数学（北师大版）必修一教学设计：2-1生活中的变量关系

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教学设计
§1　生活中的变量关系
教学分析　　　　　
在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已 ( http: / / www.21cnjy.com )经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．21世纪教育网版权所有
值得注意的是在本节的教学中，一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然，学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提，在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的，不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．www-2-1-cnjy-com
三维目标　　　　　
1．通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．21世纪教育网　　21*cnjy*com
2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．【出处：21教育名师】
重点难点　　　　　
区分生活中的变量关系是否为函数关系．
课时安排　　　　　
1课时21世纪教育网
导入新课　　　　　
思路1.现实世界中充满了变化，静止是相对的 ( http: / / www.21cnjy.com )，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．
思路2.人的体重和身高是函数关系吗？小麦的 ( http: / / www.21cnjy.com )亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．
推进新课　　　　　
1 说出初中所学函数定义？
2 如何确定两个变量之间是函数关系？
讨论结果：(1)函数定义： ( http: / / www.21cnjy.com )设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．
(2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且，y是x的函数．2·1·c·n·j·y
思路1
例1 我国自1998年开始建设高速公 ( http: / / www.21cnjy.com )路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．(如下表)21·世纪*教育网
1988—2001年全国高速公路总里程　单位：千米[来源:21世纪教育网]
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
总里程 147 271 522 574 652 1 145 1 603
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
总里程 2 141 3 422 4 771 8 733 11 605 16 314 19 453
根据表内数据作图(如图1)．
图1
问：
(1)高速公路里程数是年度的函数吗？
(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？
活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．
解：不难看出：
(1)高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．21·cn·jy·com
(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．
点评：本题主要考查函数的定义.
变式训练
一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．[来源:21世纪教育网]
解：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.【来源：21·世纪·教育·网】
例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．2-1-c-n-j-y
图2
活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．
解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．
并非有依赖关系的两个变量都有函数关 ( http: / / www.21cnjy.com )系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v不是油面宽度ω的函数．【版权所有：21教育】
点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.21教育名师原创作品
变式训练
1．进一步分析上述储油罐的问题，讨论：
(1)还有哪些常量？哪些变量？
(2)哪些变量之间存在依赖关系？
(3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？
解：(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等，变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；
(2)依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积，油的体积和油面宽度；
(3)储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数．
2．请列举一些与公路交通有关的函数关系．
解：如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等．
3．请思考在其他情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．
解：在邮局中，邮资是邮件重量的函数等．在机场，飞机票价是路程的函数等.
思路2
例1 在学校里你能发现哪些函数关系？
活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．
解：(1)学生的学号是学生的函数；
(2)教学任务是老师的函数；
(3)学校的用电量是时间的函数，用水量也是时间的函数．
点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.
变式训练
1．已知集合A＝{1,2,3,4, ( http: / / www.21cnjy.com )5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？www.21-cn-jy.com
答案：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．
2．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？
答案：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．
3．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？
答案：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．
4．由下列式子是否能确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝2；
(2)＋＝1；
(3)y＝＋.
解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±，因此由它不能确定y是x的函数；
(2)由＋＝1，得y＝(1－)2＋1，
所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，
由它可以确定一个唯一的y与之对应，
故由它可以确定y是x的函数；
(3)由得x∈，
故x无值可取，y不是x的函数.
例2 新华网北京2006年3月24日电：中 ( http: / / www.21cnjy.com )国卫生部24日通报，上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病，后因病情加重，经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线，试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．21cnjy.com
图3
解：时间的变化范围是数集A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x|x≥0}，每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B＝{y|4≥y≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．【来源：21cnj*y.co*m】
所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数．
点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.
变式训练
从20世纪70年代开始， ( http: / / www.21cnjy.com )我国就致力于控制人口过快增长，并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》，将计划生育从一项基本国策上升为国家法律．根据国家统计局普查资料显示，我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段，进入了世界低生育水平国家行列.2005年底，我国总人口为13.075 6亿人，约占世界人口的20.12%.自实行计划生育以来，全国累计少生人口近3.1个亿．21*cnjy*com
图4
请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线，试判断我国人口出生率p和时间t(年)是否构成函数关系．
解：时间t的变化范围是数集A＝{t|t ( http: / / www.21cnjy.com )≥1950}，我国人口出生率p的变化范围是数集B＝{p|p≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间t，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的p与它相对应，所以我国人口的出生率p是时间t(年)的函数.
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1．自由落体运动中，有哪几个常量，哪几个变量？这些变量之间有怎样的关系？
答案：常量有：自由落体的质量和重力加速度；
变量有：时间t、速度v和位移s，其中，速度依赖时间变化，关系是v＝gt；位移也依赖时间变化，关系是s＝gt2.
2．银行的存款利息表算不算函数？
答案：是函数关系．
思考：字母一定是变量吗？
探究：一般地，在研究一个问题的变化过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，变量通常是一个字母，也就是说，只有字母才可以取不同的值来表示不同的量，那就是变量．但能否这样说，在变化过程中，字母就一定是变量呢？答案是否定的．
例如，我们所熟悉的二次函数y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2(a≠0)，它表示y与x之间存在依赖关系，这时，x、y都是变量，它表示的是y关于x的函数．虽然函数随着a的变化而表示不同的函数，但它是二次项的系数，是一个常量．
如果把y＝ax2看作表示y与a只存在依赖关系，则y＝ax2＝x2a在x≠0时是一个y关于a的一次函数，这里y，a是变量，x是常量．
本节课学习了：用定义法判断变量之间的函数关系．
习题2—1　A组1, 2.
本节课内容比较简单，在设计过程中，注重了与下节函数概念的联系．
[备选例题]
【例1】 下表展示了我国从1998年到2002年每年的国内生产总值．
年份 生产总值(亿元)
1998 78 345
1999 82 067
2000 89 442
2001 95 933
2002 102 398
观察上表，年国内生产总值是年份的函数吗？
答案：是函数关系．
【例2】 农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图5所示．21教育网
图5
观察上图，植株高度是时间的函数吗？
答案：是函数关系．
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