鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形定向攻克试卷（带解析）

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形定向攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
2、下列说法：①不可能事件发生的概率为0；②随机事件发生的概率为；③事件发生的概率与实验次数无关；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是必然事件．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
3、已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是线段的中点，则线段的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
4、如图，将边长为6个单位的正方形ABCD沿其对角线BD剪开，再把△ABD沿着DC方向平移，得到△A′B′D′，当两个三角形重叠部分的面积为4个平方单位时，它移动的距离DD′等于（ ）
A．2 B． C． D．
5、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD、BC分别于点O、E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．3
6、正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
7、绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
8、如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上．，．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O重合．则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9、在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为( )
A． B．3 C． D．6
10、下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在中，，，与分别是斜边上的高和中线，那么_______度．
2、在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，已知，，则的周长等于______．
3、将两个直角三角板如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果点A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为 _____°．
4、如图，在四边形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为____．
5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点
(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；
(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．
2、如图，△ABC中，∠C＝90°．
(1)尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．
3、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，两点分别是，轴正半轴上的动点，且满足．
(1)写出的度数；
(2)求的值；
(3)若平分，交于点，轴于点，平分，交于点，随着，位置的变化，的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
4、如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：
____①____
垂直平分
，
∴____②____
____③____
∴四边形是___④_____
∴四边形是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．
5、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，连接AE、AF，且BE＝DF．求证：AE＝AF．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，
∴BC=AD=20，
当p与B重合时，BA′=BA=12，
CA′=BC-BA′=20-12=8，
②当Q与D重合时，
由折叠得A′D=AD=20，
由勾股定理，得
CA′==16，
CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．
2、C
【解析】
【分析】
根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，①必然事件发生的概率为1，即（必然事件）；②不可能事件发生的概率为0，即（不可能事件）；③如果为不确定事件（随机事件），那么（A），逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：①不可能事件发生的概率为0，说法正确；
②随机事件发生的概率为0到1，故说法错误；
③事件发生的概率与实验次数无关，故说法正确；
④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是随机事件，故说法错误．
正确的说法有：①③．
故选：．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．
3、A
【解析】
【分析】
根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点是线段的中点，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边边上的中线，解题的关键是正确的理解题意．
4、B
【解析】
【分析】
先判断重叠部分的形状，然后设DD'=x，进而表示D'C等相关的线段，最后通过重叠部分的面积列出方程求出x的值即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD和△BCD是等腰直角三角形，
如图，记A'D'与BD的交点为点E，B'D'与BC的交点为F，
由平移的性质得，△DD'E和△D'CF为等腰直角三角形，
∴重叠部分的四边形D'EBF为平行四边形，
设DD'=x，则D'C=6-x，D'E=x，
∴S D'EBF=D'E D'C=（6-x）x=4，
解得：x=3+或x=3-，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平移的性质，通过平移的性质得到重叠部分四边形的形状是解题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
连接DE，因为AB=AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．
【详解】
解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC=3，CD=4，根据勾股定理，得DE=5．
∵AB=AD， AE平分
∴AE⊥BD，BO=OD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．
∴DE=BE=5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=5，
∴BC=BE+EC=8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE是关键．
6、A
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，矩形的性质逐一进行判断即可．
【详解】
解：A中对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意；
B中对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
C中对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
D中四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质．解决本题的关键是对正方形，矩形性质的灵活运用．
7、B
【解析】
【分析】
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【详解】
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD=BC AE=CD AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：B
【点睛】
此题考查了菱形的判定，平行四边形的面积公式以及平行四边形的判定与性质，利用了数形结合的数学思想，其中菱形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形；四条边相等的四边形为菱形，根据题意作出两条高AE和AF，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键
8、C
【解析】
【分析】
设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．
【详解】
解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=(8-x)2，
∴x=3，
∴D，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
9、C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长，本题得以解决．
【详解】
解：∵∠AOD=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC，∠ABC=90°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OC，
∵AB=3，
∴AC=6，
∴BC= ，
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10、A
【解析】
【分析】
根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．
【详解】
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故原命题是假命题；
C、以两条对角线为对称轴的四边形是菱形，以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，故原命题是假命题；
D、对角线相等的平行四边形才是矩形，故原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
二、填空题
1、50
【解析】
【分析】
根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．
【详解】
解：，为边上的高，
，
，是斜边上的中线，
，
，
的度数为．
故答案为：50．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
2、##
【解析】
【分析】
过点作，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据等腰三角形的三线合一可得,中位线的性质求得，根据勾股定理求得，继而求得的周长．
【详解】
解：如图，过点作
在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，
为的中点，
又为的中点，则
在中，
的周长等于
故答案为：
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，中位线的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
3、120
【解析】
【分析】
先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC=AD=AE=DE，由∠D=60°，得到△ACD是等边三角形，那么∠ACD=60°，∠ACF=30°，再由三角形的外角性质可求出∠BFC的度数．
【详解】
解：∵∠DCE=90°，点A是DE的中点，
∴AC=AD=AE=DE，
∵∠D=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACF=∠DCE-∠ACD=30°，
∵∠FAC=90°，
∴∠BFC=∠FAC+∠ACF=90°+30°=120°
故答案为：120
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角和定理等知识，求出∠ACF =30°是解题的关键．
4、24
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BEAB＝6，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为6×4＝24．
【详解】
解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE=BEAB=6，
由折叠可得：CB=BE，CD=ED，
∴四边形BCDE的周长为6×4=24．
故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5、
【解析】
【分析】
根据题意，AM=EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．
【详解】
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∴BC边上的高h=，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF的中点，
∴AM=EF，
∴AM=AP，
∴当AP最小时，AM有最小值，
根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，
∴AP的最小值为，
∴AM的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)证明见解析
(2)10
【解析】
【分析】
（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD，得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；
（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．
(1)
证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
又∵AB∥CD，AB＝AD，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，
∴CD＝13，AO＝CO＝12，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴EF∥BD（中位线），
∵AC、BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴，
∴EG＝BD＝10．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
(1)
解：如图所示，直线DE即为所求；
，
(2)
证明：∵∠ACB=90°，点E是边AB的中点，
∴AE=BE=CE=AB，
∵AC=BE，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是等边三角形．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
3、 (1)；
(2)；
(3)的值为4，不变，见解析
【解析】
【分析】
（1）过点A作轴于，轴于，由点，得到OA是的角平分线，由此得到；
（2）由（1）得四边形为正方形，证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，根据求出结果；
（3）过点A作轴于，轴于，延长交于，则四边形为矩形，由推出AB=AP，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得到AK=PK，由此得到，依据求出结果．
(1)
解：过点A作轴于，轴于，如图1所示：
点，
，
是的角平分线，
，
；
(2)
解：由（1）得：四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
轴，轴，
，
在和中，
，
，
，
；
(3)
解：随着，位置的变化，的值为4，不变，理由如下：
过点A作轴于，轴于，延长交于，如图2所示：
则四边形为矩形，
，，
由（2）得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
轴，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
4、 (1)见解析
(2)①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】
（1）分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；
（2）：根据，内错角相等得出∠2①，根据垂直平分 ，得出，，可证②△EOC，根据全等三角形性质得出OF③，再证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形④，根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）．
(1)
解：分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；
如图所示
(2)
证明：，
∠2①，
垂直平分 ，
，，
∴②△EOC，
OF③，
，
，
，
∴四边形是平行四边形④，
，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），
故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．
5、见解析．
【解析】
【分析】
利用正方形的性质可证明△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵BE＝DF，
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．