】(方法一)a＋b＝(m＋1，3)，∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
(方法二)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．
4．(题型2，3)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R．
(1)若a⊥b，则x＝__________；
(2)若a∥b，则|a－b|＝__________．
5．(题型3)已知向量a＝(2，1)，且a＋3b＝(5，4)，求向量a与b夹角的余弦值．(共39张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
学习目标 素养要求
1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义 数学抽象
2．会用基底表示平面向量 数学运算
| 自 学 导 引 |
平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个____________，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________.
2．基底：不共线的向量{e1，e2}叫做这一平面内__________的一个________．
不共线向量
λ1e1＋λ2e2
所有向量
基底
(1)平面向量基本定理中基底的特征是什么？
(2)在平面向量基本定理中为何要求向量e1，e2不共线？
【提示】(1)不共线性和不唯一性．
(2)若向量e1，e2共线，则λ1e1＋λ2e2与向量e1，e2共线，即向量λ1e1＋λ2e2只能表示与向量e1，e2共线的向量，无法表示平面内其他的向量．
平面向量基本定理的唯一性
设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
__________．
【预习自测】
设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，求实数x，y的值．
| 课 堂 互 动 |
题型1 对平面向量基本定理的理解
(1)(多选)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在的平面的基底的有 ( )
(2)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是__________(填序号)．
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0．
【答案】(1)AC (2)②③
【解析】(1)如图所示，A，C中的向量不共线，可
以作为基底，B，D中的向量共线，不能作基底．
(2)由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
1．(1)如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是 ( )
(2)若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝__________，m＝__________．
【答案】(1)B (2)0 0
【答案】(1)ABC
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
题型3 平面向量基本定理的应用
如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
(2)重要结论：设e1，e2是平面内一组基底，
当λ1e1＋λ2e2＝0时 恒有λ1＝λ2＝0
若a＝λ1e1＋λ2e2 当λ2＝0时，a与e1共线
当λ1＝0时，a与e2共线
λ1＝λ2＝0时，a＝0
易错警示 对基底的定义理解不准确致误
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是 ( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．λ＝0或e1∥e2
错解：A，B，C
易错防范：一定要注意“不共线”这个条件，做题时容易忽略此条件而致错，同时还要注意零向量不能作为基底．
正解：若e1，e2共线，即e1∥e2时，易得a与b共线；
若e1，e2不共线，要使a与b共线，则存在m，使a＝mb，即e1＋λe2＝2me1，得λ＝0．
当λ＝0或e1∥e2时，a与b共线．故选D．
| 素 养 达 成 |
1．任意一向量基底表示的唯一性的理解
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2．在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．(体现数学抽象的核心素养)
3．平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．(体现直观想象和逻辑推理核心素养)
1．(题型1)(多选)下列关于基底的说法正确的有 ( )
A．平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底
B．基底中的向量可以是零向量
C．平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的
D．对于确定的向量，表示该向量的基底是唯一的
【答案】AC
【解析】零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故B错；平面内两不共线的向量都可以作为一组基底，故D错．A，C正确．
【答案】D
【答案】A
4．(题型3)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝__________，y＝__________．
【答案】－15 －12
